11.4 - ? 改题纪要

11.4 - ? 改题纪要

NOIP2024模拟1

不是每个题都有乱搞过得是吧。

1. T1 玩游戏

   先前缀和，问题变成 \(a_i+b_j\le0\)

   考虑显然贪心，每次移动到更优的位置。

   这样可以跳到最小的位置，发现到终点和从起点跳过来是类似的，倒着跑一遍即可。

2. T2 排列

   首先发现当 \(k>\log n\) 时一定无解 因为显然每次最少消掉一半。

   考虑 dp。

   发现对于最大值可以将数组分成不相干的两部分，考虑直接在笛卡尔树上跑。

   除了要特判的根，对于一个子树，其只有两种可能：有一边有最大值和两边都有最大值。设 \(dp_{i,j,0/1}\) 表示大小为 \(i\)，总共 \(j\) 步消完，\(0/1\) 表示不同种子树。

   转移挺显然，暴力整是 \(n^2\log^2n\) 的，加上巴雷特约减轻松过，前缀和优化一下可以做到 \(n^2\log n\) 的。

3. T3 最短路

   好题。

   首先那个二维 dij 是假的了。

   考虑最后走的路线一定是一些环接起来，顺逆时针依次颠倒。环的交就是重合的点。

   设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(1\to i\to j\to 1\) 的最短距离，类似 dij 暴力枚举其后面两个 \(i',j'\) 可以做到 \(n^4\log n\)。

   发现的转移贡献 \(j\to i'\to j' \to i\) 中 \(i'\to j' \to i\) 和 \(j\) 没有关系，可以设置一个中转状态 \(f_{i,j}\) 表示 \(dp_{i,k_1}\to dp{j,k_2}\) 中只计算了 \(k_1\to j\) 的贡献的值，这个显然可以在 \(dp_{i,k_1}\) 时枚举 \(j\) 转移，然后用 \(f_{i,j}\) 枚举 \(k_2\) 转移 \(dp_{j,k_2}\) 即可做到优秀的 \(n^3\log n\) 复杂度。

   因为值域较小，可以用桶代替堆，做到 \(n^3\)，但是 \(n^3\log n\) 已经可以通过。

4. T4 矩形

   起手扫描线。

   考虑线段树维护加线段和减线段，加线段时直接维护线段覆盖次数，并将覆盖的所有颜色推平，可以用并查集维护；减线段时打标记，当加线段时发现这段区间已经被减成 \(0\) 了就新染颜色。

   发现只有加线段会新加常数个颜色段，一个颜色段只会贡献一次，复杂度显然。

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛18

1. T4 银行的源起（banking）

   首先经典结论，树的重心和边权无关，只放一个点时总贡献是 \(\sum\limits_{\{u,v,w\}\in E}w\min(size_v,n-size_v)\)。

   考虑放两个等价于断掉一条边，再在两棵树上分别选一个。

   将贡献拆开，问题就变成了求 \(size_u\ge k\) 的和，断开一条边，发现只有到从根到这条边的链上的 \(size\) 有变化，用东西维护一下链上的贡献，其他的贡献直接拆到 dfs 序上即可。

   链上的贡献可以用线段树维护，发现加一个点重心一定不上移，有单调性也可以维护栈二分。

NOIP2024加赛2

1. T4 灯笼

   这个确实是好题。

   首先考虑 \(dp\)，容易发现在任意时刻海拔区间都是连续的，因为你可以在要用的时候去买，对于每个起点，设 \(dp_{i,j}\) 表示海拔区间是 \([i,j]\) 的最小花费，因为其一定包含这个起点，所以一定唯一确定一段可以行走的山脉，枚举下回买什么转移即可。

   对于每个起点单独做是没有前途的，发现终止坐标只有一个，考虑倒着转移，每次枚举当前买的是那个并且将他删掉并加入贡献。容易发现这样我们需要知道当前可行走山脉的一个点，是三维的，考虑记录贡献左右端点的灯笼，我们的区间一定经过这两个点，状态就只用设二维。

   现在的状态：\(dp_{i,j}\) 表示海拔区间是 \([a_i,b_j]\) 的最小花费，转移懒得打了，贺了一个：

   

   考虑前两种情况，发现限制显然具有单调性，用个堆维护所有转移点即可。

   考虑第三种情况，发现我们可以让 \(dp_{k,k}\to dp_{k,v} \to dp_{u,v}\)，其中 \(dp_{k,v}\) 本身并不是合法状态，我们钦定它等于 \(dp_{k,k}\) 即可。

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛19

1. T2 两棵树

   首先你会经典结论，森林的连通块数量等于 \(\text{点数}-\text{边数}\) 然后发现可以直接拆贡献，然后你就会了。

2. T3 函数

   容易发现最靠后的正的和最靠后的负的中一定有一个是答案，直接 trie 上二分即可。

3. T4 编辑

   好题。

   首先你会 \(n^3\) 暴力 \(dp\)。

   发现 \(k\) 作为 \(dp\) 的值却有非常优秀的性质，考虑将它设到状态里。

   设 \(dp_{i,j}\) 表示更改 \(i\) 次，两串长度之差为 \(j\)，能匹配的最大长度。

   每次转移时求 \(lcp\) 尽量扩展这次的长度，再用这次转移，考虑下一次操作用什么即可。

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛20

1. T2 和平精英

   你首先注意到 \(\&\) 不升，\(|\) 不降，所以一定是将一些小的或起来等于一些大的与起来。

   发现一些更好的性质，\(\&\) 的 \(popcount\) 不升，\(|\) 的 \(popcount\) 不降，所以直接枚举 \(popcount\) 维护区间 \(\& |\) 即可。

2. T4 对称旅行者

   难题。

   考虑求最后的期望位置，设为 \(f_i\)。

   考虑每次的转移化简后是 \(f_i=f_{i-1}+f_{i+1}-f_i\)，其几何上相当于对 \(f_{i-1},f_{i+1}\) 的中点做对称。

   考虑对称后到端点的距离，容易想到设 \(g_i=f_{i+1}-f_i\)，那么每次变换相当于交换 \(g_i,g_{i+1}\)。

   可以快速幂维护 \(g\)，而 \(f_1\) 始终不变，可以直接求出所有 \(f\)。

NOIP2024（欢乐）加赛3

1. Long Way to be Non-decreasing

   求基环树上两点距离题。

   考虑先二分答案，check 时尺取从小到大枚举跳到哪，问题就变成了判断能否跳到，即基环树上距离是否 \(\le k\)。

NOIP2024加赛4

1. T1 王国边缘

   唐氏才想基环树。

   对我是唐氏。

   直接倍增即可。

2. T2 买东西题

   返回贪心板子。

   考虑先按 \(a\) 和 \(w\) 升序排序，这样遍历物品时优惠券是递增的，不会有删除。

   考虑对于一个物品，其肯定是选能用的中最大的优惠券，考虑到可能将这张优惠券留到后面给其他的会更优秀，于是可以将折扣价当成优惠券放到里面去，以后选了折扣价可以视为将优惠券换回来。

3. T4 魔法少女们

   好题：可以看 2024.11.12 鲜花

多校A层冲刺NOIP2024模拟赛21

1. T2 共轭树图

   就是你考虑经典结论，森林的联通块数等于点数减边数，然后你就直接会了。

2. T3 摸鱼军训

   考虑一次冒泡，如果前面有大于你的东西，其一定会跑到你后面，如果大于你的看成 \(1\)，小于的看成 \(0\)，容易发现其相当于是将前面的一个扔到最后了。

   考虑当前面没有大于你的时，你一次会向后走多少，依然看成 \(01\)，容易发现你是走到了第一个大于你的位置，并且将这段连续的 \(1\) 中的最后一个扔到最后。

   考虑用数据结构维护这个，可以直接线段树二分。至于变成 \(01\) 串，可以直接离线按值排序后扫描线。

3. T4 神奇园艺师

   其实就是一个范德蒙德卷积板子。

   考虑首先将分解质因数，对于每个质因数单独考虑。

   容易发现其相当于是对于每个子集求中位数，考虑当左边选 \(i\) 个，右边选 \(j\) 个时的贡献，暴力算是 \(n^3\) 的。

   将式子写出来推一推发现是范德蒙德卷积板子，于是单次可以 \(O(n)\)，发现复杂度卡在最开始的一段 \(0\) 上，其贡献是好算的，所以总复杂度是 \(O(n\log n)\)（如果用桶排）。

NOIP2024加赛5