【题解】P5322 [BJOI2019] 排兵布阵（DP，背包）

【题解】P5322 [BJOI2019] 排兵布阵

挺开心的，毕竟这是我为数不多自己做出的蓝题之一。

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题目链接

P5322 [BJOI2019] 排兵布阵 - 洛谷

题意概述

这道题的题意很清楚，所以这里直接摘抄原题题面。

小 C 正在玩一款排兵布阵的游戏。在游戏中有 $n$ 座城堡，每局对战由两名玩家来争夺这些城堡。每名玩家有 $m$ 名士兵，可以向第 $i$ 座城堡派遣 $a_i$ 名士兵去争夺这个城堡，使得总士兵数不超过 $m$。

如果一名玩家向第 $i$ 座城堡派遣的士兵数严格大于对手派遣士兵数的两倍，那么这名玩家就占领 了这座城堡，获得 $i$ 分。

现在小 C 即将和其他 $s$ 名玩家两两对战，这 $s$ 场对决的派遣士兵方案必须相同。小 C 通过某些途径得知了其他 $s$ 名玩家即将使用的策略，他想知道他应该使用什么策略来最大化自己的总分。

由于答案可能不唯一，你只需要输出小 C 总分的最大值。

思路分析

刚开始想了一个前缀和差分套 01 背包的做法。

定义 $sum_{i,j}$ 表示对于第 $i$ 座城堡，派遣士兵 $j$ 个时，占领了几次城堡。

那么对于一个输入的 $a_{i,j}$，令 $a_{i,j}\times 2+1=k$，然后 $sum_{i,k}++$。

最后对于每一个 $i$，求一下 $\sum \limits_{j=1}^m sum_{i,j}$，得到新的前缀和数组。

定义 $dp_{i,j}$ 表示的是考虑到了第 $i$ 座城堡，当前派遣士兵总数是 $j$ 时，得分最大是多少。

可以发现实际上这是一个 01 背包，枚举第 $i$ 个城堡派遣的士兵个数 $k$，那么有：

$$dp[i][j]=\max \limits_{0 \le k \le j}(dp[i][j],dp[i-1][j-k]+sum[i][k]*i)$$

直接转移即可。

分析一下时间复杂度：枚举 $i$：$O(n)$，枚举 $j,k$：都是 $O(m)$。

所以总复杂度：$O(nm^2)$。复杂度炸没边了。

考虑如何优化。

如果 $dp$ 状态不变，那么瓶颈在于枚举 $k$ 上，因为枚举 $i,j$ 的复杂度都无法改变。

观察数据范围可以发现，$m$ 的范围虽然很大，但 $n$ 却很小，能否将枚举 $k$ 的复杂度降低到 $O(n)$ 级别呢。

其实是可以的。

既然我们直接枚举士兵个数不成，不妨换个角度。我们枚举可以占领几次城堡，也就是在这个城堡上战胜了多少个敌人。

那么我们只需要知道战胜了 $k$ 个敌人时的士兵个数即可。

显然选择士兵个数要遵循的原则是：能小则小。即在满足条件的情况下，选最少的士兵。

这个是显然的，因为如果你选的更大就会使得多选的士兵浪费，从而不一定达到最优解。

所以对于战胜了 $k$ 个敌人的士兵个数，假设第 $i$ 个敌人派遣到这座城堡的士兵个数是 $a_i$，那么答案就是 $a$ 数组中第 $k$ 小的元素 $\times 2+1$。

那么我们对每一座城堡上所有敌人派遣的士兵个数排序，$a_k$ 即为第 $k$ 小。

综上，对于 $dp_{i,j}$：

$$dp[i][j]=\max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-a[i][k]*2-1]+k*i);$$

$a_{i,k}$ 表示的是第 $i$ 个城堡上所有敌人派遣第 $k$ 小的士兵数量。

时间复杂度：$O(n^2m)$。

易错点

• 在刚开始输入的时候，由于 $a_{i,j}$ 表示的是表示的是第 $i$ 个城堡上所有敌人派遣第 $k$ 小的士兵数量。但输入相对于这个是反的，所以刚开始应该输入的是 $a_{j,i}$。

• 对于一个 $dp_{i,j}$，若没有使用滚动数组，则刚开始要继承 $dp_{i-1,j}$。

代码实现

//luoguP5322
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxm=2e4+10;
int a[maxn][maxm<<1],dp[maxn][maxm<<1];

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

int main()
{
	int s,n,m;
	s=read();n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=s;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			int x=read();
			a[j][i]=x;//bug:a[i][j]=x;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)sort(a[i]+1,a[i]+s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=0;j--)
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j];//bug:forget
			//要在枚举 k 的循环外继承。 
			for(int k=1;k<=s;k++)
			{
				if(j>=a[i][k]*2+1)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-a[i][k]*2-1]+k*i);
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=m;i++)ans=max(ans,dp[n][i]);
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}