【题解】P2167 [SDOI2009]Bill的挑战（状压 DP）
【题解】P2167 [SDOI2009]Bill的挑战
挺好的一道状压 DP。可惜我脑子有病。（）
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题意概述
给出 \(N\) 个长度相同的字符串（由小写英文字母和 ? 组成），\(S_1,S_2,\dots,S_N\)，求与这 \(N\) 个串中的刚好 \(K\) 个串匹配的字符串 \(T\) 的个数，答案对 \(1000003\) 取模。
若字符串 \(S_x(1\le x\le N)\) 和 \(T\) 匹配，满足以下条件：
\1. \(|S_x|=|T|\)。
\2. 对于任意的 \(1\le i\le|S_x|\)，满足 \(S_x[i]= \texttt{?}\) 或者 \(S_x[i]=T[i]\)。
其中 \(T\) 只包含小写英文字母。
数据范围
- 对于 \(30\%\) 的数据，\(N\le5\)，\(|S_i|\le20\)；
- 对于 \(70\%\) 的数据，\(N\le13\)，\(|S_i|\le30\)；
- 对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le T\le 5\)，\(1\le N \le15\)，\(1\le|S_i|\le50\)。
思路分析
首先看到这个数据范围肯定想到的是状压，并且要状压的是选了哪些字符串。
那么定义 \(dp_{sta}\) 表示选择 \(sta\) 这个状态的字符串的方案数是多少。
然后就会发现不太好转移，因为我们只能确定 \(sta\) 这个状态构成的字符串对应的方案数是多少，而对于不同的 \(sta\)，可能会有相同的一个字符串 \(T\) 满足条件，会算重。
那么我们考虑在状态中加入一维：定义 \(dp_{i,sta}\) 表示考虑到了字符串的第 \(i\) 位，当前选的状态是 \(sta\) 时，方案数是多少。
考虑如何转移。
我们考虑对于一个状态 \(dp_{i,sta}\) 它能转移到哪儿去。
首先肯定是要转移到某一个 \(dp_{i+1,nxt}\) 上去。那么 \(nxt\) 是什么呢。
这时候我们要用到一个辅助数组。
定义 \(f_{i,j}\) 表示的是考虑到了字符串的第 \(i\) 位，这一位上可以与 \(j\) 对应字符匹配的 \(S\) 有哪些。
考虑对于一个 \(j\)，这一位上是什么的时候可以与它匹配，比较显然的是要么这一位是 ? 要么是 \(j\) 对应的字符。
那么可以直接枚举 \(i,j\) 并枚举每一个字符串直接判断这一位是否与 \(j\) 匹配即可，可以预处理。
有了这个 \(f\) 数组，我们也就可以轻松的转移 \(dp\) 了。
我们直接考虑下一位填每一个字符 a 到 z 时对应的方案数是多少即可。
初始状态：\(dp_{i,(1<<n)-1}=1\)。
那么最后的答案就是对于每一个状态 \(sta\) 二进制下 \(1\) 的个数恰好为 \(k\) 的所有的 \(dp_{len,sta}\) 之和。其中 \(len\)表示每一个字符串的长度。
代码实现
//luoguP2167
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1000003;
const int maxn=16;
const int maxm=55;
string s[maxn];
int f[maxm][maxm],dp[maxm][1<<maxn],val[1<<maxn];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
signed main()
{
int T=read();
while(T--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(f,0,sizeof(f));
memset(val,0,sizeof(val));
int n,k;
n=read();k=read();
for(int i=0;i<n;i++)cin>>s[i],s[i]='%'+s[i];
int len=s[0].size()-1;
for(int sta=0;sta<(1<<n);sta++)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(sta&(1<<i))val[sta]++;
}
}
for(int i=1;i<=len;i++)
{
for(char ch='a';ch<='z';ch++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(s[j][i]=='?'||s[j][i]==ch)f[i][ch-'a']|=(1<<j);
}
}
}
dp[0][(1<<n)-1]=1;
for(int i=0;i<len;i++)
{
for(int sta=0;sta<(1<<n);sta++)
{
if(!dp[i][sta])continue;
for(char ch='a';ch<='z';ch++)
{
(dp[i+1][sta&f[i+1][ch-'a']]+=dp[i][sta])%=mod;
}
}
}
int ans=0;
for(int sta=0;sta<(1<<n);sta++)
{
if(val[sta]==k)(ans+=dp[len][sta])%=mod;
}
cout<<ans<<'\n';
}
return 0;
}
