11.4 - 12.31

合集 - 模拟赛(26)

1.初中信息奥赛模拟测试2024-01-16 2.2024初三年前集训测试12024-01-31 3.2024初三年前集训测试22024-02-06 4.2024初三年前集训测试32024-02-06 5.2024初三集训模拟测试12024-02-17 6.2024初三集训模拟测试22024-02-20 7.2024初三集训模拟测试32024-02-22 8.集训 4 & 模拟 52024-05-04 9.初三奥赛模拟测试12024-05-04 10.NOIP2024模拟12024-07-09 11.NOIP2024模拟22024-07-10 12.暑假集训CSP提高模拟12024-07-18 13.暑假集训CSP提高模拟4 & 暑假集训CSP提高模拟52024-07-25 14.模拟赛252024-08-21 15.暑假集训CSP提高模拟72024-07-26 16.暑假集训CSP提高模拟2 & 暑假集训CSP提高模拟32024-07-21 17.10.4 - 11.4 改题纪要2024-11-04 18.2024.8.9 鲜花2024-08-09 19.2024.10.22 鲜花2024-10-22 20.2024.10.23 鲜花2024-10-23

21.11.4 - 12.312024-11-04

22.2024.11.12 鲜花2024-11-12 23.2024.11.14 鲜花2024-11-14 24.2024.11.26 鲜花2024-11-26 25.2024.1.15 鲜花01-15 26.2024.2.17 鲜花02-17

11.4 - 12.31 改题纪要

NOIP2024模拟1

不是每个题都有乱搞过得是吧。

T1 玩游戏

先前缀和，问题变成 $a_{i} + b_{j} \leq 0$

考虑显然贪心，每次移动到更优的位置。

这样可以跳到最小的位置，发现到终点和从起点跳过来是类似的，倒着跑一遍即可。
T2 排列

首先发现当 $k > \log n$ 时一定无解因为显然每次最少消掉一半。

考虑 dp。

发现对于最大值可以将数组分成不相干的两部分，考虑直接在笛卡尔树上跑。

除了要特判的根，对于一个子树，其只有两种可能：有一边有最大值和两边都有最大值。设 $d p_{i, j, 0 / 1}$ 表示大小为 $i$ ，总共 $j$ 步消完， $0 / 1$ 表示不同种子树。

转移挺显然，暴力整是 $n^{2} \log^{2} n$ 的，加上巴雷特约减轻松过，前缀和优化一下可以做到 $n^{2} \log n$ 的。
T3 最短路

好题。

首先那个二维 dij 是假的了。

考虑最后走的路线一定是一些环接起来，顺逆时针依次颠倒。环的交就是重合的点。

设 $d p_{i, j}$ 表示 $1 \to i \to j \to 1$ 的最短距离，类似 dij 暴力枚举其后面两个 $i^{'}, j^{'}$ 可以做到 $n^{4} \log n$ 。

发现的转移贡献 $j \to i^{'} \to j^{'} \to i$ 中 $i^{'} \to j^{'} \to i$ 和 $j$ 没有关系，可以设置一个中转状态 $f_{i, j}$ 表示 $d p_{i, k_{1}} \to d p j, k_{2}$ 中只计算了 $k_{1} \to j$ 的贡献的值，这个显然可以在 $d p_{i, k_{1}}$ 时枚举 $j$ 转移，然后用 $f_{i, j}$ 枚举 $k_{2}$ 转移 $d p_{j, k_{2}}$ 即可做到优秀的 $n^{3} \log n$ 复杂度。

因为值域较小，可以用桶代替堆，做到 $n^{3}$ ，但是 $n^{3} \log n$ 已经可以通过。
T4 矩形

起手扫描线。

考虑线段树维护加线段和减线段，加线段时直接维护线段覆盖次数，并将覆盖的所有颜色推平，可以用并查集维护；减线段时打标记，当加线段时发现这段区间已经被减成 $0$ 了就新染颜色。

发现只有加线段会新加常数个颜色段，一个颜色段只会贡献一次，复杂度显然。

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛18

T4 银行的源起（banking）

首先经典结论，树的重心和边权无关，只放一个点时总贡献是 $\sum_{{u, v, w} \in E} w min (s i z e_{v}, n - s i z e_{v})$ 。

考虑放两个等价于断掉一条边，再在两棵树上分别选一个。

将贡献拆开，问题就变成了求 $s i z e_{u} \geq k$ 的和，断开一条边，发现只有到从根到这条边的链上的 $s i z e$ 有变化，用东西维护一下链上的贡献，其他的贡献直接拆到 dfs 序上即可。

链上的贡献可以用线段树维护，发现加一个点重心一定不上移，有单调性也可以维护栈二分。

NOIP2024加赛2

T4 灯笼

这个确实是好题。

首先考虑 $d p$ ，容易发现在任意时刻海拔区间都是连续的，因为你可以在要用的时候去买，对于每个起点，设 $d p_{i, j}$ 表示海拔区间是 $[i, j]$ 的最小花费，因为其一定包含这个起点，所以一定唯一确定一段可以行走的山脉，枚举下回买什么转移即可。

对于每个起点单独做是没有前途的，发现终止坐标只有一个，考虑倒着转移，每次枚举当前买的是那个并且将他删掉并加入贡献。容易发现这样我们需要知道当前可行走山脉的一个点，是三维的，考虑记录贡献左右端点的灯笼，我们的区间一定经过这两个点，状态就只用设二维。

现在的状态： $d p_{i, j}$ 表示海拔区间是 $[a_{i}, b_{j}]$ 的最小花费，转移懒得打了，贺了一个：

考虑前两种情况，发现限制显然具有单调性，用个堆维护所有转移点即可。

考虑第三种情况，发现我们可以让 $d p_{k, k} \to d p_{k, v} \to d p_{u, v}$ ，其中 $d p_{k, v}$ 本身并不是合法状态，我们钦定它等于 $d p_{k, k}$ 即可。

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛19

T2 两棵树

首先你会经典结论，森林的连通块数量等于 $点数 - 边数$ 然后发现可以直接拆贡献，然后你就会了。
T3 函数

容易发现最靠后的正的和最靠后的负的中一定有一个是答案，直接 trie 上二分即可。
T4 编辑

好题。

首先你会 $n^{3}$ 暴力 $d p$ 。

发现 $k$ 作为 $d p$ 的值却有非常优秀的性质，考虑将它设到状态里。

设 $d p_{i, j}$ 表示更改 $i$ 次，两串长度之差为 $j$ ，能匹配的最大长度。

每次转移时求 $l c p$ 尽量扩展这次的长度，再用这次转移，考虑下一次操作用什么即可。

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛20

T2 和平精英

你首先注意到 $&$ 不升， $|$ 不降，所以一定是将一些小的或起来等于一些大的与起来。

发现一些更好的性质， $&$ 的 $p o p c o u n t$ 不升， $|$ 的 $p o p c o u n t$ 不降，所以直接枚举 $p o p c o u n t$ 维护区间 $& |$ 即可。
T4 对称旅行者

难题。

考虑求最后的期望位置，设为 $f_{i}$ 。

考虑每次的转移化简后是 $f_{i} = f_{i - 1} + f_{i + 1} - f_{i}$ ，其几何上相当于对 $f_{i - 1}, f_{i + 1}$ 的中点做对称。

考虑对称后到端点的距离，容易想到设 $g_{i} = f_{i + 1} - f_{i}$ ，那么每次变换相当于交换 $g_{i}, g_{i + 1}$ 。

可以快速幂维护 $g$ ，而 $f_{1}$ 始终不变，可以直接求出所有 $f$ 。

NOIP2024（欢乐）加赛3

Long Way to be Non-decreasing

求基环树上两点距离题。

考虑先二分答案，check 时尺取从小到大枚举跳到哪，问题就变成了判断能否跳到，即基环树上距离是否 $\leq k$ 。

NOIP2024加赛4

T1 王国边缘

唐氏才想基环树。

对我是唐氏。

直接倍增即可。
T2 买东西题

返回贪心板子。

考虑先按 $a$ 和 $w$ 升序排序，这样遍历物品时优惠券是递增的，不会有删除。

考虑对于一个物品，其肯定是选能用的中最大的优惠券，考虑到可能将这张优惠券留到后面给其他的会更优秀，于是可以将折扣价当成优惠券放到里面去，以后选了折扣价可以视为将优惠券换回来。
T4 魔法少女们

好题：可以看 2024.11.12 鲜花

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛21

T2 共轭树图

就是你考虑经典结论，森林的联通块数等于点数减边数，然后你就直接会了。
T3 摸鱼军训

考虑一次冒泡，如果前面有大于你的东西，其一定会跑到你后面，如果大于你的看成 $1$ ，小于的看成 $0$ ，容易发现其相当于是将前面的一个扔到最后了。

考虑当前面没有大于你的时，你一次会向后走多少，依然看成 $01$ ，容易发现你是走到了第一个大于你的位置，并且将这段连续的 $1$ 中的最后一个扔到最后。

考虑用数据结构维护这个，可以直接线段树二分。至于变成 $01$ 串，可以直接离线按值排序后扫描线。
T4 神奇园艺师

其实就是一个范德蒙德卷积板子。

考虑首先将分解质因数，对于每个质因数单独考虑。

容易发现其相当于是对于每个子集求中位数，考虑当左边选 $i$ 个，右边选 $j$ 个时的贡献，暴力算是 $n^{3}$ 的。

将式子写出来推一推发现是范德蒙德卷积板子，于是单次可以 $O (n)$ ，发现复杂度卡在最开始的一段 $0$ 上，其贡献是好算的，所以总复杂度是 $O (n \log n)$ （如果用桶排）。

剩下的抽时间再说吧

posted @ 2024-11-04 21:04 5k_sync_closer 阅读(49) 评论(1) 编辑收藏举报

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