2024.10.16 鲜花

PRAGMATISM -RESURRECTION

凭什么没词就不是好歌！！！

取模优化

就不讲怎么减少取模了。

比较广为流传的有两种，Barrett reduction，Montgomery Algorithm。

对于固定常数模数，计算机已经优化的很好了，一般不会有太大效果（确实有，用 Barrett reduction 有时可以卡常）。

对于输入的固定模数（即不会改变），可以用一下算法优化。

Barrett reduction：

一句话总结，比较有用，比较好写

考虑对于 $amodm$，可以用 $a-m\lfloor \frac{a}{m}\rfloor$，但是直接计算 $\lfloor \frac{a}{m}\rfloor$，由于除法的常数，并不会快。

众所周知，不能精确计算的就粗略计算，考虑除以 $2^k$ 是快的，因为可以用位运算，于是我们考虑将 $\lfloor \frac{a}{m}\rfloor$ 用除以 $2^k$ 估算。

具体的，设 $base=\lfloor \frac{2^k}{m}\rfloor$，于是 $\lfloor \frac{a}{m}\rfloor$ 可以粗略计算为 $\lfloor \frac{base\ast a}{2^k}\rfloor$。

优点是简洁好写，缺点是有一定错误率，且需要用 __int128。

错误率：显然，$\lfloor \frac{base\ast a}{2^k}\rfloor \le \lfloor \frac{a}{m}\rfloor$ 对于 $k$ 取 $64$ 时，$m$ 在 ${10}^9$ 左右的模数，极限值域在 ${10}^{18}$ 时，用 __uint128_t 存储 $base$，在测试了 ${10}^{10}$ 组纯随机数据中，$\lfloor \frac{a}{m}\rfloor -\lfloor \frac{base\ast a}{2^k}\rfloor \le 1$，可以加上判断来减掉误差（虽然会变慢）。

Montgomery Algorithm：

一句话总结，卵用没有。

考虑对于加减法，显然可以用判断来代替取模，对于乘法（$abmodm$），我们考虑优化。

这里我们需要 $m\perp 2$。

设 $R=2^k>m,a^{\prime }=aRmodm,b^{\prime }=bRmodm$。

显然有 $abR\equiv a^{\prime }{b}^{\prime }{R}^{-1}(\mathrm{mod}m),a^{\prime }{R}^{-1}\equiv a{R}^2(\mathrm{mod}m),b^{\prime }{R}^{-1}\equiv b{R}^2(\mathrm{mod}m)$，而 $R^{2}modm$ 是可以预处理的，所以我们只要能够快速求出 $x{R}^{-1}modm$ 就可以快速求出 $a^{\prime },b^{\prime }$，进而求出 $abR,ab$。

如何求出 $x{R}^{-1}$ ，考虑求最小的 $k$ 满足 $R|x+km$，在将 $R$ 除掉即可，$k(\mathrm{mod}-)x{m}^{-1}(\mathrm{mod}R)$，提前处理 $m^{-1}modR$即可。

优点是不用 __int128，并且实现精细的话可能更快，缺点是必须精细实现，要封装 $modint$ 来减少转换，细节较多（反正我调了一下午还不如本地动态模数暴力快，提交比固定模数略慢）。

唯一的作用没准就是做模板题 at_arc148_f。

速度测试以后会补，有简单的本地评价： Barrett reduction 未加判断。

固定模数： $\mathrm{默}\mathrm{认}=Barrettreduction<MontgomeryAlgorithm$

非固定数： $Barrettreduction<\mathrm{默}\mathrm{认}<MontgomeryAlgorithm$

学校 OJ 上固定模数 Montgomery Algorithm 略慢于默认，Barrett reduction 略快于默认。

Barrett reduction，Montgomery Algorithm 都不会受模数是否固定影响。

Upd:
给一个板子：

    Mbs = (__int128(1) << 64) / MOD; // init
    int Mod(int x){
        return (x -= ((__int128(x) * m) >> 64) * MOD) >= MOD ? x - MOD : x;
    }

P