欧拉函数

合集 - 数学(14)

1.Exgcd（扩展欧几里得算法）2023-01-302.Lucas & exLucas2023-02-033.费马小定理2023-02-024.筛素数2023-08-045.乘法逆元2023-01-296.CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）2023-01-297.排列组合基础方法2023-08-108.Lucas & exLucas2023-08-109.组合数性质（组合恒等式+二项式定理）2023-02-16

10.欧拉函数2023-01-30

11.容斥与二项式反演2023-09-1912.Lagrange 插值 & 高斯消元2024-05-1613.莫比乌斯反演2024-05-1714.概率期望2024-07-04

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挺多，定理挺简单，证明复杂。

欧拉函数（ $\phi$ ）

定义：

$\phi (x)$ 表示所有 $\le x$ 的数中，与 $x$ 互质的数的个数。

通式：

设 $p_1,p_2,...,p_n$ 表示 $x$ 的质因数。

则：

$$\phi (x)=x\times \prod _{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$$

证明：

首先，显然，一个数和 $x$ 互质的充要条件是其不是 $x$ 质因数的倍数。

所以我们考虑筛掉所有 $x$ 的质因数的倍数。

随便找两个 $x$ 的质因数 $p_i,p_j$ ，考虑容斥，他们的倍数个数为：

$$\frac{x}{p_i}+\frac{x}{p_j}-\frac{x}{p_i{p}_j}$$

所以剩下的个数为：

$$x-\frac{x}{p_i}-\frac{x}{p_j}+\frac{x}{p_i{p}_j}$$

$$x\times (1-\frac{1}{p_i}-\frac{1}{p_j}+\frac{1}{p_i{p}_j})$$

$$x\times (1-\frac{1}{p_i})(1-\frac{1}{p_j})$$

同理筛去所有的即可得到通式。

也可以通过性质证明（具体性质见下：

设（将 $x$ 分解质因数）：

$$x=p_1^{a^1}{p}_2^{a^2}...p_n^{a^n}$$

其中：

$$p_1,p_2...p_n\in \text{质数}$$

易知：

$$p_1\mathrm{\perp }{p}_2\mathrm{\perp }...\mathrm{\perp }{p}_n$$

$$\begin{array}{rl}\therefore \phi (x)& =\phi (p_1^{a^1})\phi (p_2^{a^2})...\phi (p_n^{a^n})\\ & =(p_1^{a_1}-p_1^{a_1-1})(p_2^{a_2}-p_2^{a_2-1})...(p_n^{a_n}-p_n^{a_n-1})\\ & =x(1-p_1^{-1})(1-p_2^{-1})...(1-p_n^{-1})\\ & =x\times \prod _{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}\end{array}$$

附：

求 $x$ 内与 $y$ 互质的数（要求 $y\mid x$：

$$x\times \prod _{i=1}^n\frac{p_i-1}{p_i}$$

其中 $p$ 是 $y$ 的质因数集（推导类似欧拉定理通式推导）。

也可以写作：

$$\frac{x}{y}\times \phi (y)$$

————做题时得到的类似通式扩展。

性质：

1. 若 $x$ 为质数，则 $\phi (x)=x-1$

2. 若 $x$ 为质数，则 $\phi (x^k)=x^k-x^{k-1}$

   1,2 结合定义显然

3. $\phi$ 是积性函数

   对于任意互质的 $x,y$ ， $\phi (xy)=\phi (x)\times \phi (y)$

4. 当 $x$ 是奇数时 $\phi (2x)=\phi (2)\times \phi (x)=\phi (x)$

5. $x(x>1)$ 以内所有与其互质的数的和 $=\phi (x)\times x÷2$

   证明：

   前置定理更相减损术，简单来说，就是 $gcd(x,y)=gcd(x,x-y)=gcd(x-y,y)$

   由这个公式可以知道，所有与 $x$ 互质的数都是成对出现的，并且他们的和为 $x$（ $y,x-y$ ）。

   因为共有 $\phi (x)÷2$ 组，所以他们的和为 $\phi (x)\times x÷2$

   同时由这个证明可得， $\phi (x)(x>2)$ 是偶数。

6. $x=\sum _{a\mid x}\phi (a)$

   证明，设 $f(a)=\sum _{i\mid a}\phi (i)$

   $$\because f(n)\times f(m)=\sum _{i\mid n}\phi (i)\sum _{j\mid m}\phi (j)=\sum _{i\mid n}\sum _{j\mid m}\phi (ij)=\sum _{k\mid nm}\phi (k)=f(nm)(gcd(n,m)=1)$$
   $$\therefore f\text{ 是积性函数}$$
   $$\therefore f(p^k)=\phi (1)+\phi (p)+\phi (p^2)+...+\phi (p^k)=p^k\text{ (p 为质数)}$$
   $$\because x=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_n^{k_n}$$
   $$\therefore f(x)=f(p_1^{k_1})f(p_2^{k_2})...f(p_n^{k_n})=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}...p_n^{k_n}=x$$

线性筛求欧拉函数：

因为欧拉函数是积性函数，所以可以线性筛。

// npri 表示是否是质数（为1不是），pri存储质数，phi存储欧拉函数，x指通式中的x
inline void phi_sieve(int n){
	npri[1]=1;phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!npri[i]) phi[i]=i-1,pri[++ppri]=i;
		for(int j=1;j<=ppri&&i*pri[j]<=n;j++){
			npri[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}//phi[i]已经有质因数pri[j]，只需要x扩大pri[j]即可。
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];//phi 为积性函数，phi[i*pri[j]] = phi[i] * phi[pri[j]]
		}
	}
}

欧拉反演：

其实就是应用欧拉函数的性质 $6$

两个基础应用：

1. $\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)$

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)& =\sum _{i=1}^n\sum _{j\mid gcd(i,n)}\phi (j)\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j\mid i}\sum _{j\mid n}\phi (j)\\ & =\sum _{j\mid n}\phi (j)\sum _{i=1}^n[j\mid i]\\ & =\sum _{j\mid n}\phi (j)\lfloor \frac{n}{j}\rfloor \end{array}$$

2. $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k\mid gcd(i,j)}\phi (k)\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{k\mid i}\sum _{k\mid j}\phi (k)\\ & =\sum _{k=1}^n\phi (k)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[k\mid i][k\mid j]\\ & =\sum _{k=1}^n\phi (k){\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }^2\end{array}$$

欧拉定理：

若 $a,m$ 互质，则满足：

$$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

证明这篇博客讲的极其详细，不赘述。

扩展欧拉定理：

对于任意 $a,m$

$$a^c\equiv \{\begin{array}{ll}{a}^{cmod\phi (m)}& gcd(a,m)=1\\ a^c& gcd(a,m)\ne 1,c<\phi (m)\\ a^{(cmod\phi (m))+\phi (m)}& gcd(a,m)\ne 1,c\ge \phi (m)\end{array}(\mathrm{mod}m)$$

证明极其复杂，这里不给出了，可以参考这篇博客

参考博客：

https://www.cnblogs.com/Morning-Glory/p/11106828.html

https://www.cnblogs.com/wangxiaodai/p/9758242.html （欧拉定理证明）

https://www.cnblogs.com/1024th/p/11349355.html （扩展欧拉定理证明）