线段树总结（未完结）
线段树总结
posted on 2022.5.24：感觉写的好乱……真就是早期总结……大概日后会考虑重写/大手术修改，，，但是先咕着吧。（雾）
最近写线段树的题，感觉好多题其实有些地方根本没懂，然后好多题都不会直接看了题解。感觉线段树挺重要的，总结一下吧。
注：本文主要适用于已经掌握线段树基本操作的同学，如果是初学可能并不适合。
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普通线段树
普通线段树感觉就不用多说了，毕竟自己写了那么多理解的也差不多了。
主要功能就是维护区间查询，区间修改。当然也支持单点查询和单点修改。
基本操作
- 建树
void build(int now,int l,int r)
{
if(l==r){sum[now]=read();return ;}
build(ls,l,mid);//建立左子树
build(rs,mid+1,r);//右子树
pu(now,l,r);//pushup
return ;
}
- 单点修改
void ins(int now,int l,int r,int k,int v)
{
if(l==r){sum[now]=v;return ;}
//注意不需要lazy和pushdown！
if(k<=mid)ins(ls,l,mid,k,v);
else ins(rs,mid+1,k,v);
pu(now,l,r);
}
- 单点查询
int query(int now,int l,int r,int k)
{
if(l==r){return sum[now];}
int ret=0;
if(k<=mid)ret+=query(ls,l,mid,k);
else ret+=query(rs,mid+1,r,k);
return ret;
}
- 区间修改
//这里以区间加为例，当然区间乘/最大值/最小值等情况完全可以类比
void ins(int now,int l,int r,int L,int R,int v)
{
if(L<=l&&r<=R){sum[now]+=(r-l+1)*v;lazy[now]+=v;return ;}//如果当前区间已经完全包含于被查询区间，那么直接加，注意此处必须乘上r-l+1，因为是给这个区间内所有元素+v。另一个关键是lazy标记，这一点一会会说到。
if(lazy[now])pd(now,l,r);//如果lazy！=0，标记下传（pushdown一会也会说到）
if(L<=mid)ins(ls,l,mid,L,R,v);
if(R>=mid+1)ins(rs,mid+1,r,L,R,v);
pu(now,l,r);
}
- 区间查询
int query(int now,int l,int r,int L,int R)
{
if(L<=l&&r<=R){return sum[now];}//与区间查询同理，如果当前区间已经完全包含于要查询区间中，直接返回这个区间的和。
if(lazy[now])pd(now,l,r);
int ret=0;
if(L<=mid)ret+=query(ls,l,mid,L,R);
if(R>=mid+1)ret+=query(rs,mid+1,r,L,R);
return ret;
}
以上三个就是线段树的基本操作。
建树主要是用来初始化线段树维护的一些东西。经过这段时间的做题，感觉初始化的对象主要是下面几个：
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lazy标记：线段树2（mul乘法懒标记），上帝造题的七分钟 2(区间和，最大值懒标记)；
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动态开点线段树新建节点：凡是用动态开点线段树都要这一步操作。
区间修改主要是修改区间某一段的某个对象，比如区间和/积，最大值/最小值，某一段区间的具体值。这个根据具体题里维护的对象是不同的。要注意的是有些操作不能直接val[]=v;而应该进行一些变化，比如线段树区间加里面是sum[]+=(l-mid+1)*v。
这个感觉问题并不是很大，就不多说了。
区间查询这个，其实应该说是很死的，因为几乎不管是什么题都几乎是一样的板子，连板子都几乎原封不动的套上去。所以这里也就不多赘述了（雾）。
pushup和pushdown
pushup：
内部机制是，在每次到左子树和右子树分别更新了sum[ls]和sum[rs]之后，sum[now]也会受到影响，pushup用来更新sum[now]，易知sum[now]=sum[ls]+sum[rs];
主要用于再修改之后更新sum的值，也就是build和ins操作中，因为只有这两个操作可能修改sum的值。
code:
void pu(int now,int l,int r)
{
sum[now]=sum[ls]+sum[rs];
return ;
}
pushdown：
此操作是针对lazy标记的。
先说一下lazy标记吧。比如你现在要修改节点编号是3的点，它的左儿子是6，右儿子是7，按照一般的方法肯定是递归到3的左儿子和右儿子分别修改一下然后再回来。但这样做的话，显然时间复杂度和暴力差不多，就像是一个大常数暴力，是起不到作为线段树的效果的。
但我们会发现，当我们修改3这个地方的sum时，影响的只有它和它的子树。如果我们不去管它的子树，那么我们会发现这时候只有它的子树的答案是错的。也就是说除了它的子树外，这棵线段树上的其他点概不影响。
那么我们就想到了一个好的方法：lazy标记。我们只需要在3这里标记一下lazy[now]+=v;指的是3和它的子树都加上v。如果我们查找不到它的子树，那么根本不用管它的子树会如何。而当我们需要查找到它的子树时，只需要让它的子节点每次把它的父亲的lazy继承过来即可！这样的做法免去了再次递归下去的必要，降低了时间复杂度。我们每次查找一个节点的子树，只需要每次将这个lazy标记向下移动一次即可。
而pushdown就是让这个lazy标记下移的操作，也就是每次需要递归它的左右儿子时，把sum更新，lazy下移。
注意：许多同学再写build操作时，进行了pushdown操作，但这个其实是完全没有必要的。因为你在build的时候，本身就是已经递归到叶子节点了，你跟本不需要lazy标记，哪里来的pushdown！
所以在线段树基本操作中，只有ins操作和query操作需要pushdown。更一般地，也就是说pushdown只需要在有类似于区间修改和查询的操作，如果仅仅是单点修改，并不需要。
（于是我又傻不拉几的在最大数那道题里面用了lazy标记/kk）
code：
void pd(int now,int l,int r)
{
sum[ls]+=(mid-l+1)*lazy[now];sum[rs]+=(r-mid)*lazy[now];
lazy[ls]+=lazy[now];lazy[rs]+=lazy[now];
lazy[now]=0;
return ;
}
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动态开点线段树
这玩意是我自始至终学的云里雾里的东西。详细讲一下吧，也为了让我自己梳理清楚。（雾）
首先我们要弄清楚：动态开点线段树与普通线段树的区别主要在哪，它的优势在哪，为什么而存在。
我们考虑一下线段树的空间复杂度：O(4*n) ，证明见此文：线段树空间复杂度为什么是O(4*N-1)？
显然如果n很大，那么空间一定会炸掉。那么怎么样让它不炸掉呢？线段树优化——动态开点线段树就应运而生。
我们会发现在普通线段树中，虽然我们事先建了最多4*n个点，但其实有好多点是用不到的，就相当于是白白占了空间。那么我们就可以考虑，并不是刚开始就建好一棵完整的树，我们可以在计算和操作的过程中建立树，也就是说，刚开始的线段树并非一棵完整的线段树，是残缺的，只有在需要的时候，才建立新节点，否则如果根本不需要就不用建立新节点。
那么我们可以每次操作时，往下递归左儿子和右儿子，如果没有左儿子和右儿子，则新建这个节点的左儿子和右儿子即可。
我们可以使用两个数组ls[]和rs[]分别表示每个节点的左右儿子。
由于动态开点的主要代码实现和普通线段树没什么区别，只是把rs改成了数组，所以不再赘述，这里只放出代码和少量注释。
//pushup
void pu(int now,int l,int r){sum[now]=sum[ls[now]]+sum[rs[now]];return ;}
//pushdown
void pd(int now,int l,int r)
{
lazy[ls[now]]+=lazy[now];lazy[rs[now]]+=lazy[now];
sum[ls[now]]+=(mid-l+1)*lazy[now];sum[rs[now]]+=(r-mid)*lazy[now];
lazy[now]=0;
return ;
}
//build
void build(int &now,int l,int r)
{
if(!now)New(now);
if(!ls[now])New(ls[now]);//如果左/右儿子不存在，把它建出来。
if(!rs[now])New(rs[now]);
if(l==r){sum[now]=read();return ;}
build(ls[now],l,mid);
build(rs[now],mid+1,r);
pu(now,l,r);
return ;
}
//区间修改
void ins(int &now,int l,int r,int L,int R,int v)
{
if(!now)New(now);
if(!ls[now])New(ls[now]);
if(!rs[now])New(rs[now]);
if(L<=l&&r<=R){sum[now]+=(r-l+1)*v;lazy[now]+=v;return ;}
if(lazy[now])pd(now,l,r);
if(L<=mid)ins(ls[now],l,mid,L,R,v);
if(R>mid)ins(rs[now],mid+1,r,L,R,v);
pu(now,l,r);
return ;
}
//区间查询
int query(int &now,int l,int r,int L,int R)
{
if(!now)New(now);
if(!ls[now])New(ls[now]);
if(!rs[now])New(rs[now]);
if(L<=l&&r<=R){return sum[now];}
if(lazy[now])pd(now,l,r);
int ret=0;
if(L<=mid)ret+=query(ls[now],l,mid,L,R);
if(R>mid)ret+=query(rs[now],mid+1,r,L,R);
return ret;
}
总结一下动态开点线段树的功能：
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省空间；
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用于主席树（后面会提到）。
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主席树（可持久化线段树）
主席树，也叫可持久化线段树。
为什么叫可持久化呢？我们之前所学习的线段树，实际上维护的是“数据集的最新状态”，也就是每次更新之后的状态。但是如果我们无法得知它的历史状态。为了知道它的历史状态，我们就要可持久化。
我们考虑这样一个问题，给你n个数，m组询问，每组询问给你一个区间[l,r]，问区间[l,r]内的第k大数是多少？
数据范围： 1≤n,m≤2×10^5
最简单的方法就是考虑暴力。但是显然时间复杂度会炸。
考虑线段树。如果我们可以维护n个线段树，每个线段树存的是[1,i]的siz，那么如果我们要求区间内第k大，应该怎么求呢？
很容易想到我们在初学前缀和时，用的思想。
第一棵线段树表示[1,l]这段区间的答案，第二棵线段树表示的是[1,r]这段区间的答案。
那么答案就是[1,r]-[1,l-1]，也就是第二棵线段树的答案减去第一棵线段树。
考虑怎么实现。
如果直接建立 n+1 棵线段树，那么空间肯定会炸掉，我们考虑每次更改一个节点，会更改哪些节点的值。
(更改了节点8的值，对应更新的是1,2,4,8的值。）
可以看出，当我们更改其中一个节点的值，会更改的答案是这个节点所在这条链的值，也就是说，我们最多可以更改 O(\log n) 个节点的值。
那么我们可以考虑，每次在更新其中一个节点的值时，我们只需要新建那些值改变的节点，而不需要新建整棵树，只需要把新建节点连向原来没有被修改过的节点即可。也就是说可以共用节点，没有修改过值的节点，就是共用节点。
使用动态开点线段树实现即可。
代码实现如下：
//单点修改
void ins(int pre,int &now,int l,int r,int pos)
{
if (!now) now=++tot;
if (l==r){sum[now]=sum[pre]+1;return;}
if (pos<=mid) {ins(ls[pre],ls[now],l,mid,pos); rs[now]=rs[pre];}
else {ins(rs[pre],rs[now],mid+1,r,pos); ls[now]=ls[pre];}
pu(now,l,r);
return;
}
//查询
int query(int pre,int now,int l,int r,int k)
{
if (l==r) return l;
if (sum[ls[now]]-sum[ls[pre]]>=k) return query(ls[pre],ls[now],l,mid,k);
return query(rs[pre],rs[now],mid+1,r,k-(sum[ls[now]]-sum[ls[pre]]));
}
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树链剖分
树链剖分 就是对一棵树分成几条链，把树形变为线性，减少处理难度
解决的主要问题：
- 将树从x到y结点最短路径上所有节点的值都加上v；
- 求树从x到y结点最短路径上所有节点的值之和；
- 将以x为根节点的子树内所有节点值都加上v；
- 求以x为根节点的子树内所有节点值之和；
先给出一些概念：
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重儿子：父亲节点的所有儿子中子树结点数目最多（size最大）的结点；
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轻儿子：父亲节点中除了重儿子以外的儿子；
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重边：父亲结点和重儿子连成的边；
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轻边：父亲节点和轻儿子连成的边；
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重链：由多条重边连接而成的路径；
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轻链：由多条轻边连接而成的路径；
如图所示：
实现
树剖的实现分为两个dfs，如下：
dfs1
需要用的变量：
dep：每个节点的深度；
fa：每个节点的父亲；
siz：子树大小；
heavson：重儿子；
早期文章，未完结。
咕咕咕咕……
To be continued……
