2024.7.20 鲜花

推歌：Dive Back In Time

点分治好题

ZB 的旋转树

翻译成人话：

给定一颗树，求:

$$\sum _{u\ne v}\frac{b_u{b}_v+max(b_u,b_v)}{di{s}_{u,v}+1}$$

考虑点分，考虑求经过根节点的。

先求一部分：

$$\sum _{u\ne v}\frac{b_u{b}_v}{di{s}_{u,v}}$$

$$=\sum _{u\ne v}\frac{b_u{b}_v}{de{p}_u+de{p}_v}$$

构造多项式 $f$，次数表示 $dep$ ，系数表示这个深度下 $\sum b$

这样 $f\ast g$ 表示的就是原式，卷完了直接枚举项求即可。

考虑后面的 $\sum _{u\ne v}\frac{max(b_u,b_v)}{di{s}_{u,v}+1}$，为了方便以后的做法，先将 $max$ 整成 $min$

$$\sum _{u\ne v}\frac{b_u{b}_v+max(b_u,b_v)}{di{s}_{u,v}+1}=\sum _{u\ne v}\frac{b_u{b}_v+b_u+b_v-min(b_u,b_v)}{di{s}_{u,v}+1}$$

前面可以配成 $\sum _{u\ne v}\frac{(b_u+1)(b_v+1)}{di{s}_{u,v}}$，和之前一样处理。

现在只剩下 $$\sum _{u\ne v}\frac{min(b_u,b_v)}{di{s}_{u,v}}$$ 需要处理。

设 $(m(u,v)=k)$ 表示 $min(b_u,b_v)=k$ 的点对个数。

发现依然不好做，考虑容斥成 $(m(u,v)\ge k)-(m(u,v)\ge k+1)$（类似定义）。

于是问题变成了求 $$k\in [1,maxb],\sum _{u\ne v}\frac{(m(u,v)\ge k)}{di{s}_{u,v}}$$

因为有 $\sum b$ 限制，考虑阈值分治，在 $k\ge T$ 以上可以 $O(n^2)$ 暴力。

其余的直接枚举 $k$，问题可以转换成 $\sum _{u\ne v}\frac{[b_u\ge k][b_v\ge k]}{di{s}_{u,v}}$ ，一样卷积即可。

Miku