2024.7.9 鲜花

頭ン痛 - feat. 重音テト

我没找到 QaQ

prufer 序列，简单来说就是 $n$ 个节点的树双射一个长度 $n-2$ 值域 $[1,n]$ 的序列。

构造过程就是每次删一个编号最小叶子，记录其父节点。

本图来自baoziwu2,侵删

显然堆 $n\log n$ 可做，也可以扫一遍所有标号，对于已经删除的父节点，判断其度数和标号是否该选，分讨可做 $O(n)$

然后有定理：

$k$ 个点完全图有 $k^{k-2}$ 棵生成树。

$n$ 个点的图有 $k$ 个联通块，第 $i$ 个联通块点数为 $s_i$ ，添加 $k-1$ 条边使其联通，有 $n^{k-2}\times \prod _{i=1}^k{s}_i$ 种方案。

证明可以考虑缩点后为生成树，考虑每个联通块内的点个数，可以得到。

例题 P6596 How Many of Them

updata：找到板子了 CF156D

简要题解

首先将至多容斥成至少，然后考虑可以先求出有 $m+1$ 个连通块的个数，可以 dp，在加 $m$ 条边联通，乘上 $n^{k-2}\times \prod _{i=1}^k{s}_i$ 即可。

直接 $DP$ 是 $n^3$，可以用多项式优化到 $n^2\log n$，但我不会

图——from STA_Morlin 为什么不让折叠捏？？？