2024.8.1 鲜花

Re:End of a dream

鞅的停时定理

感觉学起来还挺简单的，就是有太灵活逆天的式子。

这里不放鞅的定义了，可以看 百度百科

这里指的是连续鞅。

停时定理：

若满足一下三个条件之一：

$$P\{T<\mathrm{\infty }\}=1$$

$$E[|M_T|]<\mathrm{\infty }$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}E[|M_n|I_{\{T>n\}}|]=0$$

则有：

$$E[M_T]=E[M_0]$$

其实对于这个用的不多，一般会用势能形式，条件也一般都会满足。

但也有用这个简单的。

势能形式：

考虑对于每个状态 $A_i$，设终状态为 $A_{\gamma }$，构造势能函数 $\varphi$，使其满足 $E\{\varphi (A_{n+1}-A_n)\mid A_n...A_1\}=-1$，并且 $E(\varphi (A_{\gamma }))$ 唯一确定。

然后就可一用 $E(\varphi (A_{\gamma }))-E(\varphi (A_{begin}))$ 求期望步数。

其实有更严谨的表达，但卵用没有。

困难的就是构造势能函数，给几个例题：

CF1025G Company Acquisitions

你们模拟赛出这个防 AK 是吧

状态显然。

考虑一个局面，只和一个每个根的子树个数有关，考虑依此构造每个子树的势 $f(x)$，表示子树有 $x$ 个节点的势，整个状态的势就是 $\varphi =\sum f$

考虑每次的转移，我们可以直接考虑钦定两个点，每个都有 $\frac{1}{2}$ 的概率是另一个父亲，设这两个点分别为 $x,y$，有：

$$\frac{f(x+1)+yf(0)}{2}+\frac{f(y+1)+xf(0)}{2}-f(x)-f(y)=-1$$

因为我们想得到一些严格的关系，不妨将条件适当严格化，并钦定常量 $f(0)=0$，则有：

$$f(x+1)-2f(x)=-1$$

然后就可以直接 $O(n)$ 求每个了，发现其满足条件，可以作差。

CF1349D Slime and Biscuits

和刚才那个很像，但是发现没法钦定，只能直接枚举和式。

直接考虑每个被选中的概率，可以有和式（太长了我不放了，卖个萌能放过我吗 QwQ）

考虑还是将条件严格化，直接去掉和式，对于第 $i$ 项钦定其值是 $-\frac{x}{m}$，然后就有递推式子了。

放个题解吧，要是觉得我讲的太烂了可以去看 luogu

最后有一个好玩的题：P4548 [CTSC2006] 歌唱王国

这个就是用停时定义比势能简单的例子。

有形象讲法：

考虑在每次唱歌钱有一个赌徒初始有一个硬币来按照酋长名字顺序依次赌唱 $a_i$，如果赢了获得 $n$ 倍硬币并继续赌，输了全赔。

考虑最后一定是剩下一个人赌完了，每个 $border$ 都会有一个人还在，其他人都输完了。

考虑公平游戏出入平衡，可以赌徒期望得钱数 $\sum l_i^n$，$l$ 是每个 $border$ 长度（算原串），也就是期望轮数。

证明就是直接对刚才的局面建鞅，显然鞅之和是鞅，考虑前后期望一样即可。

当然也可以用势能函数做

图