动态规划专题

冲刺 noip 800 分，41 秒切 T1234

A:Helping People

抽象题。

发现区间只有不交与包含，可以想到建树（其实不太可以。

因为期望 $m a x$ 与 $m a x$ 期望不是一个东西，又发现 $q$ 十分小，所以直接设 $d p_{i, j}$ 表示到节点 $i$ 最大值增加了 $\leq j$ 的概率， $q^{2}$ 转移即可。
B:Birds

智障题。

发现魔力很大但总鸟数很小，直接设 $d p_{i, j}$ 表示到第 $i$ 棵树抓了 $j$ 只鸟的最大剩余魔力，直接转移就好了。

Vjudge 上图片挂了，没有 $\sum c_{i} \leq 10^{4}$ 。。。
C:Positions in Permutations

二项式反演板子。

考虑求至少，设 $d p_{i, j, 1 / 0, 1 / 0}$ 表示到第 $i$ 位，钦定了 $j$ 个，因为转移与 $i + 1, i - 1$ 是否选了有关，所以压两位表示 $i, i + 1$ 是否选了。

考虑第 $i$ 位是否钦定转移即可，最后乘上没钦定的全排在反演即可。
E:Bear and Cavalry

结论题。

先考虑没有限制，贪心排序即可。

有限制可以直接排序后 $n^{2}$ 转移。

发现结论，最后的匹配一定可以变成一堆长度不超过三的块，两两之间没有联系。

于是有了 $O (n)$ 转移， $n q$ 卡常可过。

优秀的 OIer 不能只会暴力卡常。

发现转移可以矩阵维护， $m a x$ 和 $+$ 组成的矩阵也满足结合律，单次最多只会修改 9 个矩阵。

线段树维护单点改区间乘即可。

也可以分块，块内暴力改，块间枚举合并。
F:ZS Shuffles Cards

首先因为只能抽到 $j o k e r$ 才结束。

所以可以用 $期望轮数 \times 每轮期望次数$ 。

期望轮数直接 $d p$ ，设 $d p_{i}$ 表示集合内有 $i$ 个元素期望轮数，发现已经抽过的完全没意义，所以有 $\frac{m}{m + i}$ 抽 $j o k e r$ ，轮数加一，有 $\frac{i}{m + i}$ 抽新牌，元素数加一。

每轮期望次数可以递推，但考虑每张非 $j o k e r$ 放在 $j o k e r$ 前面的概率，期望其实就是 $\frac{n}{m + 1} + 1$

相乘即可。
G:Future Failure

~~虽然我没写，但丝毫不影响我胡~~

考虑先手必胜的方案，容易发现当前状态重拍为偶数或长度为奇数时先手必胜，其他情况先手必败。

考虑计数，因为先手必胜太麻烦，考虑容斥，求先手必败。

对于 $n$ 的重拍 $\frac{n!}{\prod_{i} a_{i}!}$ 只有当： $\sum a_{i} = n$ 且 $⨁ a_{i} = n$ ，然后记忆化搜索即可。

搜索时可以钦定一个 $a_{i}$ 单调递减，最后乘上非 $0$ 的全排即可。
H:Tavas in Kansas

把那两个人叫 A 和 B。

先离散化。

考虑 $n^{2}$ dp。

因为我们只关心分数大小，设 $d p_{i, j, 1 / 0}$ 表示当 A 选到距离为 $i$ ，B 选到距离为 $j$ 的分数差。

把每个点到 A 和 B 的距离作为坐标，整到二维平面上来，就会变成两条直线扫扫扫，每次贡献就是矩阵和。

因为有 sb 价值为 0 的点，所以要在开一个表示是否有点的二维平面。

最后因为不知道是谁结束，所以倒序转移。
I:Game on Sum (Easy Version)

先考虑设 $d p_{i, j}$ 表示第 $i$ 轮，第 $j$ 次加。

有转移：

$d p_{i, j} = max {min (f_{i - 1, j - 1} + t, f_{i - 1, j} - t)}$
发现这就是两个一次函数，在 $\frac{f_{i - 1, j - 1} + f_{i - 1, j}}{2}$ 转移。