2024.2.17 鲜花

合集 - 模拟赛(26)

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26.2024.2.17 鲜花02-17

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机关 题解

T3

MARENOL

要是放这个歌机房会有人能欣赏吗？？？

来自b站视频av35346701下的评论

应该是 LeaF 本人自己写的

侵删

感觉不是难题。

题目中的 $k$ 即 $1$ 的位置在这里记作 $m$。

容易发现， $a$ 序列一定是先单调递降到 $1$ 在单调递增的 V 字，考虑每次弹出最前和最后，所以 $b$ 序列在 $1$ 之前的部分一定可以拆成两个单调递降的子序列，并且能拆的一定可以生成。

在 $1$ 后面取出的方案数是显的，其在 $a$ 上只有两种排列方式即单增或单降，但其是等价的，而每次只能取最前或最后，于是是 $2^{x-1}$（$x$ 是剩余颜色个数）。

考虑求出 $1$ 之前的部分，用两个序列 $A,B$ 表示其划分成的子序列，并且 $A$ 是拿 $1$ 前一步拿的一边，为了不重复计算我们定义一个序列的划分是依次遍历每个值，如果能放入 $A$ 就放入 $A$，否则放入 $B$，容易证明其会构成双射。

考虑计数，设 $d{p}_{i,j}$ 表示当前是 $b$ 的第 $i$ 位，$A$ 的最后一位是 $j$ 的方案数，考虑转移，分讨第 $i$ 位放到哪里了，若放到 $A$ 则第 $i$ 位必然填 $j$，且可以从 $d{p}_{i-1,k}(k>j)$ 转移，若放到 $B$ 则必然填剩余的最大的，若填较小的则更大的数就无处可去了（因为 $1$ 右边的数一定小于 $1$ 左边 $B$ 中的数，而 $B$ 又是递降的），可以从 $d{p}_{i-1,j}$ 转移过来。

于是方程就是：

$$d{p}_{i,j}=(\sum _{k=j+1}^{l}d{p}_{i-1,k})+d{p}_{i-1,j}=\sum _{k=j}^{l}d{p}_{i-1,k}$$

注意到 $k$ 的上节 $l$，其并不总是 $n$，原因是当转移 $d{p}_{i,j}$ 时，一共剩下 $n-i$ 个元素，而 $[1,j-1]$ 是必然剩下的，否则非法，于是 $j-1\le n-i$，即 $l=n-i+1$。

上个前缀和就可以 $\mathcal{O}(n^2)$ 求了，容易想到放到格路上考虑。

先给一组固定的起点和终点，设 $d{p}_{0,n+1}=1$，终点是 $\sum _{i=2}^{n-m}d{p}_{m-1,i}=d{p}_{m,2}$，于是问题变成了从 $(0,n)$ 走到 $(m,2)$，格路形如：

将其推平，最高位是不能水平向右转移的，加一条线表示永不碰到，于是就变成了：

直接卡特兰数即可，一点小问题是因为最后一行的竖线存在，答案事实上求了前缀和，可以用 $(m,2)$ 和 $(m,3)$ 差分一下，或者直接求到 $(m-1,2)$ 即可。

Code

 
/* Local File
in_out/in.in
in_out/out.out
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using llt = long long;
using ull = unsigned long long;
using llf = long double;
#define endl '\n'
#ifndef LOCAL
#undef assert
#define assert 0 &&
#define cerr 0 && cerr
FILE *InFile = freopen("game.in", "r", stdin), *OutFile = freopen("game.out", "w", stdout);
#endif
 
const int N = 5e5 + 3, M = N * 2 - 3;
int n, m, MOD, ans = 0;
int aas, fac[M], ivf[M];
 
int Fpw(int a, int b){
	if(b < 0) return 1;
	int ans = 1;
	while(b){
		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % MOD;
		a = 1ll * a * a % MOD, b >>= 1;
	}
	return ans;
}
 
int C(int a, int b){
	return a < b ? 0 : 1ll * fac[a] * ivf[b] % MOD * ivf[a - b] % MOD;
}
int P(int a, int b, int c, int d){
	int l = c - a, r = d - b;
	return C(l + r, l);
}
int Cat(int a, int b, int c, int d){
	return (1ll * P(a, d, c, b) - P(a, b - c + 2, n + 2 - d, b)) % MOD;
}
 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	cin >> n >> m >> MOD;
	if(n == 1)
		return cout << 1, 0;
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= M - 3; ++i)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;
	ivf[M - 3] = Fpw(fac[M - 3], MOD - 2);
	for(int i = M - 3; i; --i)
		ivf[i - 1] = 1ll * ivf[i] * i % MOD;
	cout << ((1ll * Cat(0, n, m, 2) - Cat(0, n, m, 3)) % MOD * Fpw(2, n - m - 1) % MOD + MOD) % MOD;
}

P