【题解】CF1485C Floor and Mod（二分答案，整除分块）

【题解】CF1485C Floor and Mod

emmm……NOIP 考前两周，跟 CSP 考前一样（虽然最后并没有去考），写篇题解增加以下 RP（雾）。

提供一篇思路大体和题解区相同但用了二分写法的题解。

题目链接

CF1485C Floor and Mod

题意概述

求 \(1\le a\le x,1\le b\le y\) 且 \(\lfloor\frac{a}{b}\rfloor =a\bmod b\) 的 \((a,b)\) 个数。

数据范围

• \(1 \le x,y \le 10^9\)

思路分析

首先我们设 \(\left\lfloor \dfrac{a}{b}\right \rfloor=k\)，则：\(a=bk+k=k(b+1)\)。也就是说 \(a\) 是 \(b+1\) 的倍数。

那么题意转化为：

在 \([1,x]\) 里找一个 \(a\)，在 \([1,y]\) 里找一个 \(b\)，满足 \(a\) 是 \(b+1\) 的倍数，问有多少对这样的 \((a,b)\)。

那么我们考虑对于 \([1,y]\) 里的每一个 \(b\)，\([1,x]\) 中有多少个 \(a\) 满足题意。其实就相当于问 \([1,x]\) 中有多少个 \(b+1\) 的倍数，显然有 \(\left\lfloor\dfrac{x}{b+1}\right\rfloor\) 个。

那么总的答案就为

\[ \sum \limits_{i=1}^y \left\lfloor\frac{x}{i+1}\right\rfloor=\sum \limits_{i=2}^{y+1} \left\lfloor\frac{x}{i}\right\rfloor \]

那么可以直接整除分块解决。

结果我写完发现样例都过不了。。所以显然是有问题的。

我们发现 \(b\) 首先不能为 \(1\)，因为任何数是 \(1\) 的倍数，而任何数除以 \(1\) 不可能为 \(0\)。

所以我们的下界应该从 \(3\) 开始。

其次，在 \(a=bk+k=k(b+1)\) 中，我们忽略了一个重要条件，\(k\) 在这里相当于 \(a\bmod b\)，是余数，而余数不能大于等于除数，即 \(k<b\)。

所以对于 \([3,y]\) 的每一个 \(b\)，其实只有 \(\left \lfloor \dfrac{a}{b+1}\right\rfloor<b\) 的 \(a\) 才满足题意。

那么这样的 \(a\) 在 \([1,x]\) 中有 \(\left\lfloor\dfrac{\min(b+1)(b-1),x}{b+1}\right\rfloor\) 个。

那么整个答案就为：

\[ \begin{aligned}\sum \limits_{i=2}^y\left\lfloor\dfrac{\min((i+1)(i-1),x)} {i+1}\right\rfloor&=\sum \limits_{i=3}^{y+1}\left\lfloor\dfrac{\min(i(i-2),x)} {i}\right\rfloor\\&=\sum \limits_{i=3}^{lim} (i-2)+ \sum \limits_{i=lim+1}^{y+1}\left\lfloor \dfrac{x}{i}\right\rfloor\\&=\frac{(1+lim-2)\times(lim-3+1)}{2}+\sum \limits_{i=lim+1}^{y+1}\left\lfloor\dfrac{x}{i}\right\rfloor\end{aligned} \]

其中 \(lim\) 表示的是使得 \(i\times(i-2)\le x\) 的最后一个 \(i\)。

那么 \(lim\) 直接枚举/解不等式/二分都可，我这里采用的是二分。

最后的式子中，第一项显然可以 \(O(1)\) 求出，第二项显然可以整除分块，于是整道题成功解决。

时间复杂度：\(O(T(\log y+\sqrt y))\)。

易错点

没啥细节，只是需要开 long long。

代码实现

//CF1485C
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

int work(int n,int k,int lim)
{
	int ret=0;
	for(int l=lim,r;l<=n;l=r+1)
	{
		if(k/l==0)break;
		r=min(k/(k/l),n);
		ret+=(k/l)*(r-l+1);
	}
	return ret;
}

signed main()
{
	int T;
	T=read();
	while(T--)
	{
		int x,y;
		x=read();y=read();
		int now=0;
		for(int step=(1ll<<30);step>=1;step>>=1)
		{
			if(now+step<=(y+1)&&(now+step)*(now+step-2)<=x)now+=step;
		}
		int lim=now;
		cout<<(lim-2)*(lim-1)/2+work(y+1,x,lim+1)<<'\n';
	}
}