CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）

合集 - 数学(14)

1.Exgcd（扩展欧几里得算法）2023-01-302.Lucas & exLucas2023-02-033.费马小定理2023-02-024.筛素数2023-08-045.乘法逆元2023-01-29

6.CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）2023-01-29

7.排列组合基础方法2023-08-108.Lucas & exLucas2023-08-109.组合数性质（组合恒等式+二项式定理）2023-02-1610.欧拉函数2023-01-3011.容斥与二项式反演2023-09-1912.Lagrange 插值 & 高斯消元2024-05-1613.莫比乌斯反演2024-05-1714.概率期望2024-07-04

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稍微难一点，其实也挺简单。

CRT:

用途：

给定一个同余方程组，保证所有 $m$ 两两互质:

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

用于求其解。

具体方法：

自我感觉叫方法好一点，建议理解记忆，公式见下。
首先我们先找一组数 $n$ ,使得：

$$n_{i}mod{m}_i=a_i\text{ 或者说 }{n}_i\equiv a_i(\mathrm{mod}{m}_i)$$

因为：如果 $amodb=t$ 那么 $(a+k\times b)modb=t$ （比较显然
所以：
如果 $m_1\mid n_2$ 那么 $(n_1+n_2)mod{m}_1=a_1$
如果 $m_2\mid n_1$ 那么 $(n_1+n_2)mod{m}_2=a_2$
也就是说，要想使

$$\{\begin{array}{l}{n}_1+n_2\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ n_1+n_2\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\end{array}$$

只需要

$$\{\begin{array}{l}{m}_1\mid n_2\\ m_2\mid n_1\end{array}$$

同理，我们设 $sum=\sum _{i=1}^n{n}_i,M=\prod _{i=1}^n{m}_i$ 要想使：

$$\{\begin{array}{l}sum\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ sum\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ...\\ sum\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

只需要

$$\{\begin{array}{l}{m}_2,m_3,...,m_n\mid n_1\\ m_1,m_3,...,m_n\mid n_2\\ ...\\ m_1,m_2,...,m_{n-1}\mid n_n\end{array}$$

因为所有 $m$ 两两互质，所以只需要

$$M÷m_i\mid n_i$$

接下来考虑怎么求 $n_i$
我们设 $n_i=M÷m_i\times t_i$
于是我们只需求一个 $t_i$ ，使其满足

$$M÷m_i\times t\equiv a_i(\mathrm{mod}{m}_i)$$

因为 $M÷m_i$ 是个常数，所以直接用 $exgcd$求解即可。
当然也可以先用乘法逆元算 $M÷m_i\times t\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)$ 在乘上 $a_i$ ，本质相同。

这样我们就可以求出所有 $n_i$ ，进而求出 $x=\sum _{i=1}^n{n}_i$，如果 $x$ 要求最小，只需要 $modM$ 即可。

公式：

设 $M=\prod _{i=1}^n{m}_i,M_i=M÷m_i$
则

$$x=\sum _{i=1}^n{a}_i\times M_i\times M_i^{-1}modM$$

这里的 $M_i^{-1}$ 是 $M_i$ 对于 $m_i$ 的逆元，不能和 $M_i$ 合并。

例题

CODE（点击查看）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define llt long long
int n,m[12],a[12];
 
template<typename T>
inline void read(T &x){
    char s=getchar();x=0;bool pd=false;
    while(s<'0'||'9'<s){if(s=='-') pd=true;s=getchar();}
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    if(pd) x=-x;
}
void exgcd(llt a,llt b,llt &x,llt &y){
	if(b==0) x=1,y=0;
	else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
 
int main(){
	read(n);
	long long tm=1,ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(m[i]),read(a[i]),tm*=m[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		long long lm=tm/m[i],x,y;
		exgcd(lm,m[i],x,y);
		x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
		ans=(ans+x*a[i]*lm)%tm;
	}
	printf("%lld",ans%tm);
}

这里推荐一篇博客，讲的很细（我从那里学的，本文也有很多借鉴。

EXCRT

其实和 $crt$ 没有什么关联，单纯推式子。
我们来看一下同余方程组

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

这里不保证 $m$ 互质
首先看第一二个式子：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\end{array}$$

变形得到：

$$\{\begin{array}{l}x=a_1+m_1{k}_1\\ x=a_2+m_2{k}_2\end{array}$$

$$\therefore a_1+m_1{k}_1=a_2+m_2{k}_2$$

整理：

$$m_1{k}_1-m_2{k}_2=a_2-a_1$$

运用 $exgcd$ 解得 $k_1$ 的一组解：

$$k_1=r$$

$$\therefore k_1\text{ 的通解为 }{k}_1=r+\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)}\times t\mid t\in Z$$

将上式带入 $x=a_1+m_1{k}_1$ 得：

$$x=a_1+m_{1}r+\frac{m_1{m}_2}{gcd(m_1,m_2)}\times t$$

$$\because \mathrm{lcm}({\mathrm{m}}_1,{\mathrm{m}}_2)=\frac{m_1{m}_2}{gcd(m_1,m_2)}$$

$$\therefore x=a_1+m_{1}r+\mathrm{lcm}({\mathrm{m}}_1,{\mathrm{m}}_2)\times t$$

变形得到：

$$x\equiv a_1+m_{1}r(\mathrm{mod}\mathrm{lcm}({\mathrm{m}}_1,{\mathrm{m}}_2))$$

于是我们就成功将两个同余方程化简成了一个。
同理化简下去直到一个，求解即可。

例题

CODE（点击查看）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define llt long long
__int128 n,na=0,nm=1;
 
template<typename T>
inline void read(T &x){
    char s=getchar();x=0;bool pd=false;
    while(s<'0'||'9'<s){if(s=='-') pd=true;s=getchar();}
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    if(pd) x=-x;
}
llt gcd(llt a,llt b){return (b==0)?a:gcd(b,a%b);}
llt lcm(llt a,llt b){return a/gcd(a,b)*b;}
void exgcd(__int128 a,__int128 b,__int128 &x,__int128 &y){
	if(b==0) x=1,y=0;
	else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
inline void hebing(llt a,llt m){
	llt sa=a-na;
	__int128 x,y;
	llt gd=gcd(nm,m);
	exgcd(nm,m,x,y);
	llt lm=m/gd;x*=(sa/gd),y*=(sa/gd);
	x=(x%lm+lm)%lm;
	na=na+nm*x;
	nm=lcm(nm,m);
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.in","r",stdin);
    freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	read(n);
	for(llt a,m,i=1;i<=n;i++) read(m),read(a),hebing(a,m);
	__int128 x,y;
	exgcd(1,nm,x,y);
	x=(x*na%nm+nm)%nm;
	long long ans=x; 
	printf("%lld",ans);
}

参考博客：https://www.cnblogs.com/sparkyen/p/11432052.html