暑假集训CSP提高模拟1

暑假集训CSP提高模拟1

唐完乐！

1. T1 Start

   大模拟，之前还做过。结果照样挂 90pts

   细节较多，比较坑的是除法要向下取整，而 / 是向 \(0\) 取整。

2. T2 mine

   这 \(DP\) 已经简单到不能在简单了。

   设 \(dp_{i,0/1/2}\) 表示到第 \(i\) 位，\(0\) 后面不放雷，\(1\) 后面放雷，\(2\) 自己是雷。

   转移显然。

3. 小凯的疑惑

   因为能被表示的数一定是 \(\gcd(x,y)\) 的倍数。

   当 \(x,y\) 不互质时，有无数多个。

   当 \(x,y\) 互质时，简单分析剩余系得 \(> xy-x-y\) 的数一定能被表示，这里为方便用 \(xy\) 即可。

   考虑每举有几个 \(y\)，答案显然是 \(xy - \sum\limits_{i=0}^{x-1}( \left\lfloor \frac{xy-iy}{x} \right\rfloor + 1) + 1\)，最后加一是因为 \(0\) 被多减了。

   其实 \(10^8\) 已经能过了，但还可以化简。

   \[\begin{aligned} xy - \sum_{i=0}^{x-1}( \left\lfloor \frac{xy-iy}{x} \right\rfloor + 1) + 1 &= xy - \sum_{i=0}^{x-1} (y + 1 - \left\lceil \frac{iy}{x} \right\rceil) + 1\\ &= xy - x(y+1) + 1 + \sum_{i=0}^{x-1} \left\lceil \frac{iy}{x} \right\rceil\\ \end{aligned}\]

   设 \(t=\sum\limits_{i=0}^{x-1} \left\lceil \frac{iy}{x} \right\rceil\) 则

   \[xt=\sum_{i=0}^{x-1} iy + \sum_{i=0}^{x-1} ((x-iy)\bmod x) \]

   考虑 \(x,y\) 互质，所以 \(\sum\limits_{i=0}^{x-1} (iy\bmod x)\) 恰好是 \(\sum_{i=0}^{x-1} i\)，所以

   \[xt=\sum_{i=0}^{x-1} iy + \sum_{i=0}^{x-1} ((x-iy)\bmod x)=\frac{x(x-1)}{2}y+\frac{x(x-1)}{2} \]
   \[t=\frac{y(x-1)}{2}+\frac{x-1}{2} \]

   所以原式：

   \[xy - x(y+1) + 1 + \frac{y(x-1)}{2}+\frac{x-1}{2}=\frac{xy-x-y+1}{2} \]

4. 春节十二响

   从上往下不好做，考虑从下往上。

   显然贪心，子树中从大到小匹配，取 \(\max\) 即可。

   可以启发式合并维护。