题解【LOJ3340】「NOI2020」命运
一个性质：
对于一个点对 \((u,v)\)，其中 \(u\) 是 \(v\) 的祖先，如果 \((u,v)\) 满足题目中的限制条件，那么对于每一个 \(u\) 的祖先 \(w\)，点对 \((w,v)\) 一定也满足限制条件。
根据这个性质，我们可以进行 DP：设 \(f_{u,i}\) 表示下端点在 \(u\) 的子树中、不满足限制条件的上端点最大的深度为 \(i\) 的方案数，其中 \(f_{u,0}\) 表示所有限制条件都被满足。
转移考虑 \(u\) 的子节点 \(v\)，边 \((u,v)\) 填的是 \(0/1\)。
- 填 \(1\)：\(f_{u,i}=\sum\limits_{j=0}^{dep_u}f_{u,i}f_{v,j}\)；
- 填 \(0\)：假设 \(f_{u,i}\) 从 \(f_{v,j}\) 转移过来，那么一定有 \(i\ge j\)（证明可以通过开头的性质），所以 \(f_{u,i}=\sum\limits_{j=0}^i f_{u,i}f_{v,j}+\sum\limits_{j=0}^{i-1}f_{u,j}f_{v,i}\)，其中后面一项上界是 \(i-1\) 的原因是避免 \(f_{u,i}f_{v,i}\) 算两次。
考虑进一步优化。设 \(g_{u,i}=\sum\limits_{j=0}^i f_{u,j}\)，整理一下转移式子：
\[\begin{aligned}
f_{u,i}
&=f_{u,i}g_{v,dep_u}+f_{u,i}g_{v,i}+f_{v,i}g_{u,i-1}\\
&=f_{u,i}(g_{v,dep_u}+g_{v,i})+f_{v,i}g_{u,i-1}
\end{aligned}
\]
然后考虑整体 DP，用线段树维护 DP 值。发现 \(g_{v,dep_u}\) 与下标无关，可以直接先算出来。维护 \(g_{v,i}\) 和 \(g_{u,i-1}\) 即可，区间乘法可以打标记维护。
具体实现细节参考 代码。
