双指针

双指针

系统的学了一下。

链上问题：

一般是用一个快指针 f，一个慢指针 s。

这里默认起始时 \(f\gets head,s\gets head\)

判环：

每次：\(f\gets f+2,s\gets s+1\)

若前进后 \(f=s\) 则有环。

相当于追及。

求环的起点：

先每次：\(f\gets f+2,s\gets s+1\)

在 \(f=s\) 后：

\(s\gets head\)

每次：\(f\gets f+1,s\gets s+1\)

当 \(f=s\) 时 \(f\) 即为起点。

证明：

第一次 \(f=s\) 时：

\[len_f=2len_s \]

\[\because len_f-len_s=\text{环长} \]

\[\therefore len_s=\text{环长} \]

设相遇点距起点 \(x\)

显然第二次 \(f=s\) 时，\(s=f=\text{起点}\)，\(new\_len_s=new\_len_f=\text{环长}-x\)。

画图感性理解一下

求中点：

每次：\(f\gets f+2,s\gets s+1\)

\(f=tail\) 时 \(s=mid\)

求终点前 \(k\) 个：

起始：\(f\gets head+k,s\gets head\)

每次：\(f\gets f+1,s\gets s+1\)

\(f=tail\) 时 \(s=tail-k\)

感觉也就求、判环有点用。

真·双指针

两个指针：\(l,r\)

指针表示当前状态，根据当前状态转移（一般直接贪心）

显然，用双指针的问题必须满足：

1. 有 \(>\) 或 \(<\) 定义（值 \(v\) 可比）——可比性：

   就是对于一种状态，可以 \(\operatorname{O}(1)\) 判断如何修改区间。

2. 对于 \(l_1,r_1,l_2,r_2,l_3,r_3\) 当 \(v_1<v_2,v_2<v_3\) 时，\(v_1<v_3\)（\(>\) 同理，\(v_i\) 为 \(l_1,r_1\) 的值）——传递性

名字我瞎起的，以下就这么称呼。

类似二分答案满足的性质（因为二分也是双指针）

例子：

1. 二分查找：

   给定一个升序序列 \(a\)，求第一个 \(\le x\) 的数。

   状态 \(l,r\) 的值 \(v=a_{mid}\)

   初始 \(l=1,r=n\)

   可比性：对于 \(l,r\)，有 \(v<x\) 时 \(l\gets mid+1\)，否则 \(r\gets mid-1\)

   传递性：对于 \(l_1,r_1,l_2,r_2,l_3,r_3\) 当 \(v_1<v_2,v_2<v_3\) 时 \(v_1<v_3\)

2. 两数之和：

   给定一个升序序列 \(a\) 和自然数 \(k\)，求其中两个数 \(x,y\) 满足 \(x+y=k\)

   状态 \(l,r\) 的值 \(v=a_l+a_r\)。

   初始 \(l=1,r=n\)

   可比性：对于 \(l,r\)，有 \(v<x\) 时 \(l\gets l+1\)，否则 \(r\gets r-1\)

   传递性：对于 \(l_1,r_1,l_2,r_2,l_3,r_3\) 当 \(v_1<v_2,v_2<v_3\) 时 \(v_1<v_3\)

3. Bovine Genomics

   状态 \(l,r\) 的值 \(v=[l\text{ 到 }r\text{ 满足题意（均不相同）}]\)

   初始 \(l=r=1\)

   可比性：对于 \(l,r\)，有 \(v=1\) 时 \(l\gets l+1\)，否则 \(r\gets r+1\)

   传递性：对于 \(l_1,r_1,l_2,r_2,l_3,r_3\) 当 \(v_1<v_2,v_2<v_3\) 时 \(v_1<v_3\) （\(0<1\)）