字符串基础学习笔记

目录

• 前言
• Hash
  • 概述
  • 例题 1：「CTSC2014」企鹅QQ
• 最小表示法
  • 概述
  • 代码
• Manacher
  • 概述
  • 代码
  • 例题 2：「THUPC2018」绿绿和串串
• Z 算法 / exKMP
  • 概述
  • 代码
  • 例题 3：「NOIP2020」字符串匹配
  • 例题 4：「CF526D」Om Nom and Necklace
  • 例题 5：「CF432D」Prefixes and Suffixes
• KMP
  • 概述
  • 代码
  • 例题 6：「NOI2014」动物园
  • 例题 7：「POI2006」PAL-Palindromes
  • 例题 8：「POI2012」前后缀 Prefixuffix
  • 例题 9：「POI2005」SZA-Template
• KMP 自动机
  • 概述
  • 代码
  • 例题 10：「HNOI2008」GT考试
• border 与周期理论
  • 定理
  • Weak Periodicity Lemma
    • 内容
    • 证明
  • 引理
  • 定理
  • Periodicity Lemma
    • 内容
• 失配树
  • 概述
  • 代码
  • 例题 11：「BOI2009」Radio Transmission 无线传输
  • 例题 12：「POI2006」OKR-Periods of Words

前言

开这个坑的目的是巩固一下字符串的基础内容，毕竟自己对这一块的接触还不是很多。

其实字符串算法最大的特点就是 最大化利用已经求出的信息，几乎所有算法都是基于这句话的。

一些定义：

• $\operatorname{lcp}\left(i,j\right)$ 为以 $i$ 开头的后缀和以 $j$ 开头的后缀的最长公共前缀。
• $\sigma$ 为字符集。
• $s_{i,j}$ 为 $s$ 下标在 $[i,j]$ 之间的字串。
• $|S|$ 为字符串 $S$ 的长度。
• $B_{\max}(S_{i,j})$ 为字符串 $S_{i,j}$ 的最长 border。

Hash

概述

Hash 就是把一个字符串映射成一个数字的过程，常见的构造函数类似于：

$$hash(S)=\sum\limits_{i=1}^{|S|}S_i\times Base^{|S|-i}\bmod p$$

$Base$ 可以取一个小质数，$p$ 可以用一个大质数。如果觉得不保险还可以用双哈希，即选取两个 $Base$ 和 $p$。

例题 1：「CTSC2014」企鹅QQ

题面

题意：

给定 $n$ 个长度为 $L$ 的字符串，问有多少对字符串只有一位不同。

数据范围：$1\le n\le 30000$，$1\le L\le 200$。

对每个前缀和后缀分别哈希，枚举哪一位不同然后统计。

最小表示法

概述

模板

题意：给定一个字符串 $S$，求一个 $i\in[1,|S|]$，使得 $S_{i,|S|}+S_{1,i-1}$ 的字典序最小。

维护两个指针 $i$，$j$，表示当前比较的两个循环表示的起点。

暴力求出 $k=\operatorname{lcp}\left(i,j\right)$，然后比较 $S_{i+k}$ 和 $S_{j+k}$，不妨假设 $S_{i+k}<S_{j+k}$，那么肯定 $[j,j+k]$ 范围内的所有下标都不可能成为最小循环表示的起始位置（因为以 $j+x$ 起始的循环表示字典序一定大于以 $i+x$ 起始的循环表示）。令 $j\leftarrow j+k+1$，继续暴力做这个过程。

注意以上下标都是在 $\bmod\ n$ 意义下的。

每个指针只会扫一遍字符串，所以时间复杂度为 $\mathcal{O}(|S|)$。

代码

view codeint i = 1, j = 0, k = 0;
while (i < n && j < n && k < n)
{
    if (a[(i + k) % n] == a[(j + k) % n]) ++k;
    else
    {
        if (a[(i + k) % n] > a[(j + k) % n]) i += k + 1;
        else j += k + 1;
        if (i == j) ++i;
        k = 0;
    }
}
// min(i, j) 即为最小循环表示的起始位置

Manacher

概述

Manacher 算法可以求出以每个下标为中心的最长的 长度为奇数 的回文子串。

为了求出长度为偶数的回文子串，我们可以在原串相邻两个字符中间插入一个不属于 $\sigma$ 的字符。

记 $p_i$ 为以 $i$ 为中心的最长回文半径，当前最大的 $i+p_i-1$（即已经被某个点为中心的回文串所覆盖到的最右端点） 为 $mr$，这个最大的 $i$ 为 $mid$。

考虑如何利用上述信息求得一个新的 $p_i$。若 $i>r$，那么暴力扩展求；否则有 $i\le r$，根据回文的对称性，可以得出 $p_i=\min\left(mr-i+1,p_{2\times mid-i}\right)$。

为什么这样是对的？考虑在 $[mid-p_{mid}+1,mid+p_{mid}-1]$ 的范围内，$2\times mid-i$ 和 $i$ 对称，所以以 $2\times mid-i$ 为中心的回文串同时也是以 $i$ 为中心的回文串。而这个性质只能在当前范围内满足，所以还要和 $mr-i+1$ 取 $\min$。

代码

模板

view codescanf("%s", s + 1);
t[k = 1] = '$', t[++k] = '#';
n = strlen(s + 1);
rep(i, 1, n) t[++k] = s[i], t[++k] = '#';
t[++k] = '#', t[++k] = '@';
int mid = 0, mr = 0;
rep(i, 1, k)
{
    if (i <= mr) p[i] = min(mr - i + 1, p[mid * 2 - i]);
    else p[i] = 0;
    while (t[i + p[i]] == t[i - p[i]]) ++p[i];
    if (i + p[i] - 1 > mr) mr = i + p[i] - 1, mid = i;
}
printf("%d\n", *max_element(p + 1, p + 1 + k) - 1);

例题 2：「THUPC2018」绿绿和串串

题面

长度为 $n$ 的串肯定满足条件。

对于每一个 $i$，如果存在以它为中心的回文串包括 $n$ 这个位置，或者 存在以它为中心且以 $1$ 开头的回文串且 $2i-1$ 符合题目条件，那么 $i$ 就是一个合法答案。

Z 算法 / exKMP

概述

Z-algorithm 可以求出所有的 $z_i=\operatorname{lcp}\left(1,i\right)$。

类似 Manacher，每次维护最靠右的 $r=l+z_l-1$ 和这个最大的 $l$，可以发现 $z_i\ge\min(r-i+1,z_{i-l+1})$。然后和 Manacher 一样暴力扩展并更新 $l,r$ 即可。

利用 Z-algorithm 解决字符串匹配问题：将两个字符串拼接在一起，中间用一个不属于 $\sigma$ 的字符隔开。

代码

模板

view codestring s, t;
int z[M];

inline void getz(string s)
{
	int l = 0, r = 0, n = s.size();
	rep(i, 2, n - 1)
	{
		if (i > r) z[i] = 0;
		else z[i] = min(r - i + 1, z[i - l + 1]);
		while (s[i + z[i]] == s[1 + z[i]]) ++z[i];
		if (i + z[i] - 1 > r) r = i + z[i] - 1, l = i;
	}
}

int main()
{
	cin >> s >> t;
	int n = s.size(), m = t.size();
	t = " " + t + "*" + s;
	getz(t);
	LL ans = 0;
	z[1] = m;
	rep(i, 1, m) ans ^= (1ll * i * (min(m - i + 1, z[i]) + 1));
	printf("%lld\n", ans);
	ans = 0;
	rep(i, m + 2, m + n + 1) ans ^= (1ll * (i - m - 1) * (z[i] + 1));
	printf("%lld\n", ans);
	return !!0;
}

例题 3：「NOIP2020」字符串匹配

题面

题意：

$T$ 组数据，每次给定一个字符串 $S$，求 $S=(AB)^iC$ 的方案数，其中 $F(A) \le F(C)$，$F(S)$ 表示字符串 $S$ 中出现奇数次的字符的数量。

两种方案不同当且仅当拆分出的 $A$、$B$、$C$ 中有至少一个字符串不同。

数据范围：$1\le T\le5$，$1\le |S|\le 2^{20}$。

首先可以求出每个后缀 / 前缀出现奇数次的字符数量，枚举 $AB$ 和 $AB$ 的出现次数，用哈希暴力判断是否合法，这样就可以知道 $F(C)$ 了，然后用一个树状数组统计合法的 $A$ 的个数，时间复杂度 $\mathcal{O}(T|S|\log|S|\log26)$，可以得到 $84$ 分。

考虑优化这个过程。先求出 $S$ 的 $z$ 函数，枚举 $AB$ 的长度 $i$，那么可以扩展的次数就是 $\lfloor\frac{z_{i+1}}{i}\rfloor+1$。

如何处理 $F(A)\le F(C)$ 的限制？我们把扩展的次数按奇偶性讨论。

• 若 $AB$ 出现了奇数次，即 $k$ 次，那么我们只看第 $1$ 个 $AB$，则 $[i+1,ki]$ 中的字符出现次数的奇偶性并没有被改变（因为 $k-1$ 为偶数），所以 $F(C)=F(S_{i+1,|S|})$，可以直接算出。
• 若 $AB$ 出现了 偶数次，那么 $F(C)=F(S)$，因为这个前缀出现的字符都出现了偶数次，不会改变奇偶性。

对于以上两种情况分别用树状数组统计合法的 $A$ 之后加起来即可。

代码：https://paste.ubuntu.com/p/2WSwnkhbVm/。

例题 4：「CF526D」Om Nom and Necklace

题面

同样枚举 $AB$ 的长度 $i-1$，那么 $AB$ 要出现奇数次的充要条件就是 $z_{i}\ge k(i-1)$，此时能贡献到的区间就是 $[k(i-1),\min(ki,z_i+i-1)]$，差分后前缀和即可。

例题 5：「CF432D」Prefixes and Suffixes

题面

求出 $S$ 的 $z$ 函数。枚举 $S$ 的一个长度不超过 $|S|$ 的后缀 $[i,|S|]$，如果 $z_i=|S|-i+1$，说明这个后缀是一个 border。

怎么统计一个 border 的出现次数？可以发现对于每个位置 $i$，以它开头的字符串对长度为 $[1,z_i]$ 的前缀有一次贡献，差分后做一遍后缀和即可。

代码：https://paste.ubuntu.com/p/xzCPwbhBTF/。

KMP

概述

KMP 一般用来解决字符串匹配问题。

KMP 的核心在于一个 $nxt$ 数组，$nxt_i$ 存储的是 $[1,i]$ 的最长 border（即前缀和后缀相等）。

维护两个指针 $i,j$，假设我们已经知道 $s_{i-j+1,i}$ 和 $t_{1,j}$ 匹配，那么肯定就有 $s_{i-j+nxt_j+1,i}$ 和 $t_{1,nxt_j}$ 也能匹配。因为 $s_{i-j+1,i-j+nxt_j}=s_{i-nxt_j+1,i}=t_{1,nxt_j}=t_{j-nxt_j+1,j}$，所以当前串 $s$ 的前 $nxt_j$ 个字符和串 $t$ 的后 $nxt_j$ 个字符相等，当 $s_{i+1}$ 和 $t_{j+1}$ 失配的时候就可以直接 $j\leftarrow nxt_j$。

如何求得 $nxt_i$？这个可以通过 $t$ 串自己和自己匹配求得。具体来说，假设我们已经知道了 $nxt_{1\dots i-1}$，想要求 $nxt_i$，那么 $t_{1,i}$ 的最长 border 肯定是由 $t_{1,i-1}$ 的一个 border（不一定是最长）在后面加上 $t_i$ 得到。那么我们从 $j=nxt_{i-1}$ 开始匹配，如果失配就 $j\leftarrow nxt_j$，直到 $t_{j+1}=t_i$。如果 $j=0$ 就需要判断一下 $t_1$ 是否等于 $t_i$。

注意：如果题目中对于 $nxt$ 的定义给出了若干限制，那么我们必须要先不考虑限制求出 $nxt$，然后再去处理限制，否则可能会导致求出的 $nxt$ 错误。

代码

模板

view codeconst int N = 1000003, M = N << 1;

int n, m;
char s[N], t[N];
int nxt[N];

int main()
{
	scanf("%s%s", s + 1, t + 1);
	n = strlen(s + 1), m = strlen(t + 1);
	int p = 0;
	rep(i, 2, m)
	{
		while (p && t[p + 1] != t[i]) p = nxt[p];
		if (t[p + 1] == t[i]) ++p;
		nxt[i] = p;
	}
	p = 0;
	rep(i, 1, n)
	{
		while (p && t[p + 1] != s[i]) p = nxt[p];
		if (t[p + 1] == s[i]) ++p;
		if (p == m) printf("%d\n", i - m + 1), p = nxt[p];
	}
	rep(i, 1, m) printf("%d ", nxt[i]);
	return !!0;
}

例题 6：「NOI2014」动物园

题面

先求出 $nxt_i$，顺便计算出 $cnt_i$ 表示 $i$ 要跳多少次 $nxt$ 才能变成 $0$，即 $i$ 的 border 数量。

在求 $num_i$ 的时候，先把指针 $p$ 跳到 $\le\frac{i}{2}$ 的最大位置上，然后就有 $num_i=cnt_p+[p>0]$，$[p>0]$ 的意思是 $[1,p]$ 这个 border 没有在 $cnt_p$ 中统计到。

代码：https://paste.ubuntu.com/p/xw83TsXhbH/。

例题 7：「POI2006」PAL-Palindromes

题面

由于给出的串都是回文串，所以有结论：若 $a+b$ 是一个回文串，当且仅当它们的最短回文整周期串相同。

充分性显然。必要性考虑反证法，具体留给读者作为练习。

有了结论之后就可以先用 KMP 求出 $nxt$ 数组，若 $n-nxt_n|nxt_n$ 说明 $nxt_n$ 就是这个字符串的最短回文整周期串长度，否则就是它本身。开个哈希表把这些串的最短回文整周期串存下来，直接计算贡献即可。

代码：https://paste.ubuntu.com/p/d2GZS9GHMw/。

例题 8：「POI2012」前后缀 Prefixuffix

题面

如果两个串满足「循环等价」，那么肯定它们分别形如 $AB$ 和 $BA$。不妨假设前缀形如 $AB$，后缀形如 $BA$。

所有满足条件的 $A$ 其实就是这个串的 border，暴力跳 next 即可求出。

问题变成了怎么求一个子串 $S_{i,n-i+1}$ 的最长 border。

这个可以考虑增量法构造。假设我们已经求出了 $S_{i+1,n-i}$ 的最长 border，那么肯定有 $B_{\max}(S_{i,n-i+1})\le B_{\max}(S_{i+1,n-i})+2$，这是因为 $S_{i+1,n-i}$ 的 border 可以通过 $S_{i,n-i+1}$ 的 border 去掉头和尾的字符得到。那么从最中间的字符开始暴力往两边扩展即可。

代码：https://loj.ac/s/1412375。

例题 9：「POI2005」SZA-Template

题面

思路巧妙.jpg

设 $dp_i$ 表示要覆盖 $[1,i]$ 所需要的印章长度的最小值。

考虑 $dp_i$ 实际上只有两种取值：$i$ 和 $dp_{nxt_i}$，因为不可能没有覆盖 $nxt_i$ 就覆盖了 $i$，不然最后会没办法填到 $i$。

问题变成在什么时候 $dp_i$ 能取到 $dp_{nxt_i}$。其实很简单，考虑印印章的过程，在印 $i$ 的时候肯定起点在 $[i-nxt_i+1,i]$ 中，所以只有在满足 $\exist i-nxt_i\le j\le i-1,dp_j=dp_{nxt_i}$ 的时候 $dp_i=dp_{nxt_i}$。

代码就很好写了：https://pastebin.ubuntu.com/p/zzMsTwB6Y3/。

KMP 自动机

概述

KMP 自动机是一种 确定有限状态自动机。

实质就是在 KMP 求出的 $nxt$ 数组的基础上，额外求出 $trans_{i,j}$ 表示在 $i$ 之后接上字符 $j$ 会转移到什么状态，即：

$$trans_{i,j}= \begin{cases} i+1 &s_{i+1}=j\\ 0 &s_{i+1}\not =j\land i=0\\ trans_{nxt_i,j} &s_{i+1}\not=j\land i>0 \end{cases}$$

和 KMP 的转移类似，应该很好理解。

代码

view coderep(i, 0, n - 1) rep(j, 0, 25)
{
	if (j + 'a' == s[i + 1]) trans[i][j] = i + 1;
	else if (i) trans[i][j] = trans[nxt[i]][j];
	else trans[i][j] = 0;
}

例题 10：「HNOI2008」GT考试

题面

对输入的字符串建出 KMP 自动机。

设 $g_{i,j}$ 表示现在匹配的长度为 $i$，加入一个字符后匹配长度变成 $j$ 的方案数，$f_{i,j}$ 表示已经填了 $i$ 个字符，匹配长度为 $j$ 的方案数。转移可以用矩阵乘法加速。

代码：https://paste.ubuntu.com/p/Q4ZfQ4bqQT/。

border 与周期理论

定理

$r$ 是 $S$ 的周期当且仅当 $S$ 有长度为 $|S|−r$ 的 border。

Weak Periodicity Lemma

内容

若 $p$，$q$ 是字符串 $S$ 的周期，且 $p+q\le |S|$，则 $\gcd(p,q)$ 是 $S$ 的周期。

证明

不妨设 $p<q$，$d=q-p$。

• 若 $i>p$，则有 $s_i=s_{i-p}=s_{i-p+q}=s_{i+d}$；
• 否则 $i\le p$，有 $s_i=s_{i+q}=s_{i+q-p}=s_{i+d}$。

这样我们就证明了 $d$ 是字符串 $S$ 的一个周期。

根据更相减损术，最终能得到 $\gcd(p,q)$ 是 $S$ 的一个周期。

引理

$S$ 所有不超过 $\frac{|S|}{2}$ 的周期都是其最短周期的倍数。

或者等价的，$S$ 所有长度不小于 $\frac{|S|}{2}$ 的 border 长度构成等差数列。

不难通过 Weak Periodicity Lemma 得出。

定理

$S$ 的所有 border 长度（周期）构成 $\mathcal{O}(\log n)$ 个值域不交的等差数列。

Periodicity Lemma

内容

若 $p​$​，$q$​​ 是 $S$​​ 的周期，且 $p+q−\gcd(p,q)\le|S|$​​，则 $\gcd(p,q)$​​ 也是 $S$​​ 的周期。

失配树

概述

在 KMP 算法中，观察到 $nxt_i<i$，那么如果我们连一条边 $(nxt_i,i)$，就可以得到一棵树，我们称之为 失配树。

性质：失配树上每个节点的祖先都是它的一个 border。

因此，如果我们要求两个前缀 $S_{1,p}$ 和 $S_{1,q}$ 的最长公共 border 的长度，可以直接在失配树上求出 $p,q$ 两点的 LCA。注意如果 $p$ 和 $q$ 具有 祖先-后代 关系，那么应该输出深度较低的那个点的父亲，因为一个串的 border 不能是它自己。

代码

模板

view codeconst int N = 1000003, M = N << 1;

char s[N];
int n, m, nxt[N], fa[20][N];
int dep[N];

int main()
{
	scanf("%s", s + 1);
	n = strlen(s + 1);
	int p = 0;
	fa[0][1] = 0;
	dep[0] = 1;
	dep[1] = 2;
	rep(i, 2, n)
	{
		while (p && s[p + 1] != s[i]) p = nxt[p];
		if (s[p + 1] == s[i]) ++p;
		nxt[i] = p, fa[0][i] = p;
		dep[i] = dep[p] + 1;
	}
	rep(j, 1, 19) rep(i, 1, n) fa[j][i] = fa[j - 1][fa[j - 1][i]];
	m = gi <int> ();
	while (m--)
	{
		int p = gi <int> (), q = gi <int> ();
		if (dep[p] < dep[q]) swap(p, q);
		per(j, 19, 0) if (dep[fa[j][p]] >= dep[q]) p = fa[j][p];
		per(j, 19, 0) if (fa[j][p] != fa[j][q]) p = fa[j][p], q = fa[j][q];
		printf("%d\n", fa[0][p]);
	}	
	return !!0;
}

例题 11：「BOI2009」Radio Transmission 无线传输

题面

根据周期理论那一套，一个字符串的最短周期就是 $n-nxt_n$。

输出 $n-nxt_n$ 即可。

例题 12：「POI2006」OKR-Periods of Words

题面

根据失配树的定义，一个字符串的最长周期就是它在根节点之下深度最小的点，在失配树上倍增跳即可。

代码：https://loj.ac/s/1415484。