【物理】电磁感应

磁通量

基础知识

定义：磁感应强度与垂直 $B$ 方向上的面积的乘积，表示穿过面积的条数。

字母：$\Phi$。磁通量是标量，但有正负。

计算：

其中 $S$ 表示垂直于磁感线方向上的面积。

单位：韦伯，即 $\mathrm{wb}$；

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对磁通量定义的理解

【关于面积 $S$】

对于垂直于磁感线方向的理解：

如下图所示，图中所求的磁通量 $\Phi$ 的面积应该是 $S'$，而不是 $S$。即 $\Phi = B S'$。

对于面积范围的理解：

如下两幅图所示，阴影部分表示磁场区域，那么左图由于磁场区域与圆的重合部分是正方形区域，那么 $\Phi_1 = B S_正$，而右图二者重合区域是圆形区域，所以 $\Phi_2 = B S_圆$。

总结：所以 $S$ 的范围是题目中磁场区域与所求对象面积重合的部分。

【关于磁通量 $\Phi$】

如图所示，套在条形磁铁外的三个线圈，其面积 $S_1 > S_2 = S_3$，1 和 2 在同一平面内，3 线圈在磁铁正中间。设各线圈中的磁通量以此为 $\Phi_1,\Phi_2,\Phi_3$，则它们的大小关系是什么？

求解：

考虑从 $\mathrm N$ 极向 $\mathrm S$ 极看，其视野应该是这样：

由于磁感线从 $\mathrm N$ 极指向 $\mathrm S$ 极，所以在条形磁铁内部磁感线是点出的，在外部是叉进的，且由于磁通量穿入穿出可相互抵消，则叉进和点出的「数量」相同，所以在圆形内部，点出的条数大于叉进的条数。

对比线圈 1 和 2，由于 1 的面积更大，所以 1 中叉进的条数大于 2 中叉进的条数，又由于二者点出的条数相同（是同一个条形磁铁），所以 1 叉进将点出的抵消条数更多，所以 1 的磁通量更小，即 $\Phi_1 < \Phi_2$。

对比线圈 2 和 3，由于 3 在条形磁铁中间，根据条形磁铁外部磁感线越稀疏磁感应强度越小可知，条形磁铁中间外部磁感应强度最小，所以外部电场中 3 的磁感应强度小于 2，那么 3 叉进的条数小于 2 中的条数，所以 $\Phi_3 > \Phi_2$。

综上可知 $\Phi_1 < \Phi_2 < \Phi_3$。

注意：条形磁铁中间外部磁感应强度最小。

感应电流的产生条件

感应电流的产生有两个条件：

1. 闭合电路。
2. 磁通量 $\Phi$ 改变。

例如，下图中直导线在圆形线圈正中央的上方，根据右手定则，直导线产生的磁感线会从圆形线圈中穿入再穿出，且穿入穿出相互抵消，所以圆形线圈的磁通量始终为 $0$，所以不会产生感应电流。

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例题

例 1：如图，一有界的匀强磁场宽度为 $d$，若将一个边长为 $l$ 的正方形导线框以速度 $v$ 匀速地通过磁场区域，已知 $d > l$，则导线框中无感应电流地时间是多少？

求解：

导线框整体完全在磁场中时，无感应电流，从完全进入磁场区域到开始离开磁场区域，运动了下图中红色线段的长度，所以时间为 $\dfrac{d - l}{v}$。

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例 2：在如图所示的闭合铁芯上绕有一组线圈，与滑动变阻器、电池构成闭合回路，$a、b、c$ 为三个闭合金属圆环，假定线圈产生的磁场全部集中在铁芯内，则当滑动变阻器的滑片向右滑动的过程中，下列说法正确的是（）

A. $a、b$ 两个环的磁通量始终相同

B. $b$ 环磁通量始终是 $c$ 环的一半

C. $a、c$ 两个环中都有感应电流

D. $b、c$ 两个环中都有感应电流

求解：

根据右手螺旋定则可知，在铁芯上磁感线如下图所示。

那么有多少磁感线从 $b$ 穿过就有同样多的磁感线从 $a$ 穿过，所以 $a,b$ 两个环的磁通量相同。A 正确。

由于对于 $c$ 环同时有磁感线从 $c$ 穿入和穿出，且穿入穿出相互抵消，所以 $c$ 环磁通量为 $0$，无感应电流。BCD 错误。

故选 A。

楞次定律

内容

感应电流的方向总是要阻碍原磁通量 $\Phi$ 的变化。

注意：这里是「阻碍」而非「阻止」，即它实际上还是不能完全阻止原磁通量的变化。

程序分析法判断感应电流的方向：

1. 判断原磁场的变化。
2. 根据「感应电流的方向总是要阻碍原磁通量 $\Phi$ 的变化」通过阻碍磁场变化来得出感应磁场的方向。
3. 通过逆用右手螺旋定则得到感应电流的方向。
4. 通过左手定则判断出感应电流在磁场中受到的安培力方向。

例：如图所示，若 $B$ 增加，感应电流的方向是什么？线圈有什么趋势？

首先由于原磁场叉进增多，感应电流要阻碍这个趋势，那么感应电流会产生点出的磁感应强度来抵消叉进。所以感应磁场的磁感应强度是是点出的。

那么逆用右手螺旋定则可知感应电流的方向是逆时针。根据原磁场叉进，感应电流方向是逆时针，通过左手定则可判断出安培力向内，即线圈有收缩趋势。

注意：

• 这里判断线圈的安培力时要通过原磁场的磁感应强度来判断，而不是感应磁场，因为它求的是感应电流在原磁场中受到的安培力作用。
• 线圈内磁场的磁感应强度会变大，因为原磁场叉进增多，感应电流虽然会「阻碍」原磁场变化但不能「阻止」，所以结果线圈内磁场的磁感应强度仍然会增大，这里有点类似化学里的「勒夏特列原理」。（？大概）
• 对「线圈有收缩趋势」的感性理解：线圈内磁场的磁感应强度变大，那么为了「阻碍」磁场变化，根据 $\Phi = B S$，为了不让磁通量增大的那么明显，在 $B$ 增大时，可以适当减小 $S$，即收缩线圈。

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楞次定律的特征：增反减同，增缩减扩，来拒去留。

解释：

增反减同：

• 若原磁通量叉进减少，则感应磁场的方向是叉进的。
• 若原磁通量叉进增大，则感应磁场的方向是点出的。

来拒去留：

• 若两物体相互靠近，则两者之间有排斥力。
• 若两物体相互远离，则两者之间有吸引力。

增缩减扩：

• 若磁通量增大，则闭合回路有收缩趋势。
• 若磁通量减小，则闭合回路有扩张趋势。

注意：前两种情况只适用于单一方向下的磁场，所以双圆环的相关题目不能用，三种情况的目的都是为了阻碍原磁通量的改变。

说明：有时也可以通过「同种方向的电流相互吸引，异种方向的电流相互排斥」来判断电流流向，但注意只有当一个导线受到的磁场力是另一个导线给的才能利用，因为这是「电流间的相互作用」。

例：如图所示，磁铁下方为 $\mathrm N$ 极，当磁场向下运动时判断：

1. 感应电流的方向（从上往下看）。
2. 线圈有何趋势。
3. 地面给线圈的支持力如何变化。

求解：

第一问：线圈处在有向下分量的磁场中，当磁铁向下运动时，向下的磁感应强度增大，那么感应出向上的磁感应强度，即增反减同。逆用右手螺旋定则可判断出从上往下看感应电流的方向是逆时针。

第二问：若磁感应强度增大，线圈有收缩的趋势去阻碍线圈磁通量增大，即增缩减扩。

第三问：由于线圈上感应磁场的磁感应强度方向向上，所以线圈可以等效成一个上方为 $\mathrm N$ 极的条形磁铁，那么两个条形磁铁互相排斥，受力分析可知地面给线圈的支持力会变大。感性理解：磁感应强度增大，线圈有向下运动的趋势去阻碍线圈的磁通量增大，所以桌面给线圈的支持力会增大，即来拒去留。

拓展：若下方是 $\mathrm S$ 极，则支持力同样增大，同样遵循「来拒去留」。

基础例题

例：如图，通有恒定电流的固定直导线右侧有一矩形线圈，导线与线圈置于同一光滑水平面。若增大导线中的电流强度，线圈将如何运动？

求解：电流增大，磁感应强度增大，为了阻碍增大的趋势，线圈需要远离直导线从而使得磁感应强度变小，所以要向右平移。

为了排除转动也能阻碍增大趋势，可以通过程序法运用左右手定则判断安培力的方向（安培力只有向左或向右的力，不存在垂直纸面的力）。

多过程分析

思路：从开始发生变化的位置对每一个运动段分别分析，最后求解。

例题

例 1：为寻找「磁生电」现象，英国物理学家法拉第在 1831 年把两个线圈绕在同一个软铁环上（如图所示），一个线圈 $A$ 连接电池 $E$ 和开关 $K$，另一个线圈 $B$ 闭合，并在其中一段直导线正下方放置一小磁针。闭合开关 $K$ 前，小磁针静止且与直导线平行。当闭合开关 $K$ 后，从上往下看（）

A. 小磁针沿顺时针方向偏转了一下，最终复原

B. 小磁针沿逆时针方向偏转了一下，最终复原

C. 小磁针沿顺时针方向偏转了一下，并一直保持这种偏转状态

D. 小磁针沿逆时针方向偏转了一下，并一直保持这种偏转状态

求解：

闭合开关 $K$ 后，线圈左边的电路通入电流，根据右手螺旋定则可知线圈内部的磁感应强度方向为顺时针。根据楞次定律，右边的导线会由于磁场感应出电流，那么为了阻碍磁场变化，形成的感应磁场的磁感应强度方向应该是逆时针。再逆用右手螺旋定则可知右导线中电流方向为顺时针。再根据右手螺旋定则可知右导线产生的磁感线方向，即在小磁针一侧（直导线下方）磁感线是叉进的。根据小磁针 $\mathrm N$ 极会靠近磁感线方向，从上往下看小磁针会沿着顺时针方向偏转。

又由于闭合开关电流稳定后，由于 $\Phi = BS$，$B$ 和 $S$ 均不再发生改变，则右导线不会再出现感应电流，那么也就不会出现磁场，所以小磁针不会继续偏转，而是最终复原。

故选 A。

注意：再求得线圈中的磁感线方向时，不能直接利用右手定则判断右导线的电流方向，而应该先利用感应电流的产生条件判断出是否存在感应电流，再判断感应磁场的方向（根据楞次定律判断），然后再利用右手螺旋定则判断右导线电流的方向。

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例 2：一水平放置的矩形闭合线圈 $abcd$，在细长磁铁的 $\mathrm N$ 极附近竖直下落，由图示位置 I 经过位置 II 到位置 III，位置 I 和位置 III 都很靠近位置 II。在这个过程中，线圈中感应电流如何流动？

求解：

首先画出条形磁铁的磁感线，如下图所示。

那么由于位置 II 的线圈与磁感线平行，所以磁通量为 $0$。所以从位置 I 到 II，磁感应强度方向向上，逐渐减小为 $0$，那么根据「增反减同」，线圈应该感应出向上的感应磁场；同理，从位置 II 到 II，磁感应方向向下，逐渐增大，那么线圈同样会感应出向上的感应磁场。

所以从 I 到 III，感应磁场的方向始终向上，根据右手螺旋定则可知感应电流应该沿着 $abcd$ 流动。

注意：遇到类似例 2 这样的问题可以考虑先画出条形磁铁附近的磁感线求解。

双圆环分析

思路：先根据已知圆环的电流方向，判断出该圆环内部和外部的磁感应强度方向，然后再通过磁通量叉进和点出相互抵消，判断出另一个圆环的所在磁场和磁通量的方向，再通过已知电流的圆环电流的改变，判断出另一个圆环感应磁场和感应电流的变化。

注意：此时在判断出圆环感应磁场的方向和感应电流的方向后，不能直接通过他「增缩减扩」来判断线圈运动的趋势，此时往往不能用该规律解题，一般要用左手定则来判断安培力的大小从而判断线圈运动的趋势。

例题

例 1：如图，$A、B$ 两个同轴线圈在同一平面，$A$ 线圈通有顺时针方向逐渐增加的电流 $I_1$，则穿过 $B$ 线圈引起感应电流的磁通量 $\Phi$ 的方向和 $B$ 线圈产生的感应电流 $I_2$ 的方向分别是什么？

求解：

对 $A$ 线圈根据右手螺旋定则可知，线圈内部的磁场是叉进的，线圈外部是点出的。那么线圈 $B$ 所在的磁场是点出的，线圈 $B$ 的磁通量是叉进的（线圈 $B$ 内部叉进的数量要多于点出的数量）。由于题目问的是「引起感应电流的磁通量」所以问的是原磁场的磁通量方向，应该是叉进的。

那么当 $A$ 线圈的电流增加时，线圈 $B$ 内部叉进的增加的会比点出的多，整体上呈现叉进增多的趋势，那么线圈 $B$ 会感应出点出的磁场来阻碍这种趋势，即感应磁场是点出的，根据右手定则可判断出 $B$ 线圈产生的感应电流是逆时针的。

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例 2：如图所示，在同一平面内有 $A、B$ 两闭合金属圆环，圆环 $A$ 通有顺时针方向的电流。若圆环 $A$ 中的电流突然增大，关于圆环 $B$，问将会产生哪个方向（顺时针 / 逆时针）的感应电流？圆环 $B$ 有扩张还是收缩的趋势？

求解：

同理例 1 分析可知 $B$ 圆环会产生逆时针的感应电流，且感应磁场的方向是点出的，那么此时根据左手定则可知圆环 $B$ 受到的安培力向圆外，所以有向外扩张的趋势。

注意：这道题的第二问与「增缩减扩」矛盾，不能用这个特征来判断。

说明：

利用楞次定律判断圆环 $B$ 的趋势还有两种感性理解的方式：

• 圆环 $A$ 电流增加后，整体上呈现叉进增多的趋势，那么圆环 $B$ 要阻碍这个趋势，即阻碍叉进增多，即可以使得点出增多，那么要使得点出增多则圆环有扩张的趋势。
• 圆环 $A$ 和 $B$ 二者电流方向相反，可以用「同种方向的电流相互吸引，异种方向的电流相互排斥」来判断。

与牛二 & 能量结合

与牛二结合

例：如图所示，水平放置的绝缘桌面上有一个金属圆环，圆心的正上方有一个竖直的条形磁铁，把条形磁铁水平向右移动时，金属圆环始终保持静止，则下列说法不正确的是（）

A. 金属圆环相对桌面有向右的运动趋势

B. 金属圆环对桌面的压力小于其自身重力

C. 金属圆环有扩张的趋势

D. 金属圆环受到水平向右的安培力

求解：

条形磁铁向右运动时，其穿过圆环的磁通量有减少的趋势，那么为了阻碍这种趋势，金属圆环相对桌面有向右运动的趋势。A 正确。

条形磁铁向右运动时，为了阻碍磁通量减小的趋势，金属圆环除了可以向右运动，还可以有向上运动的趋势来增大磁通量，所以圆环对桌面压力小于其自身重力。B 正确。

为了阻碍磁通量减小，金属圆环可以有扩张的趋势来增大磁通量穿过。C 正确。

由于磁通量同时又向右和向左的运动趋势，所以其在水平向右方向和竖直向上的方向上都具有力，根据力的合成可知圆环受到斜向上的安培力。D 错误。

说明：楞次定律与力结合的相关题目，往往需要借助物体运动的趋势来判断所受安培力合力的方向。

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与能量结合

例：将一个闭合金属环用绝缘丝线悬于 $O$ 点，如图所示。虚线左边有垂直于纸面向外的匀强磁场，而右边没有磁场。将小球拉到图示位置释放后，（）

A. 金属环的摆动不会停下来，一直做等幅运动

B. 金属环的摆动幅度越来越小，小到某一数值后做等幅运动

C. 金属环的摆动最终会停下来

D. 金属环最终停止在初始释放位置

求解：

若不存在匀强磁场，则根据机械能守恒定律，金属环会一直做等幅摆动且不停止。

存在匀强磁场后，小球摆动到开始经过最低点时，磁通量发生改变，产生感应电流，所以有电能产生，根据能量守恒，机械能转化为电能，所以机械能损耗。金属环产生电流，由于金属环有电阻，根据 $Q = I^2 Rt$ 有热能产生，即电能转化为热能。那么金属环摆动幅度会逐渐减小，最终停止。故选 C。

说明：楞次定律与能量结合的题目中，往往题目通过磁通量的改变改变电能，从而改变机械能。

拓展：

• 若虚线右侧也有与左侧同样的匀强磁场，则由于金属环的磁通量始终不发生改变，不产生感应电流，机械能始终守恒，金属环会一直做等幅运动。
• 若虚线右侧存在与左侧磁感应强度相同，且右边存在一条直线 $l$，$l$ 下侧有磁场，上侧没有，那么金属环摆动到经过 $l$ 时，会产生感应电流，机械能转化成电能，机械能损失，金属环最终停下。
• 若虚线右侧也存在磁场，且整个大的磁场中中间部分比两侧磁感应强度更强，那么金属环摆动到磁场中间会产生感应电流，机械能损失，金属环最终停下。

电磁感应定律

内容

基础知识

定义：电路中感应电动势的大小，与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，这就是电磁感应定律。

公式表示：

其中表达式中的电动势单位是 $\pu V$，磁通量的单位是 $\pu{wb}$，时间的单位是 $\pu S$。

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闭合回路通常是一个匝数为 $n$ 的线圈，而且穿过线圈的磁通量都是相同的。可看作是 $n$ 个单个线圈串联而成，那么有：

此时 $E_感$ 即为闭合电路的感应电动势。

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感应电动势的分类：

• 动生电动势：通过运动改变磁通量，一般情况下面积 $S$ 改变（但磁感应强度 $B$ 不一定不变）。动生电动势又分为平动和转动两种情况，前者计算公式为 $E_感 = BLv$，后者为 $E_感 = \dfrac 1 2 BL^2 \omega$。
• 感生电动势：一般面积 $S$ 不改变，通过改变磁感应强度 $B$ 来改变磁通量。感生电动势的计算公式为 $E_感 = n \cdot \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t} = n \cdot \dfrac{S \cdot \Delta B}{\Delta t}$。

注意：当面积 $S$ 不改变（所有东西不动时），磁感应强度 $B$ 改变时，电动势才是感生电动势。若只有 $B$ 改变则不是感生电动势。

例题

例 1：磁感应强度 $B = \pu{0.8 T}$ 的匀强电场中一个面积 $S = \pu{0.5 m^2}$ 的矩形线圈垂直于磁场放置，线圈共 $50$ 匝，线圈电阻为 $\pu{2 \Omega}$。

1. 求磁场方向与线圈平面垂直时，穿过线圈的磁通量大小。
2. 若线圈在 $\pu{0.5 s}$ 内绕中点连线 $OO'$ 转过 $60^\circ$，求这段时间内的平均电动势和穿过导线横截面积的电荷量。

求解：

对于第一问：

由题意可得：

对于第二问：

绕中点转过 $60^\circ$ 后 ，线圈在垂直磁场方向上的面积变为原来的 $\dfrac 1 2$，所以

此时穿过导线横截面积的电荷量为

注意：题目中所求的「平均电动势」实际上与电磁感应定律中的感应电动势概念完全一致，所以可以直接求解。

感生电动势

本质

原磁场磁通量 $B$ 改变时，会在空间内激发一种感应（环形）电场，如果此刻空间存在闭合导体，导体中的自由电荷就会在这种电场的作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中产生了感应电动势。由于电动势表示的是非静电力做功的本领，在这种情况下，所谓的非静电力就是这种感生电场对自由电荷的作用。

解题思路

求出感应电动势 $E$ $\to$ 判断出题目中等效电源的位置 $\to$ 判断出等效电源的正负极 $\to$ 根据恒定电流中的相关知识判断出 $E$ 与 $U$ 的关系。

例题

例 1：如图所示，一个圆形线圈的匝数为 $N$，半径为 $a$，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中。在 $\Delta t$ 时间内，磁感应强度的方向不变，大小由 $B$ 均匀地增大到 $2B$。在此过程中，线圈中产生的感应电动势是多少？

求解：

根据公式可知

可以根据解题思路中的步骤判断出等效电源：

由于只有圆形线圈的左半边有磁通量，所以可以把左半边看成等效电源。由于原磁场是叉进的，那么感应磁场是点出的。根据右手定则可知电流流向为逆时针，那么可以将右侧无磁通量的地方视为电源外部，根据电源外部从电源正极流向负极可得到电源正负极方向，如下图所示。

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例 2：如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻是细金属环电阻的二分之一，磁场垂直穿过粗金属环所在区域，当磁感应强度随时间均匀变化时，在粗环内产生的感应电动势为 $E$，下列说法正确的是（）

A. $U_{ab} = \dfrac 1 3 E$

B. $U_{ab} = \dfrac 2 3 E$

C. $a$ 点电势一定高于 $b$ 点电势

D. 粗环所受安培力大小不变

求解：

由于粗金属环完全在磁场中，所以粗金属环整个部分可以看成一个等效电源。由于原磁场是叉进的，所以感应磁场是点出的，那么根据右手定则可知电流方向为顺时针，那么在等效磁场外部，电流从 $b$ 点流出，从 $a$ 点流入，那么 $b$ 点可以看作正极，$a$ 点是负极。所以 $U_{ab}$ 就是路端电压，即电压。

设粗金属环的电阻是 $R$，则细金属环的电阻是 $2R$，所以有

故 A 错误，B 正确。

由于电源正极电势高于电源负极，所以 C 错误。

由于磁感应强度 $B$ 随着时间均匀变化，即 $B$ 的变化率不变，因为 $S$ 不变，所以磁通量变化率不变，根据电磁感应定律可知感应电动势不变，根据感应电流 $I = \dfrac{E}{R}$ 可知 $I$ 不变。再根据安培力 $F = BIL$ 可知，$B$ 改变，$I$ 和 $L$ 不变，所以所受安培力大小改变。D 错误。

注意：有时候题目会告诉 $B-t$ 曲线图，若 $B-t$ 曲线图本身是线性的，则说明 $B$ 的变化率不变，那么再感生电动势中，说明磁通量的变化率不变，从而说明感应电动势不变，再根据感应电动势不变判断题目即可。

动生电动势

本质

动生电动势的产生是由于洛伦兹力的作用，所谓的非静电力就是洛伦兹力。

如下图所示，一根金属棒内部有若干正电荷，金属棒向右以速度 $v$ 做匀速直线运动，那么其内部的正电荷会随着金属棒向右运动，所以根据左手定则其所受到的洛伦兹力竖直向上，所以正电荷会同时向上运动。随着运动的进行，正电荷整体向右上方移动，而其所受到的洛伦兹力整体垂直于运动方向斜向左上方。

若金属棒作为电源，两头接上导线，则金属棒上方为正极，下方为负极。洛伦兹力的作用是连续不断地将流回到电源负极的正电荷从负极送回到正极，从而产生了动生电动势。

动生电动势虽然是由于洛伦兹力产生的，但洛伦兹力不做功。

总结：感生电动势是由于环形电场的作用，而动生电动势是由于洛伦兹力的作用。

基础知识

产生条件

切割磁感线运动。

判断是否存在感应电动势的方法：

根据感应电动势的计算公式 $E_感 = \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t}$，实际上只需要判断 $\Phi$ 是否改变。由于感应电动势分为动生和感生，那么实际上可以有以下步骤：

1. 先判断是否存在动生电动势，即判断是否有导体切割磁感线运动：若有，则说明存在动生电动势；反之，去 2。
2. 判断是否存在感生电动势，即判断此时是否只有磁通量 $B$ 改变。

对「导体切割磁感线」的理解：

如上四幅图所示，B 和 D 由于导线和磁感线相交，且导线能做切割磁感线运动，所以一定切割磁感线。

A 和 C 由于导体和磁感线在同一平面内，二者只能在平面内平动，且磁感线没有横截面积，所以一定不切割磁感线。

判断「导线是否切割磁感线」的一般方法：

1. 考虑位置：判断导线和磁感线是否相交，若相交，则可能切割；若平行，则一定不切割。
2. 考虑运动：判断导线的运动方向是否能「切割」磁感线。

判断

一般情况下可使用楞次定律，即感应电流的方向总是要阻碍原磁通量 $\Phi$ 的变化判断出感应电流的方向，从而进一步判断出正负极（电势高低）。当不形成闭合回路（只有部分导线切割磁感线运动）时，往往不形成感应电流，无法通过楞次定律判断电流，可根据右手定则判断感应电流的方向。

右手定则判断步骤：

1. 磁感线穿过掌心。
2. 拇指指向速度方向。
3. 则四指方向即为（电源内部）电流方向，所以四指方向为正极方向，电势 $\varphi$ 更高。

如下图所示：

注意：一般情况下依然优先选择楞次定律，右手定则判断电势高低容易和前面磁场中的右手定则弄混，所以不太建议。

大小计算

公式：

其中 $B,L,v$ 两两垂直，$L$ 为有效长度。

推导：

以下图为例，其中 $x$ 表示导体棒向右平移的距离。

对于有效长度 $L$ 的理解：

动生电动势中有效长度的含义是导体起点到终点的连线段在垂直于速度 $v$ 的方向上投影的长度。如下图所示，则 $\dfrac 3 4$ 扇形导体的有效长度为 $r$。

例：如图所示，平行金属导轨间的距离为 $d$，左端跨接一个电阻 $R$，匀强磁场的磁感应强度为 $B$，方向垂直于平行导轨所在的平面。一根金属棒 $ab$ 与导轨成 $\theta$ 角放置，金属棒与导轨的电阻不计。当金属棒沿轨道的方向滑行时，通过电阻 $R$ 的电流是多少？

求解：

首先根据定义导体的有效长度 $L$ 应该恰好为 $d$，那么通过电阻 $R$ 的电流为：

拓展：

此时的安培力为

$$F_安 = BIL = B \cdot \dfrac{Bdv}{R} \cdot \dfrac{d}{\sin \theta}$$

由于求的是导体所受的安培力，所以其应该与导体内部的电流方向和磁感应强度方向垂直，即与导体在同一平面内但垂直于导体。

根据「来拒去留」可知安培力要阻碍导体向右移动，所以安培力垂直于导体向上，如下图所示。

动生切割

解题思路：求出感应电动势 $E$ $\to$ 根据切割磁感线判断出题目中等效电源的位置 $\to$ 判断出等效电源的正负极 $\to$ 根据恒定电流中的相关知识判断出 $E$ 与 $U$ 的关系。

例：如图所示，在磁感应强度大小为 $B$，方向垂直纸面向里的匀强磁场中金属杆 $MN$ 在平行金属导轨上以速度 $v$ 向右匀速滑动。金属导轨间距为 $L$，电阻不计，金属杆 $MN$ 电阻为 $2R$、长度为 $L$，$ab$ 间电阻为 $R$，$MN$ 两点间的电势差为 $U$，则通过电阻 $R$ 的电流方向及 $U$ 的大小是多少？

求解：

首先由于 $MN$ 切割磁感线，所以 $MN$ 是等效电源，此时感生电动势 $E = BLv$。

根据右手定则或楞次定律可判断出电流流向是从 $a \to b$，$M$ 是正极，$N$ 是负极。

那么 $MN$ 两点间的电势差 $U$ 就是外电压，或路端电压，相当于 $ab$ 两端的电压。

所以 $U = \dfrac 1 3 E = \dfrac{BLv}{3}$。

注意：$MN$ 两点间的电势差（电压）并不是 $MN$ 两端的电压，而是路端电压（外电压）。

拓展：

上面四幅图中，设正方形闭合电阻每个边的电阻为 $R$，感应电动势为 $E$。由于标红的边切割磁感线，所以标红的电阻是等效电源。那么 A 中 $ab$ 两点之间的电势差就相当于外电路中 $ab$ 的电压，即 $\dfrac 1 4 E$；B 由于 $ab$ 就是等效电源，所以 $ab$ 两点之间的电势差是外电压 / 路端电压，所以是 $\dfrac 3 4 E$；CD 同理 A，所以 $ab$ 两点之间的电势差是 $\dfrac 1 4 E$。

旋转切割

定义：导体绕着某一点转动时切割磁感线，叫做旋转切割。如下图所示。

公式：

其中 $\omega$ 表示导体棒的角速度，$L$ 表示导体棒旋转的半径，即做切割的导体部分的长度，如果做切割的部分是曲线，则此时 $L$ 是做切割部分首尾相连的线段长。

推导：

设整个导体棒上的平均线速度为 $\overline v$，导体棒远离旋转中心的一端速度为 $v$，那么有：

方向：一般使用右手螺旋定则判断。

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典型情况：

如上图所示，一个扇形线框，绕着图中的圆心做旋转切割，那么由于是闭合电路，但磁通量不变，所以没有电流，但由于导体切割磁感线，所以有感应电动势。所以这是一种「有感应电动势但无感应电流」的特殊情况，需要注意一般不能用是否有感应电动势判断是否存在感应电流。

如上图所示，一个圆盘，其上有匀强磁场穿过圆盘，圆盘以 $\omega$ 的角速度转动，圆盘的圆心处和一端分别接入两根导线，与一个电阻相连。那么此时虽然有闭合电路磁通量没有改变，但依然有电流。考虑画出导体上一根线，将研究对象从一个平面转化成一根导线，那么导线切割磁感线，所以有感应电动势。那么相当于将圆盘作为等效电源接入电路中，所以电路中存在电流，且此时根据右手定则可知电流流向是 $a \to b$。

注意：

• 这个例子中如果磁通量改变，那么产生的应该是圆盘周围的环形电流，而实际上是相当于把圆盘作为电源接入电路中产生的电流，这是一种直接通过感应电流产生的条件来判断是否有感应电流会出错的特殊情况。
• 一般如果旋转对象（导体）是一个平面，则考虑画出其平面上的一条线，从而把研究对象从一个平面转化为研究一根导线。

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例题

例 1：如图所示，导体棒 $AB$ 的长为 $2R$，绕 $O$ 点以角速度 $\omega$ 匀速转动，$OB$ 为 $R$，且 $O、B、A$ 三点在一条直线上，有一磁感应强度为 $B$ 的匀强磁场充满转动平面且与转动平面垂直，那么 $AB$ 两端的电势差是多少？

求解：

求 $AB$ 两端的电势差 $E_{AB}$，根据题意有：

注意：这里不能直接使用公式 $E = \dfrac 1 2 B L^2 \omega$，然后将 $L$ 用 $2R$ 代入计算。因为这里 $AB$ 并不能认为是导体旋转的半径，根据「角速度一定，旋转半径影响速度」，当 $AB$ 为旋转半径时角速度就不是 $\omega$ 了。$\omega$ 角速度对应的半径是 $3R$。

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例 2：如图所示，虚线上方空间有垂直线框平面的匀强磁场，直角扇形导线框绕垂直于线框平面的轴 $O$ 以角速度 $\omega$ 匀速转动。设线框中感应电流方向以逆时针为正，那么在图中能正确描述线框从图中所示位置开始转动一周的过程中线框内感应电流随时间变化情况的是（）

A.

B.

C.

D.

求解：

起初，扇形导线框不切割磁场，不在磁场内，不会产生感应电流。

当运动了四分之一圆后，导线框开始进入磁场，产生感应电流，此时根据 $E = B L^2 \omega$ 可知 $E$ 不变，那么根据欧姆定律 $I = \dfrac E R$ 可知 $I$ 不变。根据右手定则 / 楞次定律可知此时电流方向为逆时针方向。

运动了四分之二圆后，导线框完全进入磁场，此时磁通量不变，没有感应电流。

运动了四分之三圆后，导线框开始撤出磁场，产生感应电流，且电流不变，此时电流方向为顺时针方向。

故选 A。

总结：

• 判断感应电流的大小变化时，可以首先根据 $E = BL^2 \omega$ 判断 $E$ 的变化，再根据欧姆定律判断 $I$ 的变化。
• 一般情况下若感应磁场是叉进的，则此时电流方向为顺时针；感应磁场是点出的，此时电流方向为逆时针。

关于电压表有无示数的问题

思路：判断电压表有无示数，只需要判断表头有无电流通过，若没有电流通过，则无示数。

例：如图所示，一接有电压表的矩形闭合线圈 $ABCD$ 向右匀速穿过匀强磁场的过程中，判断线圈中是否有感应电动势，是否有感应电流，$AB$ 边两端是否有电压，电压表有无示数。

求解：

判断感应电流：由于有闭合电路但无磁通量改变，所以无感应电流。

判断感应电动势：由于导体切割磁感线，所以有感应电动势。

A 错误，B 正确。

判断电压：由于存在感应电动势，所以 $AB$ 两端有电势差，所以存在电压。

判断电压表：由于没有感应电流，所以电压表表头中无电流通过，所以电压表无示数。

C 错误，D 正确。

求电荷量相关问题

电荷量公式：

推导：

可有以下三个公式推导得到：

---

例题：如图所示，固定平行导轨间有磁感应强度大小为 $B$、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场，导轨间距 为 $l$ 且足够长，左端接阻值为 $R$ 的定值电阻，导轨电阻不计。现有一长为 $2l$ 的金属棒垂直放在导轨上，在金属棒以 $O$ 点为轴沿顺时针方向以角速度 $\omega$ 转过 $60^\circ$ 的过程中（金属棒始终与导轨接触良好，电阻不计），通过定值电阻的电荷量为多少？

求解：

根据电荷量的计算公式可知：

二次感应

产生条件

首先考虑一次感应的产生条件，即磁通量 $\Phi$ 均匀变化 $\xRightarrow{E~不变}$ 感应电流 $I$ 是定值 $\xRightarrow{电生磁(毕萨定律)}$ 感应磁场恒定 $\implies$ 无二次电流。

这里要使得 $E$ 均匀变化（磁通量均匀变化），有两种方式：让磁感应强度 $B$ 均匀变化和让面积 $S$ 均匀变化。前者等价于公式 $B = B_0 + kt$，后者等价于让导体匀速运动。

那么二次感应电流的产生条件为 磁通量 $\Phi$ 不均匀变化 $\implies$ 感应电流 $I$ 不是定值 $\implies$ 感应磁场不恒定 $\implies$ 产生二次感应电流。

例题

例 1：如图所示，在方向垂直纸面向里的匀强磁场中，一电阻不计的 U 形金属导轨与纸面平行，金属棒 $MN$ 置于导轨上并与导轨构成闭合回路，一圆环形金属线圈 $P$ 置于闭合回路中并与 U 形导轨共面，下列说法正确的是（）

A. 当 $P$ 向右匀速运动时，$P$ 中有感应电流

B. 当 $P$ 向右加速运动时，$P$ 中有感应电流

C. 当 $MN$ 向右匀速运动时，$P$ 中有感应电流

D. 当 $MN$ 向右加速运动时，$P$ 中有感应电流

求解：

对于 AB 选项，由于 $P$ 向右运动时，磁通量不改变，所以无感应电流。AB 错误。

对于 C 选项，当 $MN$ 向右匀速运动时，U 形金属导轨和 $MN$ 构成的闭合回路会产生感应电动势，根据 $E = BLv$ 可知 $E$ 不变，所以闭合回路的感应电流 $I$ 不变，那么其产生的磁场恒定。题目中涉及到两个磁场，一个是垂直纸面向内的匀强磁场，一个是金属导轨和 $MN$ 构成的闭合回路产生的磁场，由于两个磁场均恒定，所以磁通量不改变，所以 $P$ 中无感应电流。C 错误。

对于 D 选项，当 $MN$ 向右加速运动时，根据 $E = BLv$ 可知闭合回路产生的感应电动势改变，所以感应电流 $I$ 改变，那么磁场不恒定，所以磁通量改变，所以 $P$ 中有感应电流。D 正确。

注意：本题涉及到两个磁场，一个是闭合回路产生的磁场，一个是题目所给的原磁场。

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例 2：在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈 $M$ 相接，如图所示，导轨上放一根导线 $ab$，磁感线垂直于导轨所在平面。欲使 $M$ 所包围的小闭合线圈 $N$ 中产生顺时针方向的感应电流，则导线 $ab$ 的运动情况可能是（）

A. 匀速向右运动

B. 加速向右运动

C. 减速向右运动

D. 减速向左运动

求解：

首先根据例 1 分析逻辑同理可排除 A 选项。

要使得 $N$ 中产生顺时针方向的感应电流，那么线圈 $N$ 应该会感应出叉进的磁场。那么有两种情况：$N$ 所处的磁场要么叉进减少要么点出增多。

当导线 $ab$ 向右运动时：此时导线 $ab$ 所处的磁场点出增多，那么导线 $ab$ 会感应出叉进的磁场，即线圈 $N$ 所处的磁场是叉进的。那么要使得线圈 $N$ 感应出顺时针的感应电流，只能让线圈 $MN$ 感应出的磁场叉进减少，即导线 $ab$ 感应出的磁场叉进减少，根据电生磁可知要使得导线 $ab$ 中的感应电流减小，根据欧姆定律 $I = \dfrac E R$ 可知要使得感生 $E$ 减小，根据 $E = BLv$ 可知要使得 $ab$ 运动速度减小。即此时导线 $ab$ 做减速向右运动。

当导线 $ab$ 向左运动时：此时导线 $ab$ 所处的磁场点出减少，那么导线 $ab$ 会感应出点出的磁场，即线圈 $N$ 所处的磁场是点出的。那么同理向右运动的情况，要让导线 $ab$ 感应出的磁场点出增多，即要让感应电流增大，所以要让感生电动势 $E$ 增大，即让 $ab$ 运动速度增大。所以此时导体 $ab$ 做加速向左运动。

综上可知，导体 $ab$ 的运动情况是减速向右运动或加速向左运动。故选 C。

总结：

此题中涉及到的感应电流和磁场较多，需要理清逻辑，不要弄混。这道题如果从导线 $ab$ 的角度考虑，逻辑应该是：

• $ab$ 向左 / 右运动 $\implies$ 根据原磁场方向可知感应出叉进的磁场 $\implies$ $N$ 所处的磁场是叉进 / 点出的。
• $ab$ 加速 / 减速运动 $\implies$ 其感应出的磁场叉进 / 点出 增多 / 减少 $\implies$ $N$ 所处的磁场叉进 / 点出 增多 / 减少 $\implies$ 线圈 $N$ 感应出叉进 / 点出的磁场 $\implies$ 判断 $N$ 线圈的电流流向。

实际上本题同时涉及三个磁场：题目所给定的垂直于导轨所在平面的原磁场，导轨 $ab$ 和线圈 $M$ 由于运动产生的感应磁场（$N$ 所处的磁场），线圈 $N$ 由于导轨运动产生的感应磁场；涉及两个感应电流：导轨 $ab$ 和线圈 $M$ 由于运动产生的感应电流，线圈 $N$ 产生的感应电流。

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例 3：如图所示，水平放置的两条光滑轨道上有可自由移动的金属棒 $PQ$、$MN$，当 $PQ$ 在外力的作用下向右匀加速运动时，$MN$ 所做的运动情况可能是（）

A. 向右加速运动

B. 向右匀加速运动

C. 向左加速运动

D. 向左匀加速运动

求解：

当 $PQ$ 向右匀加速运动 $\xRightarrow{楞次定律、E = BLv}$ 感应出点出的磁场，感应电动势均匀增加 $\xRightarrow{右手定则、欧姆定律}$ 右侧闭合电路（线圈）感应电流是逆时针，且均匀增加 $\xRightarrow{电生磁(毕萨定律)}$ 矩形铁芯中产生逆时针均匀增加的磁场 $\implies$ 左侧线圈感应出顺时针均匀增加的磁场 $\xRightarrow{右手定则、电磁感应定律、欧姆定律}$ 感应电动势恒定，左侧闭合电路感应电流是逆时针，且恒定 $\xRightarrow{左手定则}$ $MN$ 在磁场中受到的安培力水平向右，所以起初向右匀加速运动。

当 $MN$ 向右运动时，又一次做切割磁感线运动。此时根据右手定则产生的感应电流是顺时针，和之前逆时针的电流相互抵消，所以电流整体减小，根据 $F_安 = BIL$ 可知安培力减小，所以加速度减小。即 $MN$ 向右做加速度减小的加速运动。

故选 A。

注意：

这道题我自己做的时候犯了一个错误，下面是我的思路逻辑：

当 $PQ$ 向右匀加速运动 $\xRightarrow{楞次定律、E = BLv}$ 感应出点出的磁场，感应电动势均匀增加 $\xRightarrow{右手定则、欧姆定律}$ 右侧闭合电路（线圈）感应电流是逆时针，且均匀增加 $\xRightarrow{电生磁(毕萨定律)}$ 矩形铁芯中产生逆时针均匀增加的磁场 $\implies$ 左侧线圈感应出顺时针均匀增加的磁场 $\xRightarrow{右手定则、电磁感应定律、欧姆定律}$ 感应电动势恒定，左侧闭合电路感应电流是逆时针，且恒定 $\xRightarrow{电生磁}$ 左侧闭合回路会感应出点出的磁场 $\xRightarrow{楞次定律}$ $MN$ 阻碍这个变化，会向左运动。

事实上这个思路犯了一个「因果颠倒」的错误，考虑将左边闭合回路分为两部分，即线圈和左侧 $MN$ 回路。这道题中线圈中的感应电流是因，回路的感应电流是果，所以不能通过回路的磁通量变化来确定物体的运动。其实楞次定律也主要用于判断感应电流的变化，而非物体运动。

除此之外，$MN$ 向右运动时做切割磁感线运动从而对后续电流变化和物体运动的影响也容易忽略，需要整体分析题目，分步讨论。

总结：

• 线圈运动的方向决定了其感应出的电场中磁感线方向，可以用楞次定律判断。
• 线圈是否做匀速运动决定了是否会产生感应电流，往往做匀速运动时，由于磁通量不改变，不会产生感应电流；反之，则产生感应电流。
• 线圈加速还是减速运动决定了感应电流的流向。
• 线圈做匀变速还是变变速运动（即加速度是否改变）决定了感应电流是否是恒定的。

图像问题

基础知识

目的：学会分析闭合电路中电流的大小。

前置知识：

1. 产生感应电流的条件。
2. 判断感应电动势的方向及等效长度。
3. 动生切割中 $E$ 与 $U$ 的区别与联系。

题型：

如下图所示，一边长为 $L$ 正方形导线框从左边以初速度 $v$ 向右做匀速运动进入单一方向上的匀强磁场，并离开磁场，在整个过程中，下图中三种状态（进入状态、中间状态和离开状态）的等效电源分别是哪一段？产生感应电流的有效长度是哪一段？规定顺时针方向为正方向，画出电流随位移的关系图像，以及 $bc$ 电压随位移变化的图像。

求解：

进入状态：由于 $bc$ 切割磁感线，所以等效电源是 $bc$ 段。首先描出导体处于磁场中的部分，并首尾相连，可知产生感应电流的有效长度为 $L$。

中间状态：由于 $ad$ 和 $bc$ 切割磁感线，所以等效电源是 $ad$ 和 $bc$ 段。此时由于闭合电路在匀强磁场中，磁通量不改变，所以有效长度为 $0$，即不产生感应电流。

离开状态：由于 $ad$ 切割磁感线，所以等效电源是 $ad$ 段。描出导体处于磁场中的部分首尾相连，此时感应电流的有效长度为 $L$。

进入状态时，导线框会感应出点出的磁场，所以产生逆时针方向的电流；中间状态无感应电流；离开状态会产生顺时针方向的感应电流。

由于规定顺时针方向为正方向，所以电流随位移的关系图像如下图所示：

设电源电动势为 $E$，则 $E = BLv$，所以 $E$ 始终不变，那么只需要判断 $bc$ 段在三种状态下两端电势差的变化。

进入状态中 $bc$ 是等效电源，所以 $bc$ 两端的电势差是外电压（路端电压），所以 $U = \dfrac 3 4 E$；中间状态中，存在两个电源，且 $bc$ 和 $ad$ 并联，此时闭合电路中无电流，所以根据 $E = U + Ir$ 可知，此时 $I = 0$，那么 $E = U$，即 $U_{bc} = U_{ad} = E$；离开状态中，$bc$ 处于外电路中，那么 $U = \dfrac 1 4 E$。

$bc$ 电压随位移变化的图像如图所示：

例题

例 1：有两个匀强磁场区域，宽度都为 $L$，磁感应强度大小都是 $B$，方向如图所示。由均匀导线制成单匝正方形闭合线框，边长为 $L$。闭合线框从左向右匀速穿过与线框平面垂直的两个匀强磁场区域，规定感应电流逆时针方向为正方向，则线框从位置 I 运动到位置 II 的过程中感应电流 $i$ 随着时间 $t$ 的变化图象应该是什么？

求解：

设线框匀速运动时的速度为 $v$。

线框进入第一个磁场时，描出在单一磁场中的部分并首尾相连可知等效长度为 $L$，此时线框感应出点出的磁场，感应电流方向为逆时针，大小为 $I_1 = \dfrac E R = \dfrac{BLv}{R}$。

线圈到两磁场交界处时，此时线圈所在的磁场不是单一方向上的磁场，那么考虑将其拆分为左右两个单一方向上的磁场处理。此时左边磁场是叉进的，在左边磁场的导体等效长度为 $L$，感应出的电流为顺时针；右边磁场是点出的，在右边磁场的导体等效长度为 $L$，感应出的电流为顺时针。由于两边的电流在整个导体中是相互促进（同向）的，所以可以认为在此时整个导体中的感应电流是二者产生的感应电流之和，根据 $E = BLv$ 和 $I = \dfrac E R$，二者产生的感应电流相同，所以此时感应电流 $I_2 = \dfrac{2BLv}{R} = 2I_1$，方向为顺时针。

线圈离开第二个磁场时，同理可得到此时感应电流的方向为逆时针，大小为 $I_3 = I_1$。

综合上述，可绘制出感应电流 $i$ 随着时间 $t$ 变化的图像如下图所示：

总结：

若导线框处在非单一方向上的匀强磁场，可以考虑将磁场拆分成几个不同的部分，每个部分都是单一方向上的匀强磁场，然后判断每个独立的单一方向磁场使得导线框产生的感应电流方向。然后放到整个导线框中判断每个单一方向上的匀强磁场产生的电流是相互促进还是相互排斥的（即同向还是异向），若同向，则最终导线框的感应电流应该是各个单一方向上的匀强磁场的感应电流之和；若异向，则最终导线框的感应电流是各个单一方向上的匀强磁场感应电流之差。

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例 2：如图所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在 $x$ 轴上且长为 $2L$，高为 $L$，纸面内一边长为 $L$ 的正方形导线框沿 $x$ 轴正方向做匀速直线运动穿过匀强磁场区域，在 $t = 0$ 时刻恰好位于如图所示的位置，以顺时针方向为导线框中电流的方向，下面四幅图中能够正确表示导线框中的电流与位移 $l-x$ 关系的是（）

A.

B.

C.

D.

求解：

本题较为复杂，考虑选择特殊点利用排除法判断。

当导线框开始进入磁场时，会感应出叉进的磁场，产生顺时针的感应电流，由于顺时针为正方向，所以 B 错误。

对比 ACD 发现 D 选项结束时刻与 AC 不同，那么考虑分析离开磁场前的时刻。离开磁场前，导体产生电流的有效长度达到最小，所以此时电动势最小，即电流最小，那么 D 错误。

AC 的区别是 $L$ 到 $2L$ 中间的一段，考虑分析这一段。考虑画出这个过程中的一个位移点：

该位移点相比位移恰好为 $L$ 的时候，其处在磁场中的面积左边少了红色部分，右边多了蓝色部分，整体上增加，所以 $S$ 改变，那么磁通量改变，闭合电路中有感应电流，所以 C 错误。故选 A。

注意：在此类选择题中，要擅长利用特殊点特殊位置排除法求解，往往能更快解题。

易错：注意在移动过程中导体有效长度的改变，有效长度实际上是导体处于磁场的部分首尾相连在垂直于速度平面上投影的线段长，而非导体处于磁场的部分中围成的磁场的长度。

拓展：

如下图所示，一个三角形导体框匀速向右运动，穿过磁场。

当其运动到如下位置时，此时导体在磁场中产生感应电流的有效长度如下图所示：

即左侧一个红色线段和右侧两个蓝色线段，而此时根据右手定则三处的电流流向都是向下的，那么在整个导体中，两边蓝色的电流同向，左边红色的电流与他们俩逆向，所以本质上的等效感应电流是左侧红色减去右侧两个蓝色。

基础题型

找等效电源的位置

方法：

1. 动生电动势：谁切割磁感线谁就是电源，然后根据电流流向确定正负极即可。
2. 感生电动势：先通过楞次定律判断出感应电流在导体中的流向，然后只要找到一个位置放置电源从而能使得按照这种方式接入电源后电流流向与用楞次定律判断的感应电流流向相同即可。

基础计算

主要公式：

一般题目中求解某个时刻的上述物理量，除此之外，还会求发热量和电荷量。这两个物理量在导体匀速运动时可以直接利用 $Q = I^2 R t$ 和 $q = I \cdot \Delta t$ 求解，但在导体非匀速运动时，这两个物理量不能直接求解，需要通过做功和上面「求电荷量相关问题」中电荷量的公式求解，将在之后做介绍。

力与运动

无电源

最值速度基础题型

主要公式：

推导：

适用条件：动生切割。

解题思路：根据牛二列表达式。

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题型：如图所示，电阻不计、间距为 $l$ 得光滑平行金属导轨，水平放置于磁感应强度 $B$，方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接一定值电阻 $R$，质量为 $m$、电阻为 $r$ 的金属棒 $MN$ 置于导轨上，始终垂直导轨且接触良好。当 $MN$ 受到垂直于棒的水平恒力 $F$ 拉动时，由静止开始运动，试分析 $MN$ 的运动情况，并求出其最值速度。

求解：

对初始状态的金属棒 $MN$ 受力分析可知，其只受到水平向右的外力 $F$，不受到安培力。当开始运动时，切割磁感线，产生感应电流，开始受到安培力 $F_安$，根据安培力要阻碍磁通量变化或左手定则可知安培力一定是水平向左的。那么此时 $F > F_安$，所受合外力方向水平向右，速度方向水平向右，$MN$ 做加速运动。根据牛二有：

那么随着 $v$ 不断增大，$a$ 逐渐减小。所以 $MN$ 做加速度减小的加速运动，且当 $a = 0$ 即 $F_合 = 0$ 时速度取最大值，此时

注意：

• 在具体题目中外力 $F$ 往往以各种形式的力出现，但往往都是 $F_合 = 0$ 时导体达到最大速度。
• 当叉进的磁场改成点出时，安培力方向依然不变，结论依然成立。此题的结论与磁场的方向无关，只要垂直于纸面即可。

匀强磁场竖直下落模型

题型：如下图所示，一矩形导线框从竖直平面上的匀强磁场上方某处静止释放，磁场竖直高度比导线框长宽更长。分析导线框离开匀强磁场前的运动过程。

求解：

导线框进入磁场前，只受到重力作用，所以起初做自由落体运动。

当导线框开始进入磁场后，开始切割磁感线，且根据阻碍磁通量变化可知受到的安培力竖直向上，那么此时导线框同时受到向上的安培力 $F_安$ 和向下的重力 $G$，且两个力大小关系未知，那么考虑分类讨论：

• 情况一：当 $F_安 > m \mathrm g$ 时，此时 $ma = F_安 - m \mathrm g$，导线框合外力竖直向上，加速度方向竖直向上。又由于速度方向竖直向下，所以做减速运动。根据 $F_安 = \dfrac{B^2 L^2 v}{R + r}$ 可知 $v$ 减小，那么 $F_安$ 减小，所以 $a$ 减小。所以此时做加速度减小的减速运动。
• 情况二：当 $F_安 = m \mathrm g$ 时，导线框受力平衡，做匀速直线运动。
• 情况三：当 $F_安 < m \mathrm g$ 时，此时 $ma = m \mathrm g - F_安$，导线框合外力竖直向下，加速度方向竖直向下。又由于速度方向竖直向下，所以做加速运动。根据 $F_安 = \dfrac{B^2 L^2 v}{R + r}$ 可知 $v$ 增大，那么 $F_安$ 增大，所以 $a$ 减小。所以此时做加速度减小的加速运动。

情况一和三，随着 $F_安$ 的减小 / 增大，某时刻可能会和 $m \mathrm g$ 相同，从而受力平衡，导线框做匀速直线运动。

当导线框完全进入磁场后，此时闭合回路磁通量不改变，那么无感应电流产生，根据 $F_安 = BIL$ 导线框不受到安培力，那么此时导线框只受到重力作用，在磁场内做加速度为 $\mathrm g$ 的加速运动。

当导线框开始离开磁场时，又一次切割导线，产生感应电流，所受安培力依然竖直向上，此时导线框受到向上的安培力 $F_安$ 和向下的重力 $G$。分类讨论二者大小关系：

• 若二者进入磁场时大小关系为情况一：由于导线框完全在磁场内部时不断加速，所以此时的安培力 ${F_安}’ > F_安 > m \mathrm g$，那么同理情况一导线框依然做加速度减小的减速运动。
• 若二者进入磁场时大小情况为情况二：导线框在磁场内的不断加速，使得 ${F_安}' > F_安 = m \mathrm g$，那么与进入磁场时情况一相同，导线框做加速度减小的减速运动。
• 若二者进入磁场时大小情况为情况三：此时 ${F_安}’ > F_安$，但不确定和重力 $m \mathrm g$ 的关系，考虑二次分类讨论。当 ${F_安}' > m \mathrm g$ 时做加速度减小的减速运动；当 ${F_安}’ = m \mathrm g$ 时，做匀速直线运动；当 ${F_安}' < m \mathrm g$ 时，做加速度减小的减速运动。

含电容器题型

思路：电容器不带电放入磁场中，导体切割磁感线可以看成电源，相当于导体在给电容器充电，考虑充电过程中二者物理量的变化求解。具体见下方实例。

例：如图所示，间距为 $L$ 的两根平行的光滑导轨竖直放置，导轨间接接有电容 $C$，处于垂直轨道平面的匀强磁场 $B$ 中，质量为 $m$、电阻为 $R$ 的金属杆 $ab$ 接在两导轨之间并静止释放，$ab$ 下落过程中始终保持与导轨接触良好。设导轨足够长，电阻不计，描述金属棒的运动过程。

求解：

导体开始运动时，会切割磁感线，根据楞次定律受到竖直向上的安培力 $F_安$，同时受到竖直向下的重力 $G$，且起初 $G > F_安$，那么金属棒受到竖直向下的合外力，即加速度方向竖直向下，又由于运动方向竖直向下，所以物体做加速运动，即 $v$ 增大。那么根据 $E = BLv$ 可知 金属棒产生感应电动势并逐渐增大。金属棒在电路中等效为电源，那么会给不带电的电容器充电。

根据牛二有：

这里求电流 $I$ 是利用公式 $I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$ 而非欧姆定律，是因为未知电容器电阻 $R$，不能使用欧姆定律；而使用 $I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$ 可以和电容器产生联系，从而利用电容器中的公式 $Q = C \cdot \Delta U$ 来解题。

在电容器被金属棒充电的过程中，金属棒中的电动势是不断增加的，那么在充电时电容器中的电压也同时增加，即 $\Delta E = \Delta U$。

推理最后利用了运动学公式 $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$。

那么有：

由于该式中不存在变量，所以加速度 $a$ 为定值。从而可得到金属棒做匀加速直线运动。

注意：这种情况适用于不带电的电容器，往往金属棒做匀加速直线运动，但带电的电容器没有该结论。重点是要学会推理方法。

含电源

有电源与无电源的本质不同：

• 电路中无电源的电磁感应，往往都是由于外力，导体棒开始运动，从而切割磁感线，从而受到安培力，产生感应电动势，产生感应电流。相当于由于外力做功使得电路产生了电能。
• 电路中含电源的电磁感应，电源往往是根本动力，即由于电源存在，所以存在电源电动势，电路中存在电流，所以导体棒在磁场中受到安培力的作用从而运动。相当于电路中的电能转化为机械能。

一般题型解题思路

模型：

如下图所示，含有电源的电路中有一导体棒处于垂直纸面的匀强磁场中。

那么有：含电源 $\implies$ 产生顺时针方向电流 $\implies$ 根据左手定则判断导体棒所受水平向右的安培力 $\implies$ 导体棒在磁场中只受到安培力的作用，根据 $ma = BIL$ 开始向右移动 $\implies$ 导体棒在运动过程中切割磁感线，产生感应电动势，产生逆时针方向的感应电流 $\implies$ 原电流（顺时针）和感应电流（逆时针）开始相互抵消，且起初由于 $E = BLv$ 速度较小，所以感应电流较小，小于原电流 $\implies$ 整体上电路中的总电流逐渐减小 $\implies$ 根据 $ma = BIL$ 加速度逐渐减小 $\implies$ 导体棒做加速度减小的加速运动 $\implies$ 当速度增大到感应电流与原电流恰好完全抵消，即电源电动势 $E$ 等于感应电动势 $BLv$ 时，$I = 0$，此时 $a = 0$，速度不再增大，导体棒做匀速直线运动。

模型：

如下图所示，电容器带电，右侧有一导体棒处在垂直纸面的匀强磁场中。

此时电容器由于带电，导体棒不带电，所以电容器会放电，那么大体思路与含电源一般题型解题思路相同。需要注意的是，带电电容器和电源的根本区别在于，电源由于其内部非经典力的作用，电源电动势 $E$ 始终保持不变；而带电电容器由于放电，其内部的电压 $U$ 一直在不断减小，那么边界条件有所不同，此时当 $U = BLv$ 即电容器电压不断减小，感应电动势不断增加当二者恰好相同时，取边界条件，此时速度不再增大，做匀速直线运动。

总结

动能定理

基础知识

涉及物理量：发热量 $Q_热$，安培力做功 $W_安$，电能 $E_电$。

关系：

在纯电阻电路中，由于电能会全部转化为热能，所以

即安培力做功与电能有关。安培力做了多少正功，电能减少多少；安培力做了多少负功，电能增加多少。

解题思路：

利用动能定理 $W_合 = \Delta E_k$，即

其中重力做功 $W_G$ 与重力势能有关，弹力做功 $W_弹$ 与弹性势能有关，电场力做功 $W_电$ 与电势能有关，安培力做功 $W_安$ 与电能有关。

实际问题中一般不会涉及到这么多力做功。

例题

如图所示，两根光滑的足够长直金属导轨 $ab$ 和 $cd$ 平行置于竖直平面内，导轨间距为 $L$，在导轨上端接有阻值为 $R$ 的电阻。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直，磁感应强度的大小为 $B$。现将一质量为 $m$、电阻也为 $R$ 的金属棒 $MN$ 从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。下落高度为 $h$ 时速度恰好达到最大。重力加速度为 $\mathrm g$，不计导轨的电阻。求：

1. 金属棒下落的最大速度 $V_{\max}$。
2. 金属棒从开始释放到下落高度为 $h$ 的过程中，电阻 $R$ 上产生的电热 $Q_R$。
3. 金属棒从开始释放到下落高度为 $h$ 的过程中，通过金属棒 $MN$ 的电荷量 $q$。

求解：

对于第一问：

考虑首先对导体运动过程中进行受力分析，那么根据牛顿第二定律有：

根据「力与运动」中的基础模型相关内容可知当 $a = 0$ 即 $F_合 = 0$ 时速度最大。此时

对于第二问：

对金属棒从开始释放到下落高度为 $h$ 的过程利用动能定理有：

由于电路是纯电阻电路，所以电路中电能完全转化为热能，即：

根据 $Q = I^2Rt$，在串联电路中，发热量与电阻成正比，那么电阻 $R$ 上产生的电热为

注意：题目中求的是电阻 $R$ 产生的电热 $Q_R$ 而非电路中总的热量，所以需要根据电阻比例求出二者的关系。

对于第三问：

根据电荷量公式可知

注意：

• 该电路中导体棒和电阻的电量都相等。
• 若电量直接利用该公式求不到，可能可以使用动量定理求解。这里不做介绍。

拓展：

对于复杂纯电阻电路（串联 + 并联）中求某个电阻的发热量问题，可以考虑简化电路，比如两个并联的电阻和电源串联，就可以先把两个并联电阻通过等效电路转化为等效单一电阻和电源串联，然后利用串并联电路中的发热量与电阻的关系求解。

串并联电路中发热量 $Q$ 与电阻 $R$ 的关系：

在纯电阻电路中有

$$Q = I^2 R t = \dfrac{U^2}{R}t$$

所以在串联电路中，由于电流相等，所以 $Q$ 与 $R$ 成正比；在并联电路中，由于电源相等，所以 $Q$ 与 $R$ 成反比。

自感现象

基础知识

概念：

当线圈接在电路中时，电路中瞬间接通电源，线圈自身会产生磁场，磁通量的瞬间改变，可能会对自身有影响。

当闭合 / 断开开关的瞬间，电流的变化幅度大，线圈产生的磁场磁通量变化大，会使得线圈感应出一个感应电流从而阻碍原电流的变化，感应电流与原电流方向相反。

注意：自感现象只发生在突然接通电路 / 断开电路的一瞬间，一般情况下电路稳定时，不会产生自感现象。

自感强度（自感系数）的影响因素：

1. 有无铁芯：若有铁芯，则自感强度越强。
2. 线圈匝数：匝数越多，自感强度越强（本质上相当于感应电动势计算公式中的匝数）。

例题

例 1：某同学在做如图所示的自感实验中，灯泡两端并联了自感系数 $L$ 很大的自感线圈，其直流电阻大于灯泡电阻。关于该实验，下列说法正确的是（）

A. S 接通瞬间，灯泡会逐渐变亮

B. S 接通稳定时，灯泡会熄灭

C. S 断开后的瞬间，灯泡的电流从右向左

D. S 断开后，灯泡会闪亮一下再熄灭

求解：

由于自感线圈的直流电阻大于灯泡电阻，所以其在电路中的电阻不可忽略不计。那么当电路稳定时，可以将其当作电阻来看待。那么自感线圈电流改变时，主要考察其阻碍作用；电流不变时，主要看它电阻是否可以忽略不计。

S 接通瞬间，线圈支路中的向右电流突然增大，那么线圈会产生一个极大的反方向的电流，阻碍原电流。所以在起初电流不容易流过线圈支路，会有较大的电流流过灯泡。电流稳定后，阻碍不再存在，线圈可以看成一个电阻。那么电流会突然变亮然后逐渐变暗并稳定到一个亮度。

S 接通稳定时，线圈可视为一个电阻，此时灯泡不会熄灭。若线圈无电阻，则灯泡被短路，灯泡会熄灭。

S 断开瞬间，线圈支路中向右的电流突然消失，那么线圈为了不让它消失会产生一个同方向的电流阻碍这个变化。而此时 S 断开，所以电流不能流回电源，所以只能流向灯泡。此时线圈产生感应电流，相当于电源，灯泡的电流从右向左。

S 接通稳定时，由于直流电阻大于灯泡电阻，所以线圈电流小于灯泡电流。S 断开后，灯泡电流会突然消失，线圈电流有要消失的趋势，而线圈为了阻碍这种趋势感应出水平向右的感应电流。断开开关是比较剧烈的变化，所以感应电流可近似等于原线圈中电流。此时感应电流会流入灯泡，此时灯泡会从原电流变成感应电流，即从大电流变成小电流。所以灯泡会突然变暗，再缓慢熄灭。

总结：

自感相关问题主要关注两点：

1. 电阻是否可以忽略不计：一般通过「直流电阻大于灯泡电阻」等类似的字眼给出相关信息，若可以忽略不计，则电路稳定可视为导线，反之可视为电阻。
2. 研究的是电路改变瞬间还是稳定时段：若是改变瞬间，则主要考察阻碍作用；稳定时段则主要考察被看成电阻还是导线。

注意：若题目考察干路电流，则可以将其拆分成多个支路，分别考虑每个支路的变化情况然后整合结论。