费马小定理

十分简单。

定理：

若 \(p\) 是质数，则有：

\[a^p\equiv a\pmod p \]

其实，一般将它写作：

\[\begin{cases} a^{p-1}\equiv 1\pmod p && \gcd(a,p)=1\\a^{p-1}\equiv 0\pmod p && \gcd(a,p)\not=1 \end{cases} \]

证明：

对于 \(\gcd(a,p)=1\) 的情况，其实就是欧拉定理的特例：

\[\because \gcd(a,p)=1 \]

\[\therefore a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p \]

\[\because p \text{ 是质数} \]

\[\therefore \varphi(p)=p-1 \]

\[\therefore a^p\equiv 1\pmod p \]

对于 \(\gcd(a,p)\not=1\) 的情况，更为简单。

\[\because p \text{ 是质数} \& \gcd(a,p)\not=1 \]

\[\therefore p\mid a \]

\[\therefore a^{p-1}\equiv 0\pmod p \]