二分图

定义：

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。——百度百科

也就是可以像变成这个样子的图：

最大匹配：

定义

1. 匹配：
   给定一个边集 $S$ ，若 $S$ 中任意两条边都没有公共端点，就称 $S$ 是这个图的一个匹配。
   
   图中所有的红色边就是其一个匹配。
2. 最大匹配：
   指所有匹配中边数最多的一个匹配。
3. 交错路：
   指一条路径，其中的每一条边交替地属于或不属于匹配。
   上图中， $6\to 2\to 8$ 就是一条交错路。
4. 增广路：
   对于一条交错路，若它的起始顶点与终点都不在匹配中，则称它为增广路。
   上图中， $1\to 7\to 5\to 10$ 就是一条增广路路。
   如果将一条增广路取反，其匹配数加一。
   在一个最大匹配中，不存在增广路。

做法

直接看图吧。

然后一直对左边的点这样钦定，当钦定到点 $4$ 时，发现没有没匹配过的右边点与其匹配。

最后结果：

正确性显然，相当于在不断找增广路并将其取反。
复杂度：$\mathrm{\Theta }(nm)$

COED

bool match(int x){
	if(vis[x]) return false;
	vis[x]=1;
	For_to(i,x){
		int y=to[i];
		if(!ism[y]||match(ism[y])){ism[y]=x;return true;}
	}
	return false;
}
 
//主函数
 
for(int i=1;i<=n;i++){
	memset(vis,0,sizeof vis);
	if(match(i)) ans++;
}

好像还有网络流做法可以更优，什么时候会了在更吧。

最小顶点覆盖

定义

定义一条边被覆盖当且仅当至少选中一个这条边的端点，最小顶点覆盖就是选中最少的点来覆盖所有的边

做法

定理：最小顶点覆盖等于最大匹配数。

可以感性理解一下。

最大独立集

定义

1. 独立集：
   若有一个点集其中所有的点两两之间没有边相连，则称这个点集为一个独立集。
2. 最大独立集：
   所有独立集中点数最多的一个称之为最大独立集。

做法

定理：最大独立集 $=$ 所有顶点数 $-$ 最小顶点覆盖。

考虑最小顶点覆盖已经覆盖了所有的边，所以剩下的点之间一定不会有边相连。
并且最小顶点覆盖已经是最小的了，所以不会有更优的情况。

最大团

定义

就是选出一个最大的集合，是这个集合中所有点两两之间有边相连。

注意区分最大比配和最大团，最大团没有要求一对一。

做法

直接建反图，求反图最大独立集即可。