排列组合基础方法

排列组合基础方法：

定义就不说了。

方法：

1. 定序问题：缩倍法。

   \(n\) 个物品，其中 \(m\) 个顺序一定（不一定相连）： \(\frac{A_n^n}{A_m^m}\) （有时 \(m\) 相同也视为定序，有多个 \(m\) 就除以 \(\prod A_{m_i}^{m_i}\)）

2. 相邻、小团体问题：捆绑法。

   \(n\) 个物品，其中 \(m(m<n)\) 个要求相邻： \(A_{n-m}^{n-m}\times A_m^m\) （将 \(m\) 看做整体，别忘了 \(\times A_m^m\) ）。

3. 等分 \(n\) 排：多排看做一排。

4. 不相邻问题：插空法。

   \(n\) 个物品，其中 \(m\) 个不相邻（保证有解）： \(A_{n-m}^{n-m}\times A_{n-m+1}^{m}\) （ \(m\) 插进 \(n\) 的间距里）

5. 有特殊要求先算特殊要求。

6. 分物品：插板法。

   \(n\) 个物品分给 \(m\) 个人（保证有解）：

   • 每人至少一个：\(C_{n-1}^{m-1}\) （在 \(n-1\) 个空里插 \(m-1\) 个板，使其分成 \(m\) 份，每份至少一个，直接插板）

   • 每人至少 \(k\) 个：\(C_{n-m(k-1)-1}^{m-1}\) （先每人份 \(k-1\) 个，在插板）

   • 可以有人没有：\(C_{n+m-1}^{m-1}\) （先从每人拿来一个，在插板）

7. 对于个数不限的问题：

   经典的，从 n 种颜色的球中取出 \(m\) 个，每种颜色的球有无穷多个，求方案数。

   可以将个数无限的当成是盒，问题就变成了将 \(m\) 个球放进 \(n\) 个盒子里，每个盒子可以不放，求方案数，用插板法可解。

8. 小球和盒的十二重组合：

   虽然和P5824 十二重计数法题一模一样，但非正解，只是将基础的部分方法写了（因为我不会生成函数、卷积……以后没准会补

   因为重点是简单的组合，所以会讲的很详细啰嗦

   有 \(n\) 个球，\(m\) 个盒

   • 球不相同，盒不相同，

     1. 无限制：显然是 \(n^m\)

     2. 最少放一个：考虑容斥

        • 容斥：

          设 \(g_k\) 表钦定有 \(k\) 个盒子不为空，\(f_k\) 表示恰好。

          则有

          \[g_k=k^n \]
          \[g_k=\sum\limits_{i=0}^{k}\dbinom{k}{i}f_i \]

          反演得

          \[\begin{aligned}f_m&=\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\dbinom{m}{i}g_i\\&=\sum\limits_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\dbinom{m}{i}i^n\end{aligned} \]

     3. 最多放一个：

        对于 \(n>m\) 显然为 \(0\)

        对于其他的，一个一个放置，为 \(m^{\underline{n}}\)

   • 球相同，盒不相同：

     插板，具体见上。

   • 球不相同，盒相同：

     1. 无限制：枚举非空盒的个数，答案为：

        \[\sum\limits_{i=1}^m\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix} \]

     2. 最少放一个：就是 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 的定义。

        \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}\) 的求法：

        考虑球不相同，盒不相同的方案数 \(F\)，在前面已经用容斥求过，发现 \(\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{F}{m!}\)，然后就可求了。

     3. 最多放一个：显然，当 \(n>m\) 时不存在，当 \(n\le m\) 时只有一种情况（其他可以排列获得。

   • 球相同，盒相同：

     1. 无限制：

        这个东西相当于是划分数。

        这里只提供 dp，不提供优化。

        设 \(dp_{i,j}\) 表示将 \(i\) 分成不超过 \(m\) 个数的和的方案数（就是划分数

        有显然转移：

        \[dp_{i,j}=dp_{i-j,j}+dp_{i,j-1} \]

        就是考虑全部加一或者是新分一个为 \(0\) 的数。

     2. 最少放一个：先将每个都放一个球即可。

     3. 最多放一个：显然是 \([n<=m]\)