【物理】实验：验证机械能守恒定律

自由落体验证机械能守恒定律

实验目的

验证机械能守恒定律。

实验原理

求出做自由落体的物体的重力势能的减少量和动能的增加量。

在实验误差允许范围内，若二者相等，则说明机械能守恒，从而验证了机械能守恒定律。

实验器材

重物、打点计时器、交流电源、纸带、刻度尺、铁架台（带铁夹）。

注意：不需要秒表和天平。所有需要使用打点计时器的实验均不需要秒表。且由于此实验中，是根据 $m \mathrm g h_{AB} = \dfrac 1 2 m({v_B}^2 - {v_A}^2)$ 计算的，此时两遍都可以约去 $m$，所以 $m$ 测得的结果精确与否对实验无影响。

实验过程

【安装器材】

讲打点计时器固定在铁架台上，用导线将打点计时器与电源相连。

【打纸带】

用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近。先接通电源，再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列点，取下纸带，换上新纸带重打 $3\sim 5$ 条。

注意：

• 需要用手竖直提起纸带，而不能用手在下方托住重物，是为了避免纸带在下落的过程中跟打点计时器之间有摩擦生热。
• 重物要停靠在打点计时器下方附近，目的是为了多打点。
• 打 $3\sim 5$ 条纸带的目的是保证打点的纸带上点较为清晰。

【数据处理】

选择点迹清晰的纸带，验证机械能守恒定律。

数据处理

方案一

利用起点和第 $n$ 点计算：

• 选择第 $1、2$ 点间举例最接近 $\pu{2 mm}$ 的纸带（在 $\pu{50 Hz}$ 的前提下，根据 $y = \dfrac 1 2 \mathrm g t^2$ 可知此时 $y = \pu{2 mm}$）。
• 测出从起点到第 $n$ 个点的距离 $h_n$。
• 计算第 $n$ 个点的瞬时速度，即 $v_n = \dfrac x {2T}$。以上图第 $n$ 个点为 $F$ 点为例：此时 $v_n = \dfrac{h_6 - h_4}{2T}$。

若在误差范围内，$m \mathrm g h_n$ 与 $\dfrac 1 2 m {v_n}^2$ 相等，则验证了机械能守恒定律。

方案二

任取两点 $A、B$ 计算：

• 测出 $h_{AB}$。
• 测出 $v_A、v_B$。

若在误差范围内，$m \mathrm g h_{AB}$ 与 $\dfrac 1 2 m {v_B}^2 - \dfrac 1 2 m {v_A}^2$ 相等，则验证了机械能守恒定律。

方案三

原理：

根据机械能守恒定律的式子 $m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m v^2$ 可知 $\dfrac{v^2}2 = \mathrm g h$。所以只需要画出 $\dfrac {v^2} 2 - h$ 图象求解。

图象法：

• 测量从起点到剩余各点的下落高度 $h$，并计算对应速度 $v$。
• 以 $\dfrac {v^2} 2$ 为纵轴，$h$ 为横轴，根据数据做出 $\dfrac{v^2}2 - h$ 的图象。

若在误差范围内，图象是一条过原点且斜率为 $\mathrm g$ 的直线，则验证了机械能守恒定律。

注意事项

1. 安装打点计时器时，要使其两限位孔在同一竖直平面以减少摩擦。
2. 重物的密度要大。目的：体积相同时，密度越大，重力越大，更能满足重力远大于空气阻力。
3. 释放前提着纸带，而不是拖着重物。目的：减少纸带与打点计时器之间的摩擦。
4. 重物靠近打点计时器。目的：多打点。
5. 先接通电源，再松开纸带让重物下落。
6. 计算速度不可用 $v = \sqrt{2 \mathrm g h}$ 或 $v = \mathrm g t$。原因：这两个公式相当于已知机械能守恒求 $t$，但此实验是为了验证机械能守恒。
7. 实验仪器不需要秒表和天平。

误差分析

若 $\Delta E_k < |\Delta E_p|$：说明存在空气阻力或摩擦力。

若 $\Delta E_k > |\Delta E_p|$，有两种可能原因：

• 利用方案 $1$ 验证时，先释放纸带，后接通电源。此时会导致纸带上起点初速度不为 $0$，根据 $\Delta E_k = \dfrac 1 2 m {v_n}^2 - \dfrac 1 2 m {v_0}^2$ 可知结果偏大。
• 交流电的频率变小了。根据 $v = \dfrac{x}{2T}$ 和 $T = \dfrac 1 f$ 可知，$f$ 变大 $v$ 变大，会导致 $\Delta E_k$ 变大。

其它方法验证机械能守恒定律

光电门测速

遮光条通过光电门的时间很短，设遮光条的宽度为 $d$，则门处的瞬时速度近似等于平均速度，即 $v = \dfrac d t$。

注意：遮光条的宽度不能太长，遮光条通过光电门的速度不能太慢。若 $d$ 太长，$v$ 太慢，会导致时间 $t$ 变长，会使得近似不再准确。

竖直双物块模型

如图所示，$m_2 > m_1$，释放纸带后，物块 $2$ 向下移动，物块 $1$ 向上移动，且由于绳子不可伸长，所以两物块在竖直方向移动的距离相等，且两物块时刻保持共速。

那么整个系统机械能守恒，则一定有 $(m_2 - m_1) \mathrm g h = (m_1 + m_2)\dfrac{v^2}2$。

那么要使用该系统验证机械能守恒定律，需要利用天平测出两物块质量 $m_1,m_2$，然后利用刻度尺测出起点到第 $n$ 个点的距离 $h$，用均速法计算出第 $n$ 个点的瞬时速度，代入上述关系式即可验证机械能守恒。

注意：在双物块模型中，物块质量不能约去，所以不能不测量。

斜面双物块模型

如图所示，物块的质量是 $M$ 小球质量是 $m$，小球竖直向下运动，物块沿着斜面向上运动，二者运动过程中速度相等，且物块沿斜面向上运动的距离与小球向下运动的距离相等。

假设物块从 $A$ 到 $B$ 沿斜面向上运动的距离为 $d$，则小球在运动过程中重力势能减少了 $m\mathrm g d$，物块在运动过程中重力势能增加了 $Mgd \sin \theta$。根据机械能守恒有 $m\mathrm gd - M \mathrm g d \sin \theta = \dfrac 1 2 (m + M){v_B}^2$。

分别计算出左右两边的式子，若二者在误差范围内相等，则验证了机械能守恒定律。

注意：在这种模型下，同样需要将 $M$ 和 $m$ 准确测出。

竖直圆模型

如图所示，设小球从释放到下落的高度为 $h$，那么对于小球有机械能守恒 $m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m {v_A}^2$，即 $\mathrm g h = \dfrac 1 2 {v_A}^2$。

误差分析：此时由于 $v_测 = \omega L$，其中 $L$ 表示半径 $R$ 加上部分纸带的长度，$v_实 = \omega R$，所以 $L > R$，所以 $v_测 > v_实$，所以计算得到的动能偏大。改进：由上述分析可知可利用 $v_实 = \dfrac{v_测 R}{L}$ 作为测得的实际速度。

例题

晓强利用如图甲所示的装置完成了机械能守恒定律的验证，将体积较小的球由一定高度处静止释放，经过一段时间，小球通过固定在下侧的光电门，光电门记录了小球挡光时间 $\Delta t$；然后，多次改变光电门到释放点的距离 $h$，将小球仍由原来的位置静止释放，重复操作多次，记录多组小球的挡光时间。

1. 实验时，下列正确的是（）

   A. 应选择直径较大的铝球

   B. 应选择直径较小的钢球

   C. 小球的释放点距离光电门越近越好

   D. 小球的释放点到光电门的距离适当远些

2. 如果小球的直径为 $d$，则小球经过光电门时的速度是什么？如果重力加速度为 $\mathrm g$，若小球下落过程中机械能守恒，则对应成立的关系式是什么？

3. 如果利用得到的实验数据描绘图象，纵轴为 $\dfrac 1 {{\Delta t}^2}$，横轴为 $h$，如图乙，图线的斜率为 $k$，若小球的机械能守恒，则重力加速度 $\mathrm g$ 的表达式是什么。

分析：

对于 1，要使得求得的近似值更加准确，应该要让直径 $d$ 较小，且为了满足重力远大于空气阻力，应该让小球密度较大，所以选择直径较小的钢球；同时为了让误差更小，在考虑释放点到光电门的距离 $h$ 时，就要让误差值占据 $h$ 的距离越小，所以 $h$ 要尽可能大，即小球的释放点到光电门的距离应该适当远些。所以 $(1)$ 选 BD。

对于 2，根据光电门测速可知，若小球的直径为 $d$，则小球经过光电门时的速度为 $\dfrac d {\Delta t}$；当机械能守恒时，有 $m \mathrm g h = \dfrac 1 2 m v^2$，由于题目未告诉小球的质量，所以考虑两边同时约去 $m$，根据上一问可知 $\mathrm g h = \dfrac 1 2 \left(\dfrac d {\Delta t}\right)^2$。

对于 3，对于第 2 问的式子变形可知 $\dfrac{2\mathrm g h}{d^2} = \dfrac 1 {{\Delta t}^2}$，即 $\dfrac 1 {{\Delta t}^2} = \dfrac{2 \mathrm g}{d^2}h$，所以图乙中图象斜率 $k = \dfrac{2\mathrm g}{d^2}$，那么 $\mathrm g = \dfrac{kd^2}{2}$。

注意：对于第二问第二小问，已知机械能守恒求关系式，若已知小球质量，则对应关系式需要包含 $m$；若未知小球质量，则需要约去 $m$。