动态规划专题

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冲刺 noip 800 分，41 秒切 T1234

• A:Helping People

  抽象题。

  发现区间只有不交与包含，可以想到建树（其实不太可以。

  因为期望 \(max\) 与 \(max\) 期望不是一个东西，又发现 \(q\) 十分小，所以直接设 \(dp_{i,j}\) 表示到节点 \(i\) 最大值增加了 \(\le j\) 的概率，\(q^2\) 转移即可。

• B:Birds

  智障题。

  发现魔力很大但总鸟数很小，直接设 \(dp_{i,j}\) 表示到第 \(i\) 棵树抓了 \(j\) 只鸟的最大剩余魔力，直接转移就好了。

  Vjudge 上图片挂了，没有 \(\sum c_i \le 10^4\)。。。

• C:Positions in Permutations

  二项式反演板子。

  考虑求至少，设 \(dp_{i,j,1/0,1/0}\) 表示到第 \(i\) 位，钦定了 \(j\) 个，因为转移与 \(i+1,i-1\) 是否选了有关，所以压两位表示 \(i,i+1\) 是否选了。

  考虑第 \(i\) 位是否钦定转移即可，最后乘上没钦定的全排在反演即可。

• E:Bear and Cavalry

  结论题。

  先考虑没有限制，贪心排序即可。

  有限制可以直接排序后 \(n^2\) 转移。

  发现结论，最后的匹配一定可以变成一堆长度不超过三的块，两两之间没有联系。

  于是有了 \(O(n)\) 转移，\(nq\) 卡常可过。

  优秀的 OIer 不能只会暴力卡常。

  发现转移可以矩阵维护，\(max\) 和 \(+\) 组成的矩阵也满足结合律，单次最多只会修改 9 个矩阵。

  线段树维护单点改区间乘即可。

  也可以分块，块内暴力改，块间枚举合并。

• F:ZS Shuffles Cards

  首先因为只能抽到 \(joker\) 才结束。

  所以可以用 \(期望轮数\times 每轮期望次数\)。

  期望轮数直接 \(dp\)，设 \(dp_i\) 表示集合内有 \(i\) 个元素期望轮数，发现已经抽过的完全没意义，所以有 \(\frac{m}{m+i}\) 抽 \(joker\)，轮数加一，有 \(\frac{i}{m+i}\) 抽新牌，元素数加一。

  每轮期望次数可以递推，但考虑每张非 \(joker\) 放在 \(joker\) 前面的概率，期望其实就是 \(\frac{n}{m+1}+1\)

  相乘即可。

• G:Future Failure

  虽然我没写，但丝毫不影响我胡

  考虑先手必胜的方案，容易发现当前状态重拍为偶数或长度为奇数时先手必胜，其他情况先手必败。

  考虑计数，因为先手必胜太麻烦，考虑容斥，求先手必败。

  对于 \(n\) 的重拍 \(\dfrac{n!}{\prod_{i} a_i!}\) 只有当：\(\sum a_i=n\) 且 \(\bigoplus a_i=n\)，然后记忆化搜索即可。

  搜索时可以钦定一个 \(a_i\) 单调递减，最后乘上非 \(0\) 的全排即可。

• H:Tavas in Kansas

  把那两个人叫 A 和 B。

  先离散化。

  考虑 \(n^2\) dp。

  因为我们只关心分数大小，设 \(dp_{i,j,1/0}\) 表示当 A 选到距离为 \(i\)，B 选到距离为 \(j\) 的分数差。

  把每个点到 A 和 B 的距离作为坐标，整到二维平面上来，就会变成两条直线扫扫扫，每次贡献就是矩阵和。

  因为有 sb 价值为 0 的点，所以要在开一个表示是否有点的二维平面。

  最后因为不知道是谁结束，所以倒序转移。

• I:Game on Sum (Easy Version)

  先考虑设 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 轮，第 \(j\) 次加。

  有转移：

  \[dp_{i,j}=\max\{\min(f_{i-1,j-1}+t,f_{i-1,j}-t)\} \]

  发现这就是两个一次函数，在 \(\frac{f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}}{2}\) 转移。