[2018.12.17]BZOJ1856 [Scoi2010]字符串

发现这是一道DP组合数学题。

我们考虑在坐标系里看问题。我们每次将\(x\)坐标加1,如果这里是\(1\)就\(y\)坐标加1,否则减1,就得到了一条起点是\((0,0)\),终点是\((n+m,n-m)\)的折现。

比如下面两个01串:

我们发现蓝色的折线是合法的,红色不合法,因为红色折线和直线\(y=-1\)有交点。

我们还发现,这样的折线一共有\(C_{n+m}^n\)条(组合意义上就是在\(n+m\)个位置中选择\(n\)个位置放1,其他放0)。

我们发现答案就是\(C_{n+m}^n-(\texttt{不合法折线数量})\)。

考虑后者怎么求。

我们可以把任意不合法折线第一次与\(y=-1\)相交位置之前的部分以\(y=-1\)为对称轴翻转,就得到了一条起点为\((0,-2)\),终点为\((n+m,n-m)\)的折线,并且前后者显然一一对应。

我们发现后者有\(C_{n+m}^{n+1}\)条(这是因为这条折线对应的01串里有\(n+1\)个1和\(m-1\)个0),所以前者也有那么多。

那么答案就是\(C_{n+m}^n-C_{n+m}^{n+1}\)。

直接根据公式\(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)算出即可。

另:20100403是一个质数,所以\(x\)在\(mod\ 20100403\)意义下的逆元就是\(x^{20100401}\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=20100403;
long long n,m;
long long POW(long long x,long long y){
	long long tot=1;
	while(y){
		if(y&1)tot=tot*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y/=2;
	}
	return tot;
}
long long fac(long long x){
	long long tot=1;
	for(int i=2;i<=x;i++)tot=tot*i%mod;
	return tot;
}
long long C(long long x,long long y){
	return fac(x)*POW(fac(y)*fac(x-y)%mod,mod-2)%mod;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	printf("%lld",(C(n+m,n)-C(n+m,n+1)+mod)%mod);
	return 0;
}