暑假集训CSP提高模拟1

合集 - 模拟赛(26)

1.初中信息奥赛模拟测试2024-01-162.2024初三年前集训测试12024-01-313.2024初三年前集训测试22024-02-064.2024初三年前集训测试32024-02-065.2024初三集训模拟测试12024-02-176.2024初三集训模拟测试22024-02-207.2024初三集训模拟测试32024-02-228.集训 4 & 模拟 52024-05-049.初三奥赛模拟测试12024-05-0410.NOIP2024模拟12024-07-0911.NOIP2024模拟22024-07-10

12.暑假集训CSP提高模拟12024-07-18

13.暑假集训CSP提高模拟4 & 暑假集训CSP提高模拟52024-07-2514.模拟赛252024-08-2115.暑假集训CSP提高模拟72024-07-2616.暑假集训CSP提高模拟2 & 暑假集训CSP提高模拟32024-07-2117.10.4 - 11.4 改题纪要2024-11-0418.2024.8.9 鲜花2024-08-0919.2024.10.22 鲜花2024-10-2220.2024.10.23 鲜花2024-10-2321.11.4 - 12.312024-11-0422.2024.11.12 鲜花2024-11-1223.2024.11.14 鲜花2024-11-1424.2024.11.26 鲜花2024-11-2625.2024.1.15 鲜花01-1526.2024.2.17 鲜花02-17

收起

暑假集训CSP提高模拟1

唐完乐！

1. T1 Start

   大模拟，之前还做过。结果照样挂 90pts

   细节较多，比较坑的是除法要向下取整，而 / 是向 $0$ 取整。

2. T2 mine

   这 $DP$ 已经简单到不能在简单了。

   设 $d{p}_{i,0/1/2}$ 表示到第 $i$ 位，$0$ 后面不放雷，$1$ 后面放雷，$2$ 自己是雷。

   转移显然。

3. 小凯的疑惑

   因为能被表示的数一定是 $gcd(x,y)$ 的倍数。

   当 $x,y$ 不互质时，有无数多个。

   当 $x,y$ 互质时，简单分析剩余系得 $>xy-x-y$ 的数一定能被表示，这里为方便用 $xy$ 即可。

   考虑每举有几个 $y$，答案显然是 $xy-\sum _{i=0}^{x-1}(\lfloor \frac{xy-iy}{x}\rfloor +1)+1$，最后加一是因为 $0$ 被多减了。

   其实 ${10}^8$ 已经能过了，但还可以化简。

   $$\begin{array}{rl}xy-\sum _{i=0}^{x-1}(\lfloor \frac{xy-iy}{x}\rfloor +1)+1& =xy-\sum _{i=0}^{x-1}(y+1-\lceil \frac{iy}{x}\rceil )+1\\ & =xy-x(y+1)+1+\sum _{i=0}^{x-1}\lceil \frac{iy}{x}\rceil \end{array}$$

   设 $t=\sum _{i=0}^{x-1}\lceil \frac{iy}{x}\rceil$ 则

   $$xt=\sum _{i=0}^{x-1}iy+\sum _{i=0}^{x-1}((x-iy)modx)$$

   考虑 $x,y$ 互质，所以 $\sum _{i=0}^{x-1}(iymodx)$ 恰好是 $\sum _{i=0}^{x-1}i$，所以

   $$xt=\sum _{i=0}^{x-1}iy+\sum _{i=0}^{x-1}((x-iy)modx)=\frac{x(x-1)}{2}y+\frac{x(x-1)}{2}$$
   $$t=\frac{y(x-1)}{2}+\frac{x-1}{2}$$

   所以原式：

   $$xy-x(y+1)+1+\frac{y(x-1)}{2}+\frac{x-1}{2}=\frac{xy-x-y+1}{2}$$

4. 春节十二响

   从上往下不好做，考虑从下往上。

   显然贪心，子树中从大到小匹配，取 $max$ 即可。

   可以启发式合并维护。