【题解】[ABC299F] Square Subsequence（DP）
【题解】[ABC299F] Square Subsequence
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题意概述
给定一个由小写英文字母组成的字符串 \(S\)。计算满足以下条件的非空字符串 \(T\) 的数量，答案对 \(998244353\) 取模。
将 \(T\) 复制一倍形成 \(TT\)，则 \(TT\) 是 \(S\) 的子序列（不一定连续）。
数据范围
- \(1\le |S|\le 100\)
题目分析
一看这个数据范围，大概率是 \(O(n^4)\) 或者是 \(O(n^3 \log n)\) 的。
题目要求的是一个满足条件的 \(TT\) 成为 \(S\) 的子序列时 \(T\) 的数量。
那么我们首先应该解决一个问题：
假如 \(T\) 是已知的，那么我们应该如何从 \(S\) 中提取子序列 \(TT=T_1,T_2,T_3,\cdots,T_n,T_1,T_2,T_3,\cdots,T_n\)。
由样例 \(2\) 可知，从 \(S\) 中提取字符串可能有多种方式，因此我们需要避免多次计数相同的子序列。我们可以通过尽可能提取 \(S\) 的左侧字符的原则来避免重复计数。
具体做法：
定义 \(s(i,c)\) 表示小写英文字母 \(c\) 在第 \(i\) 个及之后的字符 \(S_{i+1}, S_{i+2}, ..., S_{N}\) 中出现的最左位置。
特殊地，如果第 \(i\) 个及之后字符中不包含 \(c\)，则我们将 \(s(i,c)\) 定义为 \(∞\)。
那么我们可以通过如下步骤在 \(S\) 中提取 \(TT\)，首先考虑第一个 \(T\)：
- 提取 \(S\) 的第 \(p_1\) 个字符，其中 \(p_1=s(0,T_1)\)。
- 提取 \(S\) 的第 \(p_2\) 个字符，其中 \(p_2=s(p_1,T_2)\)。
- 提取 \(S\) 的第 \(p_3\) 个字符，其中 \(p_3=s(p_2,T_3)\)。
- \(\cdots\)
- 提取 \(S\) 的第 \(p_n\) 个字符，其中 \(p_n=s(p_{n-1},T_n)\)。
再考虑第二个 \(T\)：
- 提取 \(S\) 的第 \(q_1\) 个字符，其中 \(q_1=s(p_n,T_1)\)。
- 提取 \(S\) 的第 \(q_2\) 个字符，其中 \(q_2=s(q_1,T_2)\)。
- 提取 \(S\) 的第 \(q_3\) 个字符，其中 \(q_3=s(q_2,T_3)\)。
- \(\cdots\)
- 提取 \(S\) 的第 \(q_n\) 个字符，其中 \(q_n=s(q_{n-1},T_n)\)。
这样我们就唯一地确定了从每个 \(S\) 的子串提取子序列的方法，因此每个子序列 \(T\) 都可以计算而没有重复计数。
这个过程可以线性预处理完成，时间复杂度 \(O(26n)\)。
这是当在已知 \(T\) 的情况下，我们如何从 \(S\) 中提取 \(TT\)。
那么我们在不知道 \(T\) 的情况下，如何统计满足条件的 \(T\) 的数量呢？
我们首先可以枚举 \(S\) 中第二个 \(T_1\) 出现在哪里，即 \(q_1\)。
对于一个固定的 \(q_1=x\)，我们从 \(p_1=s(0,T_1)=s(0,S_x)\) 的位置开始，按照上述步骤依次确定 \(TT\) 的第 \(2\) 个及之后的字符，同时从 \(q_1=x\) 的位置开始按照尽可能提取 \(S\) 的左侧字符的原则提取 \(TT\) 的第二个 \(T\) 部分。具体来说：
-
首先枚举 \(T\) 的第二个字符 \(T_2\) 是哪个小写英文字母。设 \(p_2=s(p_1,T_2)\)，\(q_2=s(q_1,T_2)\)，然后提取 \(S\) 的 \(p_2\) 和 \(q_2\) 位置的字符。
-
然后枚举 \(T_3\) 是哪个小写英文字母。设 \(p_3=s(p_2,T_3)\)，\(q_3=s(q_2,T_3)\)，然后提取 \(S\) 的 \(p_3\) 和 \(q_3\) 位置的字符。
-
以此类推，直到枚举 \(T_n\) 是哪个小写英文字母。设 \(p_n=s(p_{n-1},T_n)\)，\(q_n=s(q_{n-1},T_n)\)，然后抽取 \(S\) 的 \(p_n\) 和 \(q_n\) 位置的字符。
那么我们要计算 \(q_1=x\) 的时候的答案，就可以通过 DP 来解决。
定义 \(dp_{i,j}\) 表示的是满足 \(p_n=i\) 且 \(q_n=j\) 的 \(T\) 的个数。
转移：
那么对于固定的 \(q_1=x\) 答案就是 \(\sum_{s(i,S_x)=x}\sum_j dp_{i,j}\)
总答案就是所有可能的 \(q_1\) 的答案之和。
DP 复杂度为 \(O(26\times n^2)\)，枚举 \(q_1\) 的复杂度是 \(O(n)\)，所以总复杂度为 \(O(26\times n^3)\)。
代码实现
//F
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=105;
const int mod=998244353;
int dp[maxn][maxn],s[maxn][26];
//dp[i][j] 表示的是满足 p_n=i 且 q_n=j 的 T 的个数。
//s[i][c] 表示的是 c 在第 i 个位置后出现的第一个位置。
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
signed main()
{
string S;
cin>>S;
int n=S.size();
S='%'+S;
//预处理 s 数组。
for(int i=0;i<26;i++)s[n][i]=n+1;
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
for(int j=0;j<26;j++)s[i][j]=s[i+1][j];
s[i][S[i+1]-'a']=i+1;
}
int ans=0;
//dp 部分
for(int q=2;q<=n;q++)//枚举 q_1
{
int p=s[0][S[q]-'a'];//p 就是 p_1
if(p>=q)continue;
//初始化
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)dp[i][j]=0;
}
dp[p][q]=1;
//dp 转移
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
for(int k=0;k<26;k++)
{
int nxti=s[i][k],nxtj=s[j][k];
if(nxti>=q||nxtj>n)continue;
(dp[nxti][nxtj]+=dp[i][j])%=mod;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(s[i][S[q]-'a']==q)(ans+=dp[i][j])%=mod;
}
}
}
cout<<ans<<'\n';
return 0;
}
