Lucas & exLucas

合集 - 数学(14)

1.Exgcd（扩展欧几里得算法）2023-01-30

2.Lucas & exLucas2023-02-03

3.费马小定理2023-02-024.筛素数2023-08-045.乘法逆元2023-01-296.CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）2023-01-297.排列组合基础方法2023-08-108.Lucas & exLucas2023-08-109.组合数性质（组合恒等式+二项式定理）2023-02-1610.欧拉函数2023-01-3011.容斥与二项式反演2023-09-1912.Lagrange 插值 & 高斯消元2024-05-1613.莫比乌斯反演2024-05-1714.概率期望2024-07-04

收起

$Lucas\mathrm{\&}exLucas$:

$Lucas$

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}\equiv {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor })}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{nmodp}{mmodp})}(\mathrm{mod}p)$$

这里 $p$ 是质数，$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=C_n^m$ 。
证明（jijidawang闲话）

$exLucas$

对于 $p$ 不是质数的情况：

总：

1. 对 $p$ 进行质因数分解，令：
   $$p=\prod _i^n{p}_i^{k_i}(p_i\mathrm{是}\mathrm{质}\mathrm{数})$$
   将原式变为求 $x$ ，满足：
   $$x\equiv C_n^m(\mathrm{mod}{p}_i^{k_i})(1\le i\le n)$$

2. 求解每个 $1\le i\le n$ 对应的 $C_n^{m}mod{p}_i^{k_i}$ 的值。
3. $crt$ 合并即可（显然 $p_i^{k_i}$ 两两互质）。

1. 质因数分解：

挺简单，略。

2. 求$C_n^{m}mod{p}_i^{k_i}$（重难点）

首先将 $C$ 展开：

$$\frac{n!}{m!(n-m!)}mod{p}_i^{k_i}$$

因为分母与模数不一定互质，于是考虑提取因数：

$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{n!}{p_i^{a_1}}}}{{\displaystyle \frac{m!}{p_i^{a_2}}}\times {\displaystyle \frac{(n-m)!}{p_i^{a_3}}}}}\times p_i^{a_1-a_2-a_3}mod{p}_i^{k_i}$$

然后就可以乘法逆元（ $inv(a)$ 表示 $a$ 在 $mod{p}_i^{k_i}$ 意义下的逆元）：

$$\frac{n!}{p_i^{a_1}}\times inv\left(\frac{m!}{p_i^{a_2}}\right)\times inv\left(\frac{(n-m)!}{p_i^{a_3}}\right)\times p_i^{a_1-a_2-a_3}mod{p}_i^{k_i}$$

接下来有两个问题：求 $\frac{n!}{p_i^{a_y}}$ 和 $a_y$。

先求 $\frac{n!}{p_i^{a_y}}$ ，设 $P=p_i^{a_y}$
将 $n!$ 变形

$$n!=1\times 2\times ...\times n=(P\times 2P\times ...\times \lfloor \frac{n}{P}\rfloor P)\times (1\times 2\times ...)$$

左边为可以整除 $p_i^{a_y}$ ，右边为不能的。
在化简一下：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& n!=P^{\lfloor \frac{n}{P}\rfloor }\times \left(\lfloor \frac{n}{P}\rfloor \right)!\times \prod _{i=1,i\not\equiv 0(\mathrm{mod}P)}^n\end{array}$$

第一段 $÷p$ 没了，第二段可以递归。
看第三段，发现它在 $mod{p}_i^{k_i}$ 显然有循环节，于是我们将它变形为：

$${\left(\prod _{i=1,i\not\equiv 0(\mathrm{mod}P)}^{p_i^{k_i}}\right)}^{\lfloor \frac{n}{p_i^{k_i}}\rfloor }\times \prod _{i=1,i\not\equiv 0(\mathrm{mod}P)}^{nmod{p}_i^{k_i}}$$

然后暴力+快速幂算即可。

然后考虑求 $a_y$ ，我们用 $G(x)$ 表示 $\frac{n!}{p_i^a}$ 中的 $a$。
我们发现，$a_y$ 就是 (1) 中的 $\lfloor \frac{n}{P}\rfloor$ ，将其带入 (1) 中递归里，可以得出

$$G(n)=G\left(\lfloor \frac{n}{P}\rfloor \right)+\lfloor \frac{n}{P}\rfloor$$

边界：$G(0)=0$ ，于是可以递归求解。

$crt$合并：

可以参照 $this$。

例题

CODE（点击查看）

//分清pi、pk。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define llt long long
llt MOD,n,m;
 
template<typename T>
inline void read(T &x){
    char s=getchar();x=0;bool pd=false;
    while(s<'0'||'9'<s){if(s=='-') pd=true;s=getchar();}
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    if(pd) x=-x;
}
inline llt fpw(llt a,llt b,llt Mod){
    llt pan=1;
    while(b){
        if(b&1) pan=pan*a%Mod;
        a=a*a%Mod,b>>=1;
    }
    return pan;
}
inline void exgcd(llt a,llt b,llt &x,llt &y){
    if(!b) x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
inline llt inv(llt a,llt Mod){
    llt x,y;exgcd(a,Mod,x,y);
    return (x%Mod+Mod)%Mod;
}
inline llt fac(llt a,llt pi,llt pk){
    if(!a) return 1;
    llt cnt=1;
    for(int i=2;i<=pk;i++) if(i%pi) cnt=cnt*i%pk;
    cnt=fpw(cnt,a/pk,pk);
    for(int i=2;i<=a%pk;i++) if(i%pi) cnt=cnt*i%pk;
    return cnt*fac(a/pi,pi,pk)%pk;
}   
llt up(llt x,llt p){return (x)?x/p+up(x/p,p):0;}
inline llt get_c(llt pi,llt pk,llt x,llt y){
    llt fx=fac(x,pi,pk),fy=fac(y,pi,pk),fxy=fac(x-y,pi,pk);
    return fx*inv(fy,pk)%pk*inv(fxy,pk)%pk*fpw(pi,up(n,pi)-up(m,pi)-up(n-m,pi),pk)%pk;
}
inline llt crt(llt a,llt Mod){
    return a*(MOD/Mod)%MOD*inv(MOD/Mod,Mod)%MOD;
}
inline llt exlucas(llt x,llt y){
    llt p=MOD,ans=0;
    for(int i=2;i*i<=p;i++){
        if(p%i) continue;
        llt pk=1;
        while(p%i==0) p/=i,pk*=i;
        ans=(ans+crt(get_c(i,pk,x,y),pk))%MOD;
    }
    if(p>1) ans=(ans+crt(get_c(p,p,x,y),p))%MOD;
    return ans;
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
#endif
    read(n),read(m),read(MOD);
    printf("%lld",exlucas(n,m));
}