【ACM/ICPC2013】二分图匹配专题

前言：居然三天没有更新了。。我的效率实在太低，每天都用各种各样的理由拖延，太差了！昨天的contest依旧不能让人满意，解出的三题都是队友A的，我又卖了一次萌。。好吧废话不多说，今天我要纪录的是二分图相关的一些算法及题目，希望通过这种方式加深自己对二分图的理解（其实还没完全理解。。）

二分图的最大匹配

二分图最大匹配的题目最重要的是建模，模型建出来后，通过各种定理转化成二分图的最大匹配来做，还是很方便的，下面是几个重要定理：

• 二分图的最小点集覆盖＝二分图的最大匹配
• 有向图的最小路径覆盖＝N－转化后二分图的最大匹配
• 二分图的最大独立集＝二分图的最小边覆盖＝N－二分图的最大匹配
• 二分图的最大团＝补图的最大独立集

匈牙利算法模板：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
  
bool g[201][201];
int n,m,ans;
bool b[201];
int link[201];
  
bool init()
{
        int _x,_y;
        memset(g,0,sizeof(g));
        memset(link,0,sizeof(link));
        ans=0;
        if(scanf("%d%d",&n,&m)==EOF)return false;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
                scanf("%d",&_x);
                for(int j=0;j<_x;j++)
                {
                        scanf("%d",&_y);
                        g[ i ][_y]=true;
                }
        }
        return true;
}
  
bool find(int a)
{
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
                if(g[a][ i ]==1&&!b[ i ])
                {
                        b[ i ]=true;
                        if(link[ i ]==0||find(link[ i ]))
                        {
                                link[ i ]=a;
                                return true;
                        }
                }
        }
        return false;
}
  
int main()
{
        while(init())
        {
                for(int i=1;i<=n;i++)
                {
                        memset(b,0,sizeof(b));
                        if(find(i))ans++;
                }
                printf("%d\n",ans);
        }
}

稳定婚姻系统

稳定婚姻系统，举一个很简单易懂的例子：有N个男生和M个女生要配对成情侣，每个男生都有一个按照喜欢程度由高到低的心仪女生的列表，每个女生对男生同样。一个稳定婚姻系统，是指对任意一对情侣(a,b)，不存在另一对情侣(c,d)，使得a更喜欢d，d也更喜欢a，同理，不存在另一对情侣(e,f)，使得e更喜欢b，b也更喜欢e。

求解这个问题可以用一个专有的算法，延迟认可算法，其核心就是让每个男生按自己喜欢的顺序逐个向女生表白，例如leokan向一个女生求爱，这个过程中，若这个女生没有男朋友，那么这个女生就暂时成为leokan的女朋友，或这个女生喜欢她现有男朋友的程度没有喜欢leokan高，这个女生也暂时成为leokan的女朋友，而她原有的男朋友则再将就找下一个次喜欢的女生来当女朋友。（摘自leokan百度空间）

下面的算法框架由Gale和Shapley于1962年提出，在此膜拜一下（摘自维基百科）

函数 稳定婚姻 {
    初始所有 m 

 M 与 w 

 W 为 单身

    当 

 单身 男子 m {

       w = m所有可考虑的女子中排名最高的
       若 w 是 单身
         撮合 (m, w)
       否则 有些夫妇 (m', w) 存在
         若 w 喜欢 m 更于 m'
           (m, w) 为 夫妇
           m' 为 单身
         否则
           (m', w) 仍为 夫妇
    }
}

稳定婚姻系统的应用：任务分配、大学联合招生

二分图最大/最小权匹配

什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。（摘自BYVoid博客）

首先介绍一下KM算法：

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B [i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终 成立。KM算法的正确性基于以下定理：
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图，那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
两端都在交错树中的边(i,j)，A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(i,j)，A[i]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶 标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数 slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A [i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改 顶标后，要把所有的slack值都减去d。（摘自CrazyAC）

评价：反正KM算法我一开始看了好几遍都不是很懂，现在还没有特别明白，不过脑子里大概有这么一个感觉：最外层for循环n次，保证能构成一个完备匹配，内层不断修改顶标，使得不断有边加入能构成一条新的增广路，每找到一条就跳出while循环，执行下一轮循环。

KM算法就是用来解决二分图最佳匹配问题的，时间复杂度是O(N^3)。BYVoid大牛根据不同的情况对KM算法进行了转化：

[KM算法的几种转化]

• KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。
• KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。
• KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。

KM算法模板：（题目来源：HDU2255）

//
//  HDU2255.cpp
//  POJ
//
//  Created by TimmyXu on 13-8-4.
//  Copyright (c) 2013年 TimmyXu. All rights reserved.
//
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <climits>
 
using namespace std;
 
const int maxn = 300 + 10;
 
int l[maxn],r[maxn],match[maxn],g[maxn][maxn],n,ans,d;
bool lv[maxn],rv[maxn];
 
void Init()
{
    memset(g,0,sizeof(g));
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= n;j++)
            scanf("%d",&g[i][j]);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        l[i] = INT_MIN;
    memset(r,0,sizeof(r));
    memset(match,0,sizeof(match));
}
 
bool check(int x)
{
    lv[x] = true;
    for (int y = 1;y <= n;y++)
        if (!rv[y])
        {
            int t = l[x]+r[y]-g[x][y];
            if (t == 0)
            {
                rv[y] = true;
                if (match[y] == 0 || check(match[y]))
                {
                    match[y] = x;
                    return true;
                }
            }
            else d = min(d,t);
        }
    return false;
}
 
void KM()
{
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        for (int j = 1;j <= n;j++)
            l[i] = max(l[i],g[i][j]);
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        while(true)
        {
            memset(lv,false,sizeof(lv));
            memset(rv,false,sizeof(rv));
            d = INT_MAX;
            if (check(i)) break;
            for (int j = 1;j <= n;j++)
            {
                if (lv[j]) l[j]-=d;
                if (rv[j]) r[j]+=d;
            }
        }
    ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;i++)
        ans += g[match[i]][i];
    printf("%d\n",ans);
}
 
int main()
{
    while (scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        Init();
        KM();
    }
}

二分图最大权问题还可以用费用流来做，关于网络流相关内容我准备今天下午开始研究，作为这几天的研究重点。

总结：关于二分图的题目我做的比较少，因此建模方面的能力还比较欠缺，要在平时过程慢慢积累，不能偷懒，要勤于刷题。下面网络流专题是一座大山，要投入足够多的精力，储备足够多的智商才能搞定吧。