题解【洛谷P1445】[Violet]樱花

题面

我们首先对题目中的式子进行化简:

1x+1y=1n!y×n!+x×n!=xy(xn!)×y=x×n!y=x×n!xn!=(xn!+n!)×n!xn!=(xn!)×n!+n!2xn!=(xn!)×n!xn!+n!2xn!=n!+n!2xn!

因为 xy 都是正整数,所以 n!2xn! 也一定是正整数。

于是问题就转化成了求 n!2 的约数个数。

由唯一分解定理得:

n!=pc11×pc22××pckkn!2=p2c11×p2c22××p2ckk

所以 n!2 的约数个数就是 (2c1+1)×(2c2+1)××(2ck+1)

先考虑一下如何求出 n! 的约数个数。

我们考虑求出 1n 中的每个质数 pn! 中质因子 p 的个数就等于 1n 中每个数包含质因子 p 的个数之和。

最后在统一约数个数时转换一下即可。

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