乘法逆元

合集 - 数学(14)

1.Exgcd（扩展欧几里得算法）2023-01-302.Lucas & exLucas2023-02-033.费马小定理2023-02-024.筛素数2023-08-04

5.乘法逆元2023-01-29

6.CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）2023-01-297.排列组合基础方法2023-08-108.Lucas & exLucas2023-08-109.组合数性质（组合恒等式+二项式定理）2023-02-1610.欧拉函数2023-01-3011.容斥与二项式反演2023-09-1912.Lagrange 插值 & 高斯消元2024-05-1613.莫比乌斯反演2024-05-1714.概率期望2024-07-04

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也挺简单

定义：

若 $a,m$ 互质，且满足：

$$a\times x\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

则称 $x$ 是 $a$ 在 $modb$ 意义下的乘法逆元，也记为 $a^{-1}$。

用途：

主要用于 $\frac{x}{y}modm$ 求值，一般是因为无法化简（例如数太大。

求法：

1. $exgcd$:

$$ax\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

转化得：

$$ax+my=1$$

运用 $exgcd$ 求解即可。

CODE（点击查看）

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0) x=1,y=0;
	else exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
int main(){
	int a,m; scanf("%d%d",&a,&m);
	int x,y;
	exgcd(a,m,x,y);
	printf("%d",(x%m+m)%m); //注意x的取值范围。 
}

2.费马小定理（m是质数）：

费马小定理

我们将费马小定理带入原式，得：

$$ax\equiv a^{m-1}(\mathrm{mod}m)$$

$$x\equiv a^{m-1}÷a(\mathrm{mod}m)$$

$$x\equiv a^{m-2}(\mathrm{mod}m)$$

所以我们只需求 $a^{m-2}$ 即可，用快速幂。

COED（点击查看）

inline int fpow(int a,int b,int mod){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=a*ans%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans%mod;
}
int main(){
	int a,m; scanf("%d%d",&a,&m);
	printf("%d",fpow(a,m-2,m));
}

3.线性求法（求得 $1\text{ ~ }n$ ）：

这种方法在但求一个时慢于前两种，但求 $1\text{ 到 }n$ 是优于前两种例题。
设 $m=k\times a+r(1\le r<a<m)$
于是有：

$$ka+r\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$

乘上 $r^{-1},a^{-1}$ ，得：

$$k{r}^{-1}+a^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$

$$a^{-1}\equiv -k{r}^{-1}(\mathrm{mod}m)$$

$$a^{-1}\equiv -\lfloor {\displaystyle \frac{m}{a}}\rfloor \times (mmoda{)}^{-1}(\mathrm{mod}m)$$

我们又知道，$1^{-1}$ 为 $1$ 于是就可以线性推了。

CODE（例题，点击查看）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e6+5;
long long n,p,inv[N];
 
template<typename T>
inline void read(T &x){
    char s=getchar();x=0;bool pd=false;
    while(s<'0'||'9'<s){if(s=='-') pd=true;s=getchar();}
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();
    if(pd) x=-x;
}
 
int main(){
	read(n),read(p);
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%lld\n",inv[i]);
}

CODE（主要代码，点击查看）

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
	inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

4.阶乘求逆元：

求：$1!\text{ 到 }n!$ 的逆元。
给出一个式子，其中 $v(i)$ 表示 $i$ 的逆元。

$$v((i-1)!)=\frac{1}{(i-1)!}=\frac{1}{i!}\ast i=v(i!)\ast i$$

于是乎又可以线性推了。

然而这种做法还可以求 $l\text{ 到 }r$ 的逆元。
具体的：

$$v(i)=\frac{1}{i}=\frac{1}{i!}\times (i-1)!=v(i!)\times (i-1)!$$

然后可求。

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附：有趣的题：

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，求 $a_1\text{ 到 }{a}_n$ 所有数的乘法逆元。
$1\le n\le 5e6$ （要求复杂度 $\mathrm{O}n$）
做法：
先维护前缀积 $q_i$
通过：

$$q_i^{-1}\times a_i=\frac{1}{\prod _{j=1}^i{a}_j}\times a_i=q_{i-1}^{-1}$$

推得 $q^{-1}$ 的值。
然后通过：

$$q_i^{-1}\times q_{i-1}=\frac{1}{\prod _{j=1}^i{a}_j}\times \prod _{j=1}^{i-1}{a}_j=a_i^{-1}$$

得解。

参考 https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/7773566.html