2024.11.14 鲜花

合集 - 模拟赛(26)

1.初中信息奥赛模拟测试2024-01-16 2.2024初三年前集训测试12024-01-31 3.2024初三年前集训测试22024-02-06 4.2024初三年前集训测试32024-02-06 5.2024初三集训模拟测试12024-02-17 6.2024初三集训模拟测试22024-02-20 7.2024初三集训模拟测试32024-02-22 8.集训 4 & 模拟 52024-05-04 9.初三奥赛模拟测试12024-05-04 10.NOIP2024模拟12024-07-09 11.NOIP2024模拟22024-07-10 12.暑假集训CSP提高模拟12024-07-18 13.暑假集训CSP提高模拟4 & 暑假集训CSP提高模拟52024-07-25 14.模拟赛252024-08-21 15.暑假集训CSP提高模拟72024-07-26 16.暑假集训CSP提高模拟2 & 暑假集训CSP提高模拟32024-07-21 17.10.4 - 11.4 改题纪要2024-11-04 18.2024.8.9 鲜花2024-08-09 19.2024.10.22 鲜花2024-10-22 20.2024.10.23 鲜花2024-10-23 21.11.4 - 12.312024-11-04 22.2024.11.12 鲜花2024-11-12

23.2024.11.14 鲜花2024-11-14

24.2024.11.26 鲜花2024-11-26 25.2024.1.15 鲜花01-15 26.2024.2.17 鲜花02-17

双调排序的正确性证明暨第八交响曲题解

推歌：Double Agent

好多题解都写的或多或少有问题（包括那篇 $30$ 分钟速通），终于是整明白了。

首先给出双调序列的定义：满足一下条件之一的序列

$\exists k, \forall i < k, a_{i} > a_{i + 1} \land \forall i > k, a_{i} < a_{i + 1}$ 即是单谷。
其可以通过循环位移满足 1

注意到根据定义 $5, 6, 7, 6, 5, 1, 2, 3$ 是双调序列，因为其可以通过循环位移成 $6, 5, 1, 2, 3, 5, 6, 7$ ，这里有很多题解都是错的，大多是说是单峰或单谷，GGrun 有 hack 1,2,8,7,6,5,4,3。

upd：这个 hack 是双调，或者说所有的单峰和单谷都是双调，hack 的地方是将它拆开后 1,2,4,3|6,5,8,7 中 6,5,8,7 不是单峰或单谷，但它是双调

过程不再解释，但是需要指出的是，双调序列满足从中间分成相等两段后依次经过 Batcher 比较器（即 Compare And Swap 操作）后满足左右两段都是双调序列并且左边所有值都小于右边所有值，并不需要重新构造。

如果这个结论是真的，那么整个算法的正确性是显然的，考虑证明这个结论。

首先应用高德纳的 $0 - 1$ 原理，即对于任意排序网络，若其能对 $0 / 1$ 序列排序，则其能对所有序列排序。

证明大致就是考虑二进制分解，其对于每一位都能排对。

upd：贺了一个好像更正规的证明

考虑其逆否命题：任何不正确的排序网络都可以构造一种 $0 / 1$ 序列使其无法排序，这里给出一个构造。

考虑一个可以使其错误的序列 $a$ ，找到其中一个逆序对 $(i, j)$ ，将 $\geq a_{i}$ 的数设为 $1$ ，将 $\leq a_{j}$ 的设为 $0$ 。

考虑一对一样的数可以视为交换，也可以视为不交换，所以将他扔进这个排序网络中可以视为其依然只交换原来的交换， $(i, j)$ 依然还是一个逆序对。

考虑一个双调的 $0 / 1$ 序列，容易发现其收尾相接一定最多只有连续的一段 $1$ 。

对于没有 $1$ 或 $0$ ，算法显然正确。

然后考虑分讨 $0 / 1$ 位置和划分区间，下面用 $00011 | 10000$ 序列 $0001110000$ 分成 $00011$ 和 $10000$ 两段。

形如 $0011111000$ 的序列，即 $1$ 是连续一段：
- $00001 | 11000$ 即划分到 $1$ 和 $1$ 中间：
  
  容易发现其左边一定是前缀，右面一定是后缀，所以若两边的按位与不为 $0$ ，则经过交换后右边一定是连续的一段 $1$ ，左边经过将一定后缀变成 $0$ 也一定最多存在一段连续的 $1$ ，满足定义。
  
  若按位或是 $0$ ，其左边一定是 $0$ ，右边一定是一段前缀加一段后缀。
- $00110 | 00000$ 即没有划分到 $1$ 和 $1$ 中间：
  
  容易发现其经过交换后右边一定是连续的一段 $1$ ，左边一定全是 $0$ ，满足定义。

类似分讨 $11100011$ ，即是前后缀的划分点，容易证明其算法的正确性。

Code

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using llt=long long;
using llf=long double;
using ull=unsigned long long;
#define endl '\n'
#ifdef LOCAL
	FILE *InFile=freopen("in_out/in.in","r",stdin),*OutFile=freopen("in_out/out.out","w",stdout);
#else
	FILE *InFile=freopen("symphony.in","r",stdin),*OutFile=freopen("symphony.out","w",stdout);
#endif
 
const int N=203;
int n,md;
 
struct V{int l,r,d; V(int a,int b,int c):l(a),r(b),d(c){}};
vector<V> aas[13];
 
void Srt(int l,int r,int d,vector<V> &c){
	if(l==r) return ;
	else{
		int mid=l+r>>1;
		for(int a=l,b=mid+1;a<=mid&&b<=r;++a,++b) c.emplace_back(a,b,d);
		Srt(l,mid,d+1,c),Srt(mid+1,r,d+1,c);
	}
}
void PSrt(int l,int r,int d,vector<V> &c){
	int mid=l+r>>1;
	for(int a=mid,b=mid+1;b<=r&&a>=l;--a,++b) c.emplace_back(a,b,d);
	Srt(l,mid,d+1,c),Srt(mid+1,r,d+1,c);
}
 
void Slv(int l,int r,int d){
	if(l==r) return ;
	else{
		int mid=l+r>>1; md=max(md,d);
		Slv(l,mid,d+1),Slv(mid+1,r,d+1);
		PSrt(l,r,0,aas[d]);
	}
}
 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	cin>>n; int r=1; while(r<n) r<<=1;
	Slv(1,r,1);
	int cnt=0;
	for(int i=md;i;--i){
		sort(aas[i].begin(),aas[i].end(),[](const V &a,const V &b){return a.d<b.d;});
		int la=0;
		for(auto k:aas[i]) if(k.r<=n) if(la!=k.d) ++cnt,la=k.d;
		++cnt;
	}
	cout<<cnt<<endl;
	for(int i=md;i;--i){
		int la=0;
		for(auto k:aas[i]) if(k.r<=n){
			if(la!=k.d) cout<<endl,la=k.d;
			cout<<"CMPSWP R"<<k.l<<" R"<<k.r<<' ';
		}
		cout<<endl;
	}
}

posted @ 2024-11-14 20:44 5k_sync_closer 阅读(97) 评论(10) 编辑收藏举报

刷新页面返回顶部

登录后才能查看或发表评论，立即登录或者逛逛博客园首页

相关博文：

· 2024.2.17 鲜花

· 2025.2.4 鲜花

· 并行排序算法：双调排序

· 双调排序网络学习笔记

· CF1763D

阅读排行：
· 分享4款.NET开源、免费、实用的商城系统
· 全程不用写代码，我用AI程序员写了一个飞机大战
· MongoDB 8.0这个新功能碉堡了，比商业数据库还牛
· 记一次.NET内存居高不下排查解决与启示
· 白话解读 Dapr 1.15：你的「微服务管家」又秀新绝活了

公告

密码若没有特殊说明，就是 K8 的色号。

昵称： 5k_sync_closer
园龄： 2年8个月
粉丝： 56
关注： 76

+加关注

2025年3月

日

一

二

三

四

五

六

随笔分类 (58)

闲话(58)

xrlong

2024.11.14 鲜花

双调排序的正确性证明暨第八交响曲题解

公告

搜索

常用链接

我的标签

合集 (2)

随笔分类 (58)

随笔档案 (86)

文章分类 (27)

相册 (13)

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜

	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	using llt=long long;
	using llf=long double;
	using ull=unsigned long long;
	#define endl '\n'
	#ifdef LOCAL
	FILE InFile=freopen("in_out/in.in","r",stdin),OutFile=freopen("in_out/out.out","w",stdout);
	#else
	FILE InFile=freopen("symphony.in","r",stdin),OutFile=freopen("symphony.out","w",stdout);
	#endif

	const int N=203;
	int n,md;

	struct V{int l,r,d; V(int a,int b,int c):l(a),r(b),d(c){}};
	vector<V> aas[13];

	void Srt(int l,int r,int d,vector<V> &c){
	if(l==r) return ;
	else{
	int mid=l+r>>1;
	for(int a=l,b=mid+1;a<=mid&&b<=r;++a,++b) c.emplace_back(a,b,d);
	Srt(l,mid,d+1,c),Srt(mid+1,r,d+1,c);
	}
	}
	void PSrt(int l,int r,int d,vector<V> &c){
	int mid=l+r>>1;
	for(int a=mid,b=mid+1;b<=r&&a>=l;--a,++b) c.emplace_back(a,b,d);
	Srt(l,mid,d+1,c),Srt(mid+1,r,d+1,c);
	}

	void Slv(int l,int r,int d){
	if(l==r) return ;
	else{
	int mid=l+r>>1; md=max(md,d);
	Slv(l,mid,d+1),Slv(mid+1,r,d+1);
	PSrt(l,r,0,aas[d]);
	}
	}

	int main(){
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
	cin>>n; int r=1; while(r<n) r<<=1;
	Slv(1,r,1);
	int cnt=0;
	for(int i=md;i;--i){
	sort(aas[i].begin(),aas[i].end(),[](const V &a,const V &b){return a.d<b.d;});
	int la=0;
	for(auto k:aas[i]) if(k.r<=n) if(la!=k.d) ++cnt,la=k.d;
	++cnt;
	}
	cout<<cnt<<endl;
	for(int i=md;i;--i){
	int la=0;
	for(auto k:aas[i]) if(k.r<=n){
	if(la!=k.d) cout<<endl,la=k.d;
	cout<<"CMPSWP R"<<k.l<<" R"<<k.r<<' ';
	}
	cout<<endl;
	}
	}