费马小定理
十分简单。
定理:
若 \(p\) 是质数,则有:
\[a^p\equiv a\pmod p
\]
其实,一般将它写作:
\[\begin{cases} a^{p-1}\equiv 1\pmod p && \gcd(a,p)=1\\a^{p-1}\equiv 0\pmod p && \gcd(a,p)\not=1 \end{cases}
\]
证明:
对于 \(\gcd(a,p)=1\) 的情况,其实就是欧拉定理的特例:
\[\because \gcd(a,p)=1
\]
\[\therefore a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p
\]
\[\because p \text{ 是质数}
\]
\[\therefore \varphi(p)=p-1
\]
\[\therefore a^p\equiv 1\pmod p
\]
对于 \(\gcd(a,p)\not=1\) 的情况,更为简单。
\[\because p \text{ 是质数} \& \gcd(a,p)\not=1
\]
\[\therefore p\mid a
\]
\[\therefore a^{p-1}\equiv 0\pmod p
\]
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