Exgcd（扩展欧几里得算法）

合集 - 数学(14)

1.Exgcd（扩展欧几里得算法）2023-01-30

2.Lucas & exLucas2023-02-033.费马小定理2023-02-024.筛素数2023-08-045.乘法逆元2023-01-296.CRT&EXCRT（中国剩余定理和扩展中国剩余定理）2023-01-297.排列组合基础方法2023-08-108.Lucas & exLucas2023-08-109.组合数性质（组合恒等式+二项式定理）2023-02-1610.欧拉函数2023-01-3011.容斥与二项式反演2023-09-1912.Lagrange 插值 & 高斯消元2024-05-1613.莫比乌斯反演2024-05-1714.概率期望2024-07-04

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其实挺简单。

GCD（辗转相除法）

定理：

$$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$

证明：

$$\text{设 }a=kb+r\text{ ，则 }r=amodb$$

$$\text{若 }c\text{ 是 }a,b\text{ 的一个公约数，则 }c\mid a,c\mid b$$

$$\because r=a-kb$$

$$\therefore c\mid r$$

$$\therefore c\text{ 是 }b,amodb\text{ 的公约数}$$

$$\text{同理，若 }d\text{ 是 }b,amodb\text{ 的公约数，则 }d\mid b,d\mid r$$

$$\because a=kb+r$$

$$\therefore d\mid a$$

$$\therefore d\text{ 也是 }a,b\text{ 的公约数}$$

$$\therefore a,b\text{ 和 }b,amodb\text{ 的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，证毕}$$

code（递归式）:

int gcd(int a,int b){
	return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}

EXGCD（扩展欧几里得）

裴蜀定理：

$$\mathrm{\forall }a,b\in Z\text{ , }\mathrm{\exists }x,y\in Z$$

满足

$$ax+by=gcd(x,y)$$

证明（考虑数学归纳）：

当 $b=0$ 时:

$$gcd(a,b)=a\text{ ，此时 }x=1,y=0$$

当 $b\ne 0$ 时：

$$\text{设 }a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=b{x}_2+(amodb)y_2$$

$$\because amodb=a-a/b\ast b$$

$$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-a/b\ast b)y_2$$

$$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+a{y}_2-a/b\ast b{y}_2$$

$$\therefore a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b{x}_2-b\ast a/b\ast y_2$$

$$\therefore a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b(x_2-a/b\ast y_2)$$

$$\text{解得 }{x}_1=y_2,y_1=x_2-a/b\ast y_2$$

得证
通过这个证明，我们发现可以在维护 $gcd$ 时同时维护 $x,y$ 的值。

code:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0) {x=1,y=0;return a;}
	else{
		int ans=exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=a/b*x;
		return ans;
	}
}

用途（1，2为基本用途）：

1.

首先看怎么解

$$ax+by=c$$

这类方程

首先：若 $gcd(a,b)\nmid c$ 可以知道原方程没有整数解（等式左右因数不相等，显然无整数解。
所以我们将原方程左边 $\times gcd(a,b)/c$ ,然后通过解 $a{x}_0+b{y}_0=gcd(a,b)$ 解得 $x_0,y_0$ ，最后将 $x_0,y_0$ 乘上 $c/gcd(a,b)$ 解出原方程的一组解 $x_1,y_1$.
显然，我们将 $x_1+b/gcd(a,b)\ast t,y_1-a/gcd(a,b)\ast t$ （ $t$ 为任意整数）即可得出所有解。

2.

然后，我们再来看下同余方程

$$ax\equiv l(\mathrm{mod}m)$$

其实稍加转化，就得到了

$$ax+my=l$$

解这个方程即可，注意 $x$ 的特殊要求。

3.

最后，我们来看一下同余方程组

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ...\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{m}_n)\end{array}$$

若所有 $m$ 互质，可以用 $crt$ 求解。
这里主要说不互质的用 $exgcd$ 解法
首先看第一二个式子：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\end{array}$$

变形得到：

$$\{\begin{array}{l}x=a_1+m_1{k}_1\\ x=a_2+m_2{k}_2\end{array}$$

$$\therefore a_1+m_1{k}_1=a_2+m_2{k}_2$$

整理：

$$m_1{k}_1-m_2{k}_2=a_2-a_1$$

运用 $exgcd$ 解得 $k_1$ 的一组解：

$$k_1=r$$

$$\therefore k_1\text{ 的通解为 }{k}_1=r+\frac{m_2}{gcd(m_1,m_2)}\times t\mid t\in Z$$

将上式带入 $x=a_1+m_1{k}_1$ 得：

$$x=a_1+m_{1}r+\frac{m_1{m}_2}{gcd(m_1,m_2)}\times t$$

$$\because \mathrm{lcm}({\mathrm{m}}_1,{\mathrm{m}}_2)=\frac{m_1{m}_2}{gcd(m_1,m_2)}$$

$$\therefore x=a_1+m_{1}r+\mathrm{lcm}({\mathrm{m}}_1,{\mathrm{m}}_2)\times t$$

变形得到：

$$x\equiv a_1+m_{1}r(\mathrm{mod}\mathrm{lcm}({\mathrm{m}}_1,{\mathrm{m}}_2))$$

于是我们就成功将两个同余方程化简成了一个。
同理化简下去直到一个，求解即可。
例题

——后来 jijidawang 说这就是 $excrt$。