QOJ5256 [CERC2022] H. Insertions 题解

题意：

给定字符串 $S,T,P$ ，求将 $T$ 插入进 $S$ 之后 $P$ 最多的出现次数。输出：

最多的出现次数；

达到这个最多出现次数的插入位置数量；

达到这个最多出现次数的最靠前的插入位置；

达到这个最多出现次数的最靠后的插入位置。

数据范围： $1\le |S|,|T|,|P|\le 10^5$ 。

题目要我们求的信息量很大，不妨直接求出在每个位置插入 $T$ 之后 $P$ 的出现次数。

设将 $T$ 插入之后 $S$ 前后两部分为 $A,B$ 。

讨论 $P$ 出现的位置情况：

完全包含于 $T/A/B$ ：可以直接 KMP 预处理。
$A+T$ ：求出所有长度 $x$ 满足 $T$ 长度为 $x$ 的前缀和 $P$ 长度为 $x$ 的后缀匹配。建出 $S$ 匹配 $P$ 的失配树，把所有编号为 $x-1$ 的节点打上标记，在 $i$ 后插入 $T$ 得到的形如 $A+T$ 的匹配数量就相当于失配树上 $S_{1,i}$ 匹配 $P$ 的最长前缀的所有祖先的标记和。
$T+B$ ：将 $S$ 、 $T$ 、 $P$ 全部翻转，再做一遍 $A+T$ 的过程。
$A+T+B$ ：求出所有 $T$ 在 $P$ 中的匹配位置 $[x+1,x+|T|]$ ，然后就相当于统计有多少位置 $i$ 满足 $S_{i-x+1,i}=P_{1,x}$ 且 $S_{i+1,i+|P|-|T|}=P_{x+|T|+1,|P|}$ 。求出 $S_{1,i}$ 匹配 $P$ 的最长前缀长度和 $S_{i+1,|S|}$ 匹配 $P$ 的反串的最长匹配长度，设为 $u,v$ ，那么就是问有多少个 $x$ 满足 $x$ 在正串失配树上是 $u$ 的祖先且 $|P|-x-|T|$ 在反串失配树上是 $v$ 的祖先。这是一个二维数点问题，可以离线扫描线 + 树状数组完成。