二项式反演小记
前置公式
\(\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}\)
证明考虑组合意义：从 \(n\) 个里面先选 \(i\) 个，再从这 \(i\) 个里面选 \(j\) 个，等价于先从 \(n\) 个里面选 \(j\) 个，再从剩下 \(n-j\) 个里面选出 \(i-j\) 个。
形式一
\[\begin{aligned}
&f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g(i) \\
\Leftrightarrow\ &g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}f(i)
\end{aligned}\]
上述两式等价，证明显然。
形式二
\[\begin{aligned}
&f(n)=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}g(i) \\
\Leftrightarrow\ &g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)
\end{aligned}\]
证明：
考虑将二式代入一式。
\[\begin{aligned}
f(n)&=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}\sum\limits_{j=0}^i(-1)^{i-j}\binom{i}{j}f(j)\\
&=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^i(-1)^{i-j}\binom{n}{i}\binom{i}{j}f(j)\\
&=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^i(-1)^{i-j}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}f(j)\\
&=\sum\limits_{j=0}^n f(j)\sum\limits_{i=j}^n(-1)^{i-j}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}\\
&=\sum\limits_{j=0}^n f(j)\sum\limits_{t=0}^{n-j}(-1)^t\binom{n}{j}\binom{n-j}{t}\\
&=\sum\limits_{j=0}^n \binom{n}{j}f(j)\sum\limits_{t=0}^{n-j}\binom{n-j}{t}(-1)^t 1^{n-j-t}\\
&=\sum\limits_{j=0}^n\binom{n}{j}f(j)(1-1)^{n-j}
\end{aligned}\]
- 若 \(n\not =j\)，则右式值为 \(0\)；
- 若 \(n=j\)，则 \(0^0\) 无意义，考虑直接代入：
\[\begin{aligned}
&\sum\limits_{t=0}^{n-j}\binom{n-j}{t}(-1)^t 1^{n-j-t}\\
=&\binom{0}{0}(-1)^0\\
=&1
\end{aligned}\]
因此，\(f(n)=\sum\limits_{j=0}^n\binom{n}{j}f(j)[j=n]=\binom{n}{n}f(n)=f(n)\)。
证明完毕。
另一表现形式：
\[\begin{aligned}
&f(n)=\sum\limits_{i=m}^n \binom{n}{i}g(i) \\
\Leftrightarrow\ &g(n)=\sum\limits_{i=m}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)
\end{aligned}\]
形式三
\[\begin{aligned}
&f(n)=\sum\limits_{i=n}^m \binom{i}{n}g(i) \\
\Leftrightarrow\ &g(n)=\sum\limits_{i=n}^m(-1)^{i-n}\binom{i}{n}f(i)
\end{aligned}\]
这也是最常用的一种形式。
证明：
\[\begin{aligned}
f(n)&=\sum\limits_{i=n}^m\binom{i}{n}\sum\limits_{j=i}^m(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f(j)\\
&=\sum\limits_{i=n}^m\sum\limits_{j=i}^m(-1)^{j-i}\binom{j}{i}\binom{i}{n}f(j)\\
&=\sum\limits_{j=n}^m f(j)\sum\limits_{i=n}^j(-1)^{j-i}\binom{j}{n}\binom{j-n}{j-i}\\
&=\sum\limits_{j=n}^m \binom{j}{n}f(j)\sum\limits_{t=0}^{n-j}(-1)^t\binom{j-n}{t}1^{j-n-t}\\
&=\sum\limits_{j=n}^m \binom{j}{n}f(j)(1-1)^{j-n}\\
&=\sum\limits_{j=n}^m \binom{j}{n}f(j)[j=n]\\
&=\binom{n}{n}f(n)\\
&=f(n)
\end{aligned}\]
证明完毕。
