筛素数

筛素数

主要就是埃氏筛，欧拉筛（线性筛）。

1. 埃氏筛

思路：

首先知道 \(2\) 是质数，然后划掉所有 \(2\) 的倍数，找到第一个没划掉的，它也是素数，再将它的倍数划掉，以此类推。

比较好理解。

有个小优化，考虑筛 \(x\) 的倍数时 \(x^2\) 以前都被筛过了，所以可以直接从 \(x^2\) 开始枚举，复杂度 \(O(n\log\log n)\)

CODE

for(int i=2;i<=R;i++){
    if(!ntp[i]){
        pri[++ttp_]=i;
        for(int j=i;j<=R/i;j++) ntp[i*j]=1; //不要用 j=i*i ,会越界
    }
}

欧拉筛（线性筛）

其实它可以筛所有的积性函数，我不会就是了

我们发现埃氏筛优化后还有重复筛的，考虑能不能一个数只被筛一次。

我们让一个数只被它的最小质因子筛掉，只要改变一下它筛的实现。

具体的，对于一个数（无论质数和合数）都对 \(1\) 到其最小质因数内所有质数进行扩展（也就是筛掉它们的积）。

CODE

for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!ntp[i]) pri[++ttp_]=i;
    for(int j=1;j<=ttp_;j++){
        if(i*pri[j]>=R) break;
        ntp[i*pri[j]]=1;
        if(!(i%pri[j])) break; // 只扩展到最小质因数
    }
}

为什么要扩展到其最小质因数：

设现在这个数 \(i=pt\)，其中 \(p\) 是其最小质因数。

当我们筛 \(x*pt\)（\(x\) 是目前的质数 \(pri_j\)），若 \(x>p\)，则这个数可以被 \(p\) 和 \(xt\) 筛掉，就会造成重筛，所以到此为止。

为什么不会漏筛：

因为一个和数一定可以分成 \(x*pt\)，其中 \(x<p\) 且为质数，\(t\) 为合数或 \(1\) ，所以这个合数一定会在筛 \(pt\) 时被筛掉。