费马小定理

合集 - 数学(14)

1.Exgcd（扩展欧几里得算法）2023-01-302.Lucas & exLucas2023-02-03

3.费马小定理2023-02-02

4.筛素数2023-08-045.乘法逆元2023-01-296.CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）2023-01-297.排列组合基础方法2023-08-108.Lucas & exLucas2023-08-109.组合数性质（组合恒等式+二项式定理）2023-02-1610.欧拉函数2023-01-3011.容斥与二项式反演2023-09-1912.Lagrange 插值 & 高斯消元2024-05-1613.莫比乌斯反演2024-05-1714.概率期望2024-07-04

收起

十分简单。

定理：

若 $p$ 是质数，则有：

$$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$$

其实，一般将它写作：

$$\{\begin{array}{lll}{a}^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)& & gcd(a,p)=1\\ a^{p-1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)& & gcd(a,p)\ne 1\end{array}$$

证明：

对于 $gcd(a,p)=1$ 的情况，其实就是欧拉定理的特例：

$$\because gcd(a,p)=1$$

$$\therefore a^{\phi (p)}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

$$\because p\text{ 是质数}$$

$$\therefore \phi (p)=p-1$$

$$\therefore a^p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

对于 $gcd(a,p)\ne 1$ 的情况，更为简单。

$$\because p\text{ 是质数}\mathrm{\&}gcd(a,p)\ne 1$$

$$\therefore p\mid a$$

$$\therefore a^{p-1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$