【题解】CF1485C Floor and Mod(二分答案,整除分块)

【题解】CF1485C Floor and Mod

emmm……NOIP 考前两周,跟 CSP 考前一样(虽然最后并没有去考),写篇题解增加以下 RP(雾)。

提供一篇思路大体和题解区相同但用了二分写法的题解。

题目链接

CF1485C Floor and Mod

题意概述

1ax,1by1\le a\le x,1\le b\le yab=a modb\lfloor\frac{a}{b}\rfloor =a\bmod b(a,b)(a,b) 个数。

数据范围

  • 1x,y1091 \le x,y \le 10^9

思路分析

首先我们设 ab=k\left\lfloor \dfrac{a}{b}\right \rfloor=k,则:a=bk+k=k(b+1)a=bk+k=k(b+1)。也就是说 aab+1b+1 的倍数。

那么题意转化为:

[1,x][1,x] 里找一个 aa,在 [1,y][1,y] 里找一个 bb,满足 aab+1b+1 的倍数,问有多少对这样的 (a,b)(a,b)

那么我们考虑对于 [1,y][1,y] 里的每一个 bb[1,x][1,x] 中有多少个 aa 满足题意。其实就相当于问 [1,x][1,x] 中有多少个 b+1b+1 的倍数,显然有 xb+1\left\lfloor\dfrac{x}{b+1}\right\rfloor 个。

那么总的答案就为

i=1yxi+1=i=2y+1xi \sum \limits_{i=1}^y \left\lfloor\frac{x}{i+1}\right\rfloor=\sum \limits_{i=2}^{y+1} \left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor

那么可以直接整除分块解决。

结果我写完发现样例都过不了。。所以显然是有问题的。

我们发现 bb 首先不能为 11,因为任何数是 11 的倍数,而任何数除以 11 不可能为 00

所以我们的下界应该从 33 开始。

其次,在 a=bk+k=k(b+1)a=bk+k=k(b+1) 中,我们忽略了一个重要条件,kk 在这里相当于 a modba\bmod b,是余数,而余数不能大于等于除数,即 k<bk<b

所以对于 [3,y][3,y] 的每一个 bb,其实只有 ab+1<b\left \lfloor \dfrac{a}{b+1}\right\rfloor<baa 才满足题意。

那么这样的 aa[1,x][1,x] 中有 min(b+1)(b1),xb+1\left\lfloor\dfrac{\min(b+1)(b-1),x}{b+1}\right\rfloor 个。

那么整个答案就为:

i=2ymin((i+1)(i1),x)i+1=i=3y+1min(i(i2),x)i=i=3lim(i2)+i=lim+1y+1xi=(1+lim2)×(lim3+1)2+i=lim+1y+1xi \begin{aligned}\sum \limits_{i=2}^y\left\lfloor\dfrac{\min((i+1)(i-1),x)} {i+1}\right\rfloor&=\sum \limits_{i=3}^{y+1}\left\lfloor\dfrac{\min(i(i-2),x)} {i}\right\rfloor\\&=\sum \limits_{i=3}^{lim} (i-2)+ \sum \limits_{i=lim+1}^{y+1}\left\lfloor \dfrac{x}{i}\right\rfloor\\&=\frac{(1+lim-2)\times(lim-3+1)}{2}+\sum \limits_{i=lim+1}^{y+1}\left\lfloor\dfrac{x}{i}\right\rfloor\end{aligned}

其中 limlim 表示的是使得 i×(i2)xi\times(i-2)\le x 的最后一个 ii

那么 limlim 直接枚举/解不等式/二分都可,我这里采用的是二分。

最后的式子中,第一项显然可以 O(1)O(1) 求出,第二项显然可以整除分块,于是整道题成功解决。

时间复杂度:O(T(logy+y))O(T(\log y+\sqrt y))

易错点

没啥细节,只是需要开 long long。

代码实现

//CF1485C
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

int work(int n,int k,int lim)
{
	int ret=0;
	for(int l=lim,r;l<=n;l=r+1)
	{
		if(k/l==0)break;
		r=min(k/(k/l),n);
		ret+=(k/l)*(r-l+1);
	}
	return ret;
}

signed main()
{
	int T;
	T=read();
	while(T--)
	{
		int x,y;
		x=read();y=read();
		int now=0;
		for(int step=(1ll<<30);step>=1;step>>=1)
		{
			if(now+step<=(y+1)&&(now+step)*(now+step-2)<=x)now+=step;
		}
		int lim=now;
		cout<<(lim-2)*(lim-1)/2+work(y+1,x,lim+1)<<'\n';
	}
}
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