容斥与二项式反演
基础容斥与二项式反演(广义容斥)
基础容斥:
\[\left | \bigcup_{i=1}^nA_i \right |=\sum_{T\subseteq \{1,2,...,n\}}(-1)^{|T|-1}\left | \bigcap_{i\in T} A_i \right |
\]
一般用于求解集合的并。
广义容斥直接看二项式反演。
二项式反演
再次感谢 SoyTony 老师教会我二项式反演。
这里用 \(g(i)\) 表示钦定(至少、至多),\(f(i)\) 表示恰好。
首先是两个基本式子
\[g(n)=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}f(i)\iff f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\dbinom{n}{i}g(i) \tag{1}
\]
\[g(n)=\sum\limits_{i=n}^N\dbinom{i}{n}f(i)\iff f(n)=\sum\limits_{i=n}^N(-1)^{i-n}\dbinom{i}{n}g(i) \tag{2}
\]
一般对于 \(g\) 至多采用 \((1)\),至少采用 \((2)\)
具体证明就不写了,可以直接看 this。
重点写在于理解,其他可以直接看上面的博客。
唯一要注意的就是钦定不需要选 \(i\) 个。
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