【物理】功与能

功

基础概念

定义

一个物体在力的作用下，沿力的方向，通过一段距离（位移），则称这个力做了功。

公式

功的定义式：

这里的 $x$ 指的是物体沿力的方向上发生的位移。由于力 $F$ 和位移 $x$ 都是矢量，所以得到的功 $W$ 是标量。

注意：虽然 $W$ 是标量，但是 $\pu{-5 J > 3 J}$，因为这里的负号表示做负功，或阻力做功。即对于所有变量，都按照数轴从左到右依次增大，功除外。

功的计算式：

这里的 $x$ 指的是实际位移，$\theta$ 表示力与位移的夹角。功的单位是焦耳，字母表示为 $\pu J$。

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例：如下图所示，一物体从斜面顶端滑到斜面底端，问重力做的功是多少。

求解：

根据题意可知

这道题中涉及了两个计算功的方法：

• 功的计算式，即 $W = Gc \cos \angle 2$，这里的 $c$ 指的是实际位移。
• 功的定义式，即 $W = Gb$，这里的 $b$ 指的是在力的方向上发生的位移。

对于功的计算式中 $\theta$ 的理解：

首先如下图所示：

对于 $F$ 在 $x$ 方向上做的功，那么考虑将 $F$ 沿图中建系得到的两个方向分解为 $F_x$ 和 $F_y$，那么

$$W_F = W_x + W_y = F \cos \theta \cdot x + 0 = Fx \cos \theta$$

由于在 $y$ 方向上位移为 $0$，所以 $W_F = W_x = Fx \cos \theta$。

计算

恒力做功计算

求大小方向恒定的力做功（例如重力），一般有以下两种思路：

若物体做直线运动，则使用力的「计算式」，即 $W = Fx \cos \theta$，$x$ 表示实际位移。

若物体做曲线运动，则使用力的「定义式」，即 $W = Fx$，$x$ 表示在力的方向上的位移。

注意：求 $F$ 可能需要通过受力分析求出。

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例：如图所示，一质量为 $m$ 的小球，用长为 $L$ 的轻绳悬挂于 $O$ 点，小球在水平力恒力 $F$ 作用下，从 $P$ 点移到 $Q$ 点，此时悬线与竖直方向夹角为 $\theta$，则求重力做的功是多少。

分析：

由于物体做曲线运动，所以考虑使用功的「定义式」，那么

这里力的方向上的位移是 $x = L - L \cos \theta$，这是常见的计算位移的方式。且由于物体位移向上，而重力向下，所以功是负功，这里需要注意功的正负。

变力做功计算

特殊情况：

若变力的方向与位移方向（速度方向）始终垂直，说明在力的方向上没有位移，所以不做功，即 $W_F = 0$。例如物体做圆周运动时提供向心力的力始终与速度方向垂直，不做功。

若变力只有方向改变、大小不改变（例如某些情况下的滑动摩擦力），可以通过 $W_F = Fs \cos \theta$ 计算，其中 $s$ 表示物体经过的路程，$\theta$ 表示 $F$ 与 $s$ 的夹角。此时，$F$ 与 $s$ 的夹角一般始终保持固定，且一般情况下题目中二者的夹角大部分都是 $0^\circ$ 或 $180^\circ$。

一个较为典型的例子：

考虑一物体在粗糙水平面上，向右以初速度 $v_0$ 的速度做直线运动，从某个起始点 $A$ 运动到 $B$ 然后折返回来到 $A$。整个过程中，物体始终受到一个向左的外力 $F$，大小始终不变。物体从 $A$ 到 $B$ 再回到 $A$ 的过程中，外力 $F$ 做的功整体上是多少，滑动摩擦力 $f$ 做的功整体上是多少。

分析：

首先对于外力 $F$，属于大小方向均不变的恒力：

• 当物体由 $A$ 运动到 $B$ 的过程中，$F$ 与位移方向相反，做负功，这个过程 $W_F = - F x_{AB}$；
• 当物体由 $B$ 折返回到 $A$ 的过程中，$F$ 与位移方向相同，做正功，这个过程 $W_F = F x_{AB}$。

那么两段路程做的功正负抵消，所以对于整个过程，外力 $F$ 做功为 $0$。

然后对于滑动摩擦力 $f$：

• 当物体由 $A$ 运动到 $B$ 的过程中，此时 $f$ 与位移方向相反，做负功，这个过程 $W_f = - f x_{AB}$；
• 当物体由 $B$ 折返回到 $A$ 的过程中，$f$ 与位移方向依然相反，做负功，这个过程 $W_f = - f x_{AB}$。

那么对于整个过程，滑动摩擦力 $f$ 做功为 $W_f = - 2 f x_{AB}$。

若变力只有大小改变，方向不改变，则可以考虑图象法。绘制 $F-x$ 的图象，此时图象围成的面积表示功 $W_F$。图象在 $x$ 轴上方的部分，$F$ 做正功；图象在 $x$ 轴下方的部分，$F$ 做负功。则直接根据图象求出对应面积即可求出功。

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例：如图所示，某个力 $F$ 大小等于 $\pu{200 N}$ 保持不变，作用在半径为 $\pu{2 m}$ 的转盘边缘，方向时刻与此时的运动方向相同，当转盘转动一周时，力 $F$ 做了多少功？

分析：

由于大小不变的力 $F$ 的方向时刻与运动方向相同，所以 $\theta = 0^\circ$，那么

总结：本题属于变力满足方向改变，大小不变的题型，且 $F$ 与 $s$ 夹角始终不变且已知，所以考虑 $W = F s \cos \theta$。求解思想是微元法。

功的正负判断

判断依据

根据 $W = Fx \cos \theta$ 可知：

• 当 $0^\circ \le \theta < 90^\circ$ 即力与位移夹角为锐角时，$\cos \theta > 0$，功为正。
• 当 $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ 即力与位移夹角为钝角时，$\cos \theta < 0$，功为负；
• 当 $\theta = 90^\circ$ 即力与位移方向垂直时，$\cos \theta = 0$，不做功。

常见力做功的正负

摩擦力

对于单个摩擦力可能做正功、负功，也可能不做功，下面是一些常见情形：

• 静摩擦力做正功：人握着话筒往上移动。
• 静摩擦力做负功：人握着话筒往下移动。
• 静摩擦力不做功：人握着话筒静止不动。
• 滑动摩擦力做正功：将一物体以初速度为 $0$ 放在正在运行的传送带上的初始状态。
• 滑动摩擦力做负功：在地上滑行的物体。
• 滑动摩擦力不做功：擦黑板，摩擦力对黑板不做功（对板擦做功）。

对于一对摩擦力：

• 一对静摩擦力：互为相互作用力，大小相同，方向相反，位移相同，考虑做功正负抵消，所以做功之和一定为 $0$。
• 一对滑动摩擦力：做功之和一定小于 $0$。（具体解释涉及到能量，这里不做赘述。）

相互作用力

误区：一个作用力做正功，另一个作用力一定做负功。

解释：由于一对相互作用力作用到的物体不是同一个物体，而是两个不同的物体，所以无法直接预估做功的正负。

下面是一些常见的情形（例如「一正一负」表示一个作用力做正功，另一个作用力做负功）：

• 一正一负：两块磁铁，一左一右，左往左动，右往左动。
• 一正一正：两块磁铁，一左一右，左往左动，右往右动。
• 一正一零：两块磁铁，一左一右，左往左动，右不动。
• 一负一负：两块磁铁，一左一右，左往右动，右往左动。
• 一负一零：两块磁铁，一左一右，左往右动，右不懂。
• 一零一零：两块磁铁，一左一右，都不动。

重力

重力做功的正负与高度有关：

• 高度变高：重力做负功。
• 高度变低：重力做正功。
• 高度不变：重力做功为 $0$。

合外力

根据合外力 $F$ 的方向与加速度 $a$ 的方向相同，位移 $x$ 的方向与速度 $v$ 方向相同可知：

• 速度变大：加速运动，$a,v$ 同向，$F,x$ 同向，合外力做正功。
• 速度变小：减速运动，$a,v$ 异向，$F,x$ 异向，合外力做负功。
• 速度不变：合外力不做功。

平衡力

一对平衡力做功，大小相等，方向相反，作用在同一个物体上，所以二者做功一正一负，根据同一个物体可知位移相同所以大小相同，做功之和一定为 $0$。

【经典题型】敲钉子做功的计算

问题模型：

用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，即 $F_f = kx$（其中 $x$ 为铁钉进入木块的深度），在铁锤击打第一次后，铁钉进入木块的深度为 $d$。则：

1. 求铁锤对铁钉做功的大小。
2. 若铁锤对铁钉每次做功都相等，求击打第二次时，铁钉还能进入的深度。

求解方法：图象法。

分析：

对于第一问，发现木块对铁钉的阻力 $F_f$ 实际上方向不变，只有大小改变，那么考虑图象法，绘制 $F_f-x$ 图象求解，如下图所示。

那么图中三角形围成的面积即为铁锤对铁钉做功的大小，所以

对于第二问：

假设击打第二次时，铁钉此时的深度为 $d'$。根据下图可知 $S_1 = S_2$。

根据相似三角形可知：

所以铁钉还能进入的深度 $\Delta d = (\sqrt 2 - 1) d$。

功率

基础概念

定义

功率是描述做功快慢的物理量。功率越大，做功越快。

公式

功率的定义式：

单位：焦耳每秒 $\pu{J*s-1}$ 或瓦特 $\pu W$。功率是标量。定义式中的功率表示的是平均功率，即平均每秒做功的多少，例如 $\pu{5 s}$ 内的平均功率。

功率的计算式：

计算式中的功率表示的是瞬时功率，即某个时刻做功的多少，例如第 $\pu{5 s}$ 的功率；这里的 $v$ 表示某时刻的速度，即瞬时速度；$\theta$ 表示 $F$ 和 $v$ 的夹角。

一般情况下计算瞬时功率，求 $v$ 时，可能需要利用牛二力学和运动学中的相关知识。

所以某时刻的功率，与此时做功的力 $F$、瞬时速度 $v$ 和二者的夹角 $\theta$ 有关。

例如：如图所示，一小球在从 $A$ 端由静止移动到 $B$ 端，问从 $A$ 到 $B$ 的过程中重力的功率 $P_G$ 的变化。

分析：

当小球在 $A$ 端时，$v = 0$，所以起初 $P_A = 0$；当小球在 $B$ 端时，此时重力竖直向下，速度水平向左，二者夹角为直角，所以 $\cos \theta = 0$，所以 $P_B = 0$；当小球在从 $A$ 到 $B$ 中间某个点时，分析可知此时 $P_G > 0$。那么整个过程中 $P_G$ 应该是先变大后变小。

汽车启动

额定（恒定）功率启动

相关概念：「额定功率」指发动机的最大功率。一般情况下，这里的「额定功率」对应的是牵引力的功率。

问题模型：一辆汽车在以水平面上，以额定功率从静止开始运动，汽车质量为 $m$，运动过程中所受到的阻力 $f$ 大小恒定，牵引力为 $F$。

运动状态分析：

首先对启动后的汽车进行受力分析：

同时根据 $P = Fv$（此时 $\theta = 0$ 所以 $\cos \theta = 1$）可得 $F = \dfrac P v~ (2)$。

那么在最开始，由于物体从静止开始运动，所以物体有加速度 $a$，因为 $a,v$ 同向，所以 $v$ 增大，由于 $P$ 为额定功率始终不变，所以根据 $(2)$ 可知 $F$ 减小，那么根据 $(1)$，由于 $f$ 恒定，所以 $a$ 减小，那么汽车做加速度减小的加速运动。

当 $F$ 减小到与 $f$ 相同时，$a = 0$，所以物体速度不变，做匀速直线运动，其 $v - t$ 图象如下。

解题思路：

1. 找出研究对象。
2. 找出题目条件对应的运动段。
3. 画图，对该运动段的研究对象受力分析。
4. 列出对应的受力分析式（平衡/牛二）。

注意：一般情况下，无论题目求的是哪个运动段，都要分析匀速运动阶段。

解题的语言描述：对「研究对象」的「某运动段」进行受力分析，如图（画出图像），列出「平衡式/牛二式」。

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例：汽车发动机的额定功率为 $\pu{60 kW}$，汽车质量为 $\pu{5 t}$，运动中所受阻力的大小恒为车重的 $0.1$ 倍。（$\mathrm g$ 取 $\pu{10m/s^2}$），求：若汽车以额定功率启动，汽车所能达到的最大速度是多少？

分析：

涉及到「汽车所能到达的最大速度」，说明指的是汽车做匀速运动的运动段。

那么考虑对汽车的匀速运动阶段进行受力分析，如图所示。

则：

恒定加速度启动

问题模型：一辆汽车在以水平面上，以恒定加速度从静止开始运动，汽车质量为 $m$，运动过程中所受到的阻力 $f$ 大小恒定，牵引力为 $F$。

运动状态分析：

受力分析同「额定（恒定）功率启动」。

那么当 $a$ 恒定时，根据 $(1)$ 和 $f$ 始终不变，可得 $F$ 保持不变。由于 $a,v$ 同向，所以 $v$ 增大，又根据 $(2)$，要使得 $F$ 不变，则 $P$ 增大，且 $v,P$ 等比例增大。

当 $P$ 达到汽车的最大功率时，由于受力不变，所以 $a$ 仍保持不变，那么 $v$ 仍然会增大；那么由于 $P$ 不变，所以 $F$ 减小。此时题目变成了 $P$ 恒定，所以后续与「额定（恒定）功率启动」情况相同。

那么整个过程中的 $v - t$ 图象如下：

$P-t$ 图象如下：

本质：起初 $a$ 不变，后来 $P$ 不变的运动。

解题思路：

一般要分析两个关键点：

1. 匀加速直线运动变成加速度减小的加速度运动的点；
2. 加速度减小的加速运动变成匀速直线运动的点（匀速直线运动阶段）。

解题的语言描述同「额定（恒定）功率启动」。

$F - \dfrac 1 v$ 图象

解题思路：首先通过图象搞清楚汽车启动的类型是「恒定功率启动」还是「恒定加速度启动」。注意，由于横轴表示的是 $\dfrac 1 v$ 而不是 $v$，所以横轴从右向左，才表示 $v$ 从 $0$ 开始增大。那么当 $v$ 从 $0$ 开始增大时，若 $F$ 起始阶段保持不变，则属于「恒定加速度」启动；反之，则属于「恒定功率」启动。然后考虑利用对应的启动类型来分析问题。

例：一辆汽车质量为 $\pu{1E3 kg}$，最大功率为 $\pu{2E4 W}$，在水平路面由静止开始做直线运动，最大速度为 $v_2$，运动中汽车所受阻力恒定。发动机最大牵引力为 $\pu{3E3 N}$，其行驶过程中牵引力 $F$ 与车速的倒数 $\dfrac 1 v$ 的关系如图所示，试求：

1. $v_2$ 的大小。
2. 保持匀加速运动的时间是多少。

分析：

$x$ 轴从右到左，$v$ 从 $0$ 开始逐渐增大，且初始阶段 $F$ 保持不变，所以属于「恒定加速度启动」。那么首先考虑分析两个关键点的运动状态。

第一个关键点，即当汽车做匀速直线运动阶段，对应有 $F = \pu{1E3 N}$ 且 $\dfrac 1 v = \dfrac 1 {v_2}$ 考虑对汽车匀速阶段受力分析有：

第一个关键点，即当汽车匀加速运动到最大速度时，对应有 $F = \pu{3E3 N}$ 且 $\dfrac 1 v = \dfrac 1 {v_1}$，此时对汽车受力分析有：

同时根据 $F = \dfrac P {v_1}$ 可知 $v_1 = \dfrac{P}{F} = \dfrac {20000}{3000} = \pu{\dfrac{20}{3}m/s}$，所以匀加速运动的时间是 $t = \dfrac{v_1}{a} = \pu{\dfrac{10}{3}s}$。

动能定理

基础概念

动能

定义：一个物体因运动所具有的能量。

计算式：

单位：焦耳 $\pu J$。动能是标量。

动能定理

内容：

合外力做的功等于动能的变化量，即：

推导过程：

注意：在具体题目中，一般求 $W_合$ 的方式为 $W_合 = W_1 + W_2 + W_3 + \cdots$，所以在代入每一个 $W_i$ 时，无论它是正功还是负功，都直接代入，例如 $W_1 = \pu{3 J},W_2 = \pu{-5 J},W_3 = \pu{1 J}$，则 $W_合 = W_1 + W_2 + W_3 = 3 - 5 + 1 = \pu{-1 J}$。

解题思路：

1. 找出研究对象。
2. 找到对应的运动段：一般涉及到两个关键点，即从哪到哪。
3. 找到做功的力。
4. 列出动能定理的式子。

解题的语言描述：对「研究对象」的「从 $A$ 到 $B$ 的运动段」列出对应 $W_F$ 的动能定理式。

注意：一般情况下大题要运用动能定理时，最好写出 $W_合 = \Delta E_k$。

【模型】单段运动 - 圆周

基本知识

前置知识：

• 绳模型中运动到最高点时，其速度 $v = \sqrt{\mathrm gr}$。
• 杆模型中运动到最高点时，其速度 $v = 0$。

绳模型与杆模型的区别：绳子最高点无支撑，杆最高点有支撑。

重要技巧：

若题目告诉了某点的受力情况，则一定要通过受力分析将受力转换成速度，即

例题

例 1：如图所示，一绳长为 $\pu{2.5 m}$ 细绳系着一质量为 $\pu{4 kg}$ 的小球，若小球恰好在竖直平面内做圆周运动（$\mathrm g$ 取 $\pu{10m/s^2}$），问：

1. 小球通过最低点的速度是多少？
2. 通过最低点的拉力是多少？

分析：

对于第一问，考虑小球从 $A\to B$ 的运动段，做功的力是重力，那么根据 $W_合 = \Delta E_k$ 有：

对于第二问，考虑对最低点的小球受力分析 ，则有

注意：对于第一问 $h = 2L$ 而不是 $h = L$。

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例 2：如图所示，竖直平面内一半径为 $R$ 的半圆形轨道，两边端点等高，一个质量为 $m$ 的质点从左端点由静止开始下滑，滑到最低点时对轨道压力为 $2m \mathrm g$，$\mathrm g$ 为重力加速度，则此下滑过程克服摩擦力做的功是多少？

分析：

此题目告诉了小球滑到最低点时的相关受力，所以考虑通过受力转化为速度。

那么首先考虑对最低点的小球受力分析有

题目求的是「下滑过程中克服摩擦力做的功」，发现此时摩擦力方向不断改变，且根据 $f = \mu F_N$，$F_N$ 不确定，所以 $f$ 也不确定，所以不能直接利用功的计算式或定义来求解。考虑动能定理。

那么对小球从 $P \to Q$ 的运动段分析，此时做功的力为重力 $G$ 和摩擦力 $f$，那么根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有：

所以摩擦力做的功是 $- \dfrac 1 2 m \mathrm g R$，那么克服摩擦力做的功是 $\dfrac 1 2 m \mathrm g R$。

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例 3：美国的 NBA 篮球赛非常精彩，吸引了众多观众，经常能看到这样的场面：在终场前 $\pu{0.1 s}$ 的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的最后胜利，已知球的质量为 $m$，运动员将篮球投出，球出手时的高度为 $h_1$，动能为 $E_k$，篮筐距地面高度为 $h_2$。不计空气阻力。则篮球进框时的动能是多少？

分析：

对篮球从投出到进框的运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

注意：这里的 $G$ 做负功，而非正功，所以 $W_G = - m \mathrm g (h_2 - h_1)$。

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例 4：某人在高 $h$ 处抛出一个质量为 $m$ 的物体，不计空气阻力，物体落地时速度为 $v$，该人对物体所做的功为多少。

分析：

对物体从抛出到落地的运动段分析，此时做功的力有人对物体的作用力 $F_人$ 和重力 $G$，根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

总结：利用动能定理解决问题时，对于 $W_合$，有时候不一定要找出所有做功的具体的力，例如本题中将「人对物体的作用力」作为做功的力之一，但是并不清楚人对物体做了几个力，或者其力的性质是什么。同时，题目求「人对物体所做的功」也暗示了要将人对物体的作用力整体作为做功的力来看待。

【模型】多段运动 - 直线

基本知识

【解题关键点】如何选取初末状态。

【问题类型】

• 求某点的物理量：一般选用该点对应状态为其中一个状态（初/末状态），再选用另一个速度已知的点为另一状态（末/初状态）。
• 求某一段的物理量：选用两个速度已知的点为初末状态。

例题

例 1：民用航空客机的紧急出口打开时，会自动生成一个由气囊构成的斜面，模型简化如图所示。光滑斜面的竖直高度 $AB = \pu{3.2 m}$，斜面长 $AC = \pu{4.0 m}$，斜面与水平地面 $CD$ 段间有一段小圆弧平滑连接。当物体由静止开始滑下，其与地面间的动摩擦因数均为 $\mu = 0.5$，不计空气阻力，$\mathrm g = \pu{10 m/s^2}$，求：

1. 人滑到斜面底端 $C$ 时的速度大小。
2. 人离开 $C$ 点后还要在地面上滑行多远才能停下。

分析：

对于第一问，由于求的是 $C$ 点的速度，同时 $A$ 点静止（说明速度为 $0$），则考虑对人从 $A \to C$ 的运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

对于第二问，求的是从 $C$ 点到停下这一段的距离，发现 $v_C$ 和 $v_D$ 已知，所以考虑对人从 $C \to D$ 的运动段分析，此时只有滑动摩擦力 $f$ 做功，根据动能定理 $W_G = \Delta E_k$ 有

注意：这里的 $W_f$ 做负功，而不是正功。

另解：

对于第二问，若选取 $A \to D$ 的运动段分析，则此时做功的力为重力 $G$ 和滑动摩擦力 $f$，则有

$$W_G + W_f = 0 \implies m \mathrm g h = \mu m \mathrm g x \implies x = \dfrac h \mu = \pu{6.4 m}$$

所以选用不同的初末状态对应的力的做功不同，计算量也不同。应该在平时做题中多体会选择合适初末状态的技巧，从而加快计算速度。

一般情况下，只要选取的初末状态包含在题目涉及的运动段当中，基本都是可解的。

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例 2：如图所示，一粗糙斜面 $AB$ 于光滑圆弧轨道 $BCD$ 相切，$O$ 为圆弧轨道的圆心，$OD$ 处在同一水平面上，$C$ 为圆弧轨道的最低点，圆弧 $BC$ 所对圆周角 $\theta = 37^\circ$。已知斜面 $AB$ 的长度为 $L = \pu{2.0 m}$，圆弧轨道半径为 $R = \pu{0.5 m}$，质量为 $m = \pu{1 kg}$ 的小物块（可视为质点）从斜面顶端 $A$ 点处由静止开始沿斜面下滑，从 $B$ 点进入圆弧轨道运动并从轨道边缘 $D$ 点竖直向上飞出，离开 $D$ 点以后上升的最大高度为 $h = \pu{0.4 m}$，$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$，重力加速度 $\mathrm g = \pu{10 m/s^2}$，空气阻力不计，求：

1. 物块第一次经 $C$ 点时对圆弧轨道的压力。
2. 物块第一次返回斜面运动的最高点距 $A$ 点的距离。

分析：

首先对于第一问，由于求的是「$C$ 点的物理量」，所以选择 $C$ 点作为一个状态点。此时 $A$ 点速度已知，但由于从 $A \to C$ 的运动段中，有重力 $G$ 和滑动摩擦力 $f$ 做功，但是由于此时粗糙面 $\mu$ 未知，所以 $W_f$ 无法求出，且此时 $C$ 点速度未知，所以不能选取 $A$ 点作为另一个状态点。

设物体从 $D$ 点竖直向上飞出后，当其运动到 $E$ 点时速度为 $0$，且 $C \to E$ 只有重力做功。那么考虑对 $C \to E$ 运动段分析，则根据 $W_合 = \Delta E_k$ 有

那么在 $C$ 点有：

对于第二问，第一次返回斜面运动的最高点为 $F$。考虑选取从 $C \to F$ 的运动段分析，这个过程中滑动摩擦力 $f$ 和重力 $G$ 做功。此时依然不知道 $\mu$，所以考虑求出 $\mu$。

此时 $A$ 点和 $E$ 点的速度已知，都为 $0$，考虑对 $A \to E$ 的运动段分析，此时滑动摩擦力 $f$ 和重力 $G$ 做功，那么根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

那么再选取从 $C \to F$ 的运动段分析，根据动能定理有：

所以最高点距离 $A$ 的距离为 $2 - 1 = \pu{1 m}$。

总结：对于解题过程中发现未知的物理量，要善于利用合适的运动段分析，通过动能定理求出该物理量，然后求解，例如本体中的 $\mu$。

【模型】往返运动

问题模型：如图所示，粗糙的斜面 $AB$ 下端与光滑的圆弧轨道 $BCD$ 相切于 $B$，整个装置竖直放置，$C$ 是最低点，圆心角 $\angle BOC = \theta = 37^\circ$，$D$ 与圆心 $O$ 登高，圆弧轨道半径 $R = \pu{1.0 m}$，斜面长 $L = \pu{4.0 m}$，现有一个质量 $m = \pu{1.0 kg}$ 的小物体 $P$ 从斜面 $AB$ 上端 $A$ 点无初速度下滑，物体 $P$ 与斜面 $AB$ 之间的动摩擦因数为 $\mu = 0.25$，$\mathrm g$ 取 $\pu{10 m/s^2}$，求：

1. 物体 $P$ 从空中又返回到圆轨道和斜面，做往复运动，在整个过程中，物体 $P$ 对轨道上 $C$ 点的最小压力是多大？
2. 物体 $P$ 从空中又返回到圆轨道和斜面，做往复运动，在整个过程中，物体在 $AB$ 上运动的路程是多少？

求解思路：

对于第一问，首先发现，当物体运动到 $E$ 折返回到斜面 $AB$ 上时，由于摩擦力做功，机械能会转化为热能，所以每次折返回到粗糙斜面 $AB$ 时，能到达的最高高度会越来越小，设每次到达的最高点为 $F$。同时根据题意可知 $\mu < \tan \theta$，所以物体到达 $AB$ 斜面后，不会静止在 $AB$ 面上。考虑对 $C \to F$ 的运动段分析，根据动能定理有 $- m \mathrm g h - fs = 0 - \dfrac 1 2 m{v_C}^2$，那么此时 $h$ 和 $s$ 均减小，所以 $v_C$ 减小。

设圆弧轨道 $C$ 点右侧与 $B$ 点等高处为 $B'$ 点。那么当下降的高度逐渐减小，直至 $F$ 点与 $C$ 点重合时，考虑对物体从 $B \to C$ 的运动段分析，此时只有重力做功，所以物体会始终会在圆弧 $BB'$ 上一直做往返运动，那么此时 $C$ 点的速度就是最小速度。则根据动能定理有

对 $C$ 点受力分析有：

那么此时 $C$ 点所受的压力也最小，所以物体 $P$ 对轨道上 $C$ 点的最小压力为 $\pu{14 N}$。

对于第二问，可以发现物体在斜面 $AB$ 上做往返运动时，摩擦力只有方向改变，而大小不变，而对于方向改变大小不变的力做功，我们的计算方式是 $W_f = fs \cos \theta$，此时 $\theta = 0$，所以可以考虑利用 $W_f = fs$ 将物体在 $AB$ 上运动的路程求出。

根据上述的分析过程可知，物体的运动是从 $A$ 点以初速度为 $0$ 开始运动到 $E$ 点，然后再返回 $AB$ 斜面不断往返运动，当物体运动的最高点 $F$ 与 $B$ 点重合时，物体在斜面上不再做功。所以整个过程中，摩擦力做功的运动段是从 $A$ 点进行若干次往返运动后回到 $B$ 点的运动段。此时初状态速度为 $0$，末状态速度也为 $0$。那么考虑对这一运动段分析，有重力和摩擦力做功，根据动能定理有

总结：

对于第一问，有三个关键点：

• 往返运动物体为什么不会返回 $A$ 点：涉及到一部分能量和机械能守恒的知识，这里简单来讲就是摩擦做功生热，会导致机械能转化为热能，从而使得机械能整体逐渐减小，导致往返运动在斜面上不会返回 $A$ 点（速度为 $0$ 的点始终低于 $A$）。
• 做往返运动的过程中为什么物体不会静止在某个地方不动：在斜面 $AB$ 的最高点，始终有 $\mu < \tan \theta$，根据牛二力学的相关知识可知，物体势必一定会滑下；在圆弧轨道上，物体始终受重力 $G$，受力不平衡。
• 建立「最小压力」和「最小速度」的关系：题目求最小压力，考虑到对 $C$ 受力分析，那么根据 $m \dfrac{{v_C}^2}{R} = F_N - m \mathrm g$ 将最小压力转化为最小速度，再根据动能定理将最小速度转化为「往返运动时能够运动到的最高点的最低位置（也就是此题的 $B$ 点）」。

对于第二问，有一个关键点：题目求的是路程，那就考虑学过的与路程有关的定义式/计算式，发现只有在「变力做功计算」中学过的方向改变，大小不改变的力的做功，结合此题，这里方向改变大小不改变的力即为摩擦力，那么考虑根据 $W_f = fs \cos \theta$ 求解。

根据这道题可以总结出有关往复运动的一些技巧：

1. 题目求某点的某物理量的最值，可以通过受力分析转化为其它物理量的最值，再根据动能定理求出对应的最值。
2. 求解往复运动问题的关键点在于「分析运动过程」，借助机械能守恒和能量相关的知识可以更好的分析出运动过程。

【模型】链条（无法看成质点）的动能定理

解题方法

1. 画出初 - 末状态图。
2. 对比图象找出变化部分的物体：一般情况下可看作物体（链条）的某一段运动，而不是整体运动。
3. 找出变化部分的质心变化列动能定理：相当于将变化部分物体看成质点，转化为传统的动能定理求解。

例题

例 1：质量为 $m$ 的均匀链条长为 $L$，开始放在光滑的水平桌面上时，有 $\dfrac 1 4$ 的长度悬再桌边缘，如图所示。松手后，链条滑离桌面，问：从开始到链条滑离桌面过程中重力做了多少功？

分析：

初末状态原题中已经画出。对比初末状态图象，可以发现相当于初始状态水平的 $\dfrac 3 4 L$ 的链条，运动到末状态下方的 $\dfrac 3 4 L$ 链条，变化部分的质心恰好为对应这两部分链条的几何中心，如图所示：

那么此时变化部分的质心下降的高度为 $h = \dfrac 1 4 L + \dfrac 1 4 L \times \dfrac 1 2 = \dfrac 5 8 L$。那么整个过程重力做功为：

---

例 2：如图所示，质量为 $m$ 的均匀链条长为 $L$，水平面光滑，$\dfrac L 2$ 垂在桌面下，将链条由静止释放，设桌面的高度大于 $L$，则链条全部滑离桌面时（）

A. 其动能为 $\dfrac 1 2 m \mathrm g L$

B. 其速度为 $\dfrac{\sqrt{3\mathrm g L}}{2}$

C. 其速度为 $\dfrac{\sqrt{5 \mathrm g L}}{2}$

D. 重力做功为 $\dfrac 3 8 m \mathrm g L$

分析：

同理上题可知，变化部分物体质心竖直位移为 $h = \dfrac L 2 + \dfrac L 4 = \dfrac 3 4 L$，此时

那么根据动能定理可知

故选 BD。

注意：求链条重力所做的功时，相当于只有 $\dfrac 1 2$ 的链条做功，所以这里代入的 $G$ 是 $\dfrac 1 2 m \mathrm g$；而利用动能定理求链条的速度时，涉及的是整个链条的速度和动能，所以代入 $\dfrac 1 2 m v^2$ 中的 $m$ 是整个链条的质量。

摩擦力做功的特点

直线运动

基本知识

前提：① 不受外力；② 直线运动。

特点：斜面摩擦力 $\times$ 斜面距离 $=$ 水平面摩擦力 $\times$ 水平面距离。

如图所示，那么有：

其中，$\mu m \mathrm g \cos \theta$ 是斜面摩擦力，$a$ 是斜面距离，$\mu m \mathrm g$ 是水平（地面受到的）摩擦力，$b$ 是水平距离。

例题

例 1：如图所示，一木块沿着高度相同、倾角不同的三个斜面由顶端静止滑下，若木块和各斜面间的动摩擦因数相同，则滑到底端时的动能大小关系是什么。

分析：

根据 $W_合 = m \mathrm g h + W_f = \dfrac 1 2 m v^2$，由于三个斜面的高度相同，所以 $m \mathrm g h$ 相同，那么只需要比较 $W_f$。

根据直线运动中摩擦力做功的特点可知 $W_f = \mu m \mathrm g s$，其中 $s$ 表示水平面距离。因为 $AB < AC < AD$，所以倾角越大，$W_f$ 越大，则动能越大。

---

例 2：如图所示，$OD$ 是水平面，$AB$ 是斜面，初速度为 $v_0$ 的物体从 $D$ 点出点除法沿 $DBA$ 滑动到顶点 $A$ 时速度刚好为零。如果斜面改为 $AC$，让该物体从 $D$ 点出发沿 $DCA$ 滑动到 $A$ 点且速度刚好为零，则物体具有的初速度和 $v_0$ 的大小关系如何？（已知物体与接触面之间的动摩擦因数处处相同且不为零）

分析：

设物体沿 $DBA$ 运动摩擦力做的功为 $W_f$，沿 $DCA$ 运动初速度为 ${v_0}'$，摩擦力做的功为 ${W_f}'$。则对两次运动利用动能定理分析有：

那么对于物体沿 $DBA$ 的运动，摩擦力做的功等于 $AB$ 段摩擦力做的功加上 $BD$ 段摩擦力做的功，即

同理，物体沿 $DCA$ 运动，摩擦力做的功等于 $AC$ 段摩擦力做的功加上 $CD$ 段摩擦力做的功，即

所以 $W_f = {W_f}'$。

总结：要善于将斜面上摩擦力做功转化为水平面上摩擦力做功求解。

曲线运动

基本知识

特点：

1. 对于不同运动轨迹，滑动摩擦力 $\mu F_N$ 中 $F_N$ 的大小与运动的曲面有关：是凹面还是凸面（体现在下方例 1）。
2. 对于同一运动轨迹，$F_N$ 的大小与速度大小 $v$ 有关：可以对轨迹上一点进行受力分析求出二者关系（体现在下方例 2）

例题

例 1：如图所示，上凸桥 $ABC$ 和凹桥 $A'B'C'$ 由相同材料制成，轨道半径和粗糙程度相同，有一小物体前后两次以相同的初速度经两桥面到 $C$ 和 $C'$，若路程相同，则到达 $C$ 的速度 $v$ 和到达 $C'$ 的速度 $v'$ 的大小关系如何？

分析：

对于上凸桥和凹桥的两个运动段，根据动能定理有

由于两段运动 $h,\mu,s$ 均相同，所以只需要比较 $F_N$ 和 ${F_N}'$ 的大小关系。

那么对于上凸桥有 $F_合 = m \mathrm g - F_N$，对于下凹桥有 $F_合 = {F_N}’ - m \mathrm g$，所以 ${F_N}' > m \mathrm g > F_N$，所以 $v > v'$。

---

例 2：如图所示，一物块以 $\pu{3 m/s}$ 的初速度从曲面 $A$ 点下滑，运动到 $B$ 点速度仍为 $\pu{3 m/s}$。若物体以 $\pu{2 m/s}$ 的初速度仍由 $A$ 点下滑，则它运动到 $B$ 点时的速度与 $\pu{2 m/s}$ 的大小关系如何。

分析：

首先对物体从 $A \to B$ 的运动段分析，此时重力 $G$ 和滑动摩擦力 $f$ 做功，根据动能定理有

当初速度 $v_A = \pu{3 m/s}$ 时，根据题意可知 $v_B = v_A$，所以 $W_合 = m \mathrm g h + W_f = 0$。

由于$m \mathrm g h$ 始终保持不变，摩擦力做功 $W_f = \mu F_N s$，$\mu,s$ 由于是同一轨道所以不便。那么需要判断 $v_A$ 变为 $\pu{2 m/s}$ 后对 $F_N$ 的大小影响。

对 $A \to B$ 轨道上任意一点进行受力分析如下图所示：

那么有

由于 $v_A$ 增大，所以 $F_N$ 增大，又由于 $W_f$ 是负功，所以摩擦力做的负功更少，所以 $v_B> v_A$。即到达 $B$ 点时的速度 $v_B > \pu{2m/s}$。（若做功相较于 $v_A = \pu{3 m/s}$ 不变，则 $W_合 = 0$，由于现在做的负功更少，所以 $W_合 > 0$，那么 $v_B > v_A$）

能量

基础介绍

动能：由于物体运动所具有的能量。

内能：可以通俗的理解为物体因为发热所具有的能量（发热量）。

势能：物体具有「潜在的（potential）能量」，或者可以理解为「对外做功的能力」，与物体所在空间位置有关。

学习能量的两大目的：

1. 应用到动能定理中，一般情况下求对应的能量可以转化为力做的功。
2. 弄清楚什么力做功会改变这个能量。

重力势能

定义

重力势能用 $E_{PG}$ 表示，单位为焦耳 $\pu J$。其定义式为

其中，$h$ 表示物体距离 "$0$" 势能面的高度，若物体比零势能面高，则 $h > 0$；反之，$h < 0$。那么 $h$ 是标量，则其大小直接与数轴上点的位置相关，数轴上左边的点比右边的点小。

注意：若题目没有说明，则默认地面为 $0$ 势能面；若题目已经说明，则选用题目给定的 $0$ 势能面。有些大题可以自己选用 $0$ 势能面，一般情况下选用题目中最低的平面作为 $0$ 势能面，目的是保证所有的重力势能都为正，方便计算。

特征

物体的重力势能 $E_{PG}$ 与 $0$ 势能面的选取有关；但重力势能的变化量 $\Delta E_{PG}$ 与 $0$ 势能面的选取无关。

注意：题目中「势能的变化量」是末状态势能 $-$ 初状态势能，有可能为负。若题目直接求「势能的减少量」，此时一般都是大势能 $-$ 小势能，一般都为正。

重力势能与功的关系

重力势能反应的是物体对外做功的能力，物体所具有的重力势能越大，其做功的本领就越强。有

即重力做的功等于负的重力势能的变化量。所以重力做功会改变重力势能，具体来说：重力做正功 $\to$ 能量减少；重力做正功 $\to$ 能量增多。

一般通过此式将求重力势能的问题转化为求重力做的功。

弹性势能

定义

弹簧由于形变所具有的能量，一般用 $E_{P~弹}$ 表示，单位是焦耳 $\pu J$。其定义式为

该表达式不需要记忆。

所以弹性势能与劲度系数 $k$ 和形变量 $\Delta x$ 有关。对于同一根弹簧：

• 形变量越大，弹性势能越大。
• 形变量越小，弹性势能越小。

注意：形变既不是长度，也不是位移，

弹性势能与功的关系

如图所示，物体固定在弹簧的一端移动，当物体活动端位于 $B$ 时恰好处于原长。则：

• 当弹簧从 $B \to A$ 移动，由于弹力水平向右，位移水平向左，所以弹力做负功，形变量变大（从无到有），弹性势能增大。
• 当弹簧从 $B \to C$ 移动，由于弹力水平向左，位移水平向右，所以弹力做负功，形变量变大（从无到有），弹性势能增大。
• 当物体从 $A \to B$ 运动，由于弹力水平向右，位移水平向右，所以弹力做正功，形变量变小（从有到无），弹性势能减小。
• 当物体从 $A \to C$ 运动，从 $A \to B$ 做负功，从 $B \to C$ 做正功，且 $B$ 点恰好处于原长，$AB = BC = x$，所以弹力做功总体为 $0$。

结论：

弹簧弹力做功，会改变弹性势能：

• 弹力做正功，弹性势能减小。
• 弹力做负功，弹性势能增大。
• 弹簧弹力做功 $W_N = - \Delta E_{P~弹}$，即弹力做功的正负与弹性势能增大/减小呈反向关系。一般通过此式将求弹性势能的问题转化为求弹力做的功。

同理重力势能，弹性势能的变化量 $\Delta E_{P~弹}$ 是末状态弹性势能 $-$ 初状态弹性势能。所以弹力做功等于负的弹性势能的变化量。

注意：对于所有的势能，都有对应力做功等于负的对应势能的变化量。

内能（热能）

定义

内能用发热量 $Q$ 表示，定义为负的一对滑动摩擦力做的总功。

对于定义的理解：

1. 首先必须是滑动摩擦力，而不是静摩擦力。
2. 然后是一对滑动摩擦力做的总功：一般情况下一对滑动摩擦力作用在两个物体上，假设是 $A,B$，则这里的总功即为 $A$ 对 $B$ 的摩擦力做的功加上 $B$ 对 $A$ 的摩擦力做的功，即 $W_合 = W_{A \to B} + W_{B \to A}$。

那么有

这里的 $\Delta s$ 指的是两物体 $A,B$ 相对运动的路程。

由于一对滑动摩擦力做的总功是负的（前面常见力做功的正负涉及过），那么放热量一定是正的。

注意：摩擦力做负功则放热，但是摩擦力做正功并不是吸热。

总结：

• 重力做功等于负的重力势能变化量。
• 弹力做功等于负的弹性势能变化量。
• 发热量（内能）等于负的一对摩擦力做的总功。

机械能守恒

机械能

定义

机械能是势能和动能的总和。

注意：势能中只包含重力势能和弹性势能，不包含电势能。

表达式：

不同情况下的机械能

单个物体：

单个物体 + 弹簧的系统：

多个物体：

机械能守恒的条件

本质

势能与动能的互相转化。

不同情况下机械能守恒的条件

单个物体：

即重力势能与动能的相互转化。例如：当一个物体重力做了 $\pu{10 J}$ 的功，根据 $W_G = - \Delta E_{PG}$ 可知重力势能减小了 $\pu{10 J}$，此时只有重力做功，那么 $W_合 = W_G = \Delta E_k$，所以动能增大了 $\pu{10 J}$。根据 $W_机 = E_{PG} + E_k$ 可知机械能守恒。

所以除了重力之外做的功整体为 $0$ 时机械能守恒，即重力做功不改变机械能，除了重力之外的力做功才会改变机械能。

注意：只有重力做功机械能守恒这句话并不准确。比如涉及到三个力重力 $G$，摩擦力 $f$ 以及合外力 $F$ 做功时，假设 $W_G = \pu{10 J},W_f = \pu{-5 J},W_F = \pu{5 J}$，那么此时并非只有做功，但可以分析得到机械能守恒。

单个物体 + 弹簧的系统：除了重力和系统的内力以外做的功为 $0$ 时机械能守恒。

多个物体：除了系统内各个重力，和系统内各个物体的相互作用力做功以外做的功为 $0$ 时机械能守恒。

机械能与做功的关系

除重力 $G$ 以外的力做功 $=$ 机械能的变化量。

• 除重力外其它力做正功，则机械能增大。
• 除重力外其它力做负功，则机械能减小。

总结：重力势能、弹性势能和内能与对应力做功（重力、弹力和摩擦力做功）的变化负相关，即做多少功，能量就减小多少；动能和机械能与其对应力（合外力、除重力 $G$ 之外其它的力）做功呈正相关，即做多少功，能量就增加多少。

机械能守恒的判断

一般情况下，此类题都是针对「单个物体」的情况，所以这里只以单个物体为例。

判断方法：

• 看除了重力是否还有其它力做功，或其它力做功之和是否为 $0$ 来判断。例如除了重力还有摩擦力做功，则机械能不守恒。
• 根据 $E_机 = E_{PG} + E_k$，分别考虑 $E_{PG}$ 和 $E_k$ 的变化判断。例如 $E_k = 0$，$E_{PG}$ 不断变化，则机械能不守恒。

---

例：在下列情况下机械能守恒的有（）

A. 在空气中匀速下落的降落伞

B. 在竖直面做匀速圆周运动的物体

C. 做自由落体运动的物体

D. 沿斜面匀速下滑的物体

分析：

对于选项 A：降落伞受力分析可知除了重力做功还有空气阻力做功，除重力外做功不为 $0$，所以机械能不守恒；或者考虑到 $E_{机} = E_{PG} + E_k$，由于物体匀速下滑（速度不变），所以 $E_k = 0$，物体下落， 所以 $E_{PG}$ 减小，所以机械能减小。

对于选项 B：由于做匀速圆周运动，所以速度不变，所以动能不变；而物体在竖直平面内做匀速圆周运动，说明重力势能在改变，所以根据 $E_机 = E_{PG} + E_k$ 可知机械能不守恒。

对于选项 C：做自由落体运动的物体只有重力做功，所以机械能守恒。

对于选项 D：由 AB 分析同理，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小。

功能关系转化

知识总结

负相关功能关系：

• 重力势能：$W_G =- \Delta E_{PG} = -(E_{PG~末} - E_{PG~初})$。
• 弹性势能：$W_G = - \Delta E_{P~弹} = - (E_{P~弹末} - E_{P~弹初})$。

正相关功能关系：

• 动能：$W_合 = \Delta E_k = E_{k~末} - E_{k~初}$。
• 机械能：$W_{除~G} = \Delta E_机$。

特殊：内能：$Q =$ 负的一对摩擦力做功之和。

关键：要利用动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 把除了动能之外的其它能量都转化为功。

例题

例 1（弹簧 - 动能定理）：如图所示，光滑水平面 $AB$ 与竖直面内光滑的半圆形导轨在 $B$ 点衔接，导轨半径为 $R$，一个质量为 $m$ 的静止物块在 $A$ 处压缩弹簧，释放物块后再弹力作用下获得一向右速度，当它经过 $B$ 点进入导轨达到最高点 $C$ 时，对轨道的弹力大小恰好等于其重力，已知重力加速度为 $\mathrm g$，求释放物体前弹簧储存了多大的弹性势能？

分析：

由于题目告诉了 $C$ 点的受力情况（对轨道的弹力大小恰好等于其重力），那么考虑对 $C$ 点的物块受力分析有

题目求弹性势能，考虑将其转化为弹力做功。考虑对物块选取从 $A \to C$ 的运动段分析，此时重力 $G$ 和弹力做功，那么有

由于当物块处于 $C$ 点时，弹簧为原厂，所以 $E_{P~弹末} = 0$，那么根据 $W_弹 = - \Delta E_{P~弹}$ 可得 $E_{P~弹初} = W_弹 = 3 m \mathrm g R$。

所以释放物块前弹簧储存了 $3 m \mathrm g R$ 的弹性势能。

---

例 2（机械能 - 动能定理）：一个小球从空中的 $a$ 点运动到 $b$ 点的过程中，重力做功 $\pu{5 J}$，除重力之外其它力做功 $\pu{2 J}$，则小球（）

A. 在 $a$ 点的重力势能比在 $b$ 点少 $\pu{5 J}$

B. 在 $a$ 点的动能比在 $b$ 点多 $\pu{7 J}$

C. 在 $a$ 点的机械能比在 $b$ 点少 $\pu{2 J}$

D. 在 $a$ 点的机械能比在 $b$ 点多 $\pu{2 J}$

分析：

首先对小球从 $a$ 点到 $b$ 点的运动段分析，那么根据动能定理有

那么由于重力做功 $\pu{5 J}$，所以重力势能减小 $\pu{5 J}$，所以 $a$ 点重力势能比 $b$ 点多 $\pu{5 J}$；合外力做功 $\pu{7 J}$，所以动能增大 $\pu{5 J}$，所以 $a$ 点动能比 $b$ 点少 $\pu{7 J}$；除了重力其它力做功 $\pu{2 J}$，所以机械能增大 $\pu{2 J}$，所以 $a$ 点机械能比 $b$ 点少 $\pu{2 J}$。

多物体题型

多物体机械能守恒

相关知识&技巧

使用前提：无外部干扰，系统自发运动，如：释放小球，小球下落。

适用范围：符合旋转杆模型或不用分解速度的绳模型。

规定：选取整个运动中达到的最低点为零势能面。

列式（以下三个缺一不可）：

1. 能量守恒定律表达式：

   $$E_初 = E_末$$

   即初始能量等于最终能量。

2. 关联速度表达式（两个物体速度之间的关系）：

   若是旋转关联：

   $$v = r \omega$$

   即单个物体中的所有点角速度 $\omega$ 相同（在曲线运动中涉及过）。

   若是绳、杆关联：① 找到实际运动（合运动）；② 绳、杆方向建系分解合运动；③ 根据沿绳、杆速度大小相等列等式。（同样在曲线运动涉及过）

3. 若题目涉及单个物体的物理量，则可能需要列单个物体的动能表达式：

   $$W_1 + W_2 + W_3 + \cdots + \Delta E_k$$

解题步骤：

1. 选取零势能面。
2. 列出能量守恒定律表达式。
3. 列出关联速度定律表达式。
4. （选）若涉及单个物体物理量，列出单个物体动能表达式。
5. （选）若题目涉及具体的力，考虑对单个物体进行受力分析求解。
6. 计算：注意一般情况下此类题目给定的数据都较为复杂，所以大部分情况下答案都是带根号的，所以若计算得到没有带根的答案则需要检查。

基础题型示例

长为 $L$ 的轻杆两端分别固定有质量为 $m$ 的小铁球，杆的三等分点 $O$ 处有光滑的水平转动轴。用手将该装置固定在杆恰好水平的位置，然后由静止释放，当杆到达竖直位置时：

1. 求 $1$ 和 $2$ 的速度是多少？
2. 轻杆对 $1$ 和 $2$ 做的功分别是多少？
3. 此时杆对 $2$ 的力是多少？

分析：

对于第一问：

首先选取 $D$ 点所在平面为零势能面。

然后列出能量守恒定律表达式如下：

注意：

• 这里 $E_初$ 和 $E_末$ 都较为复杂，所以最好按照先考虑每个物体的重力势能，再考虑每个物体动能的顺序列式，保证不重不漏。
• 这里代入各个物体的质量和速度时，最好代入 $m_1,m_2,v_1,v_2$ 而非 $m,v$，这是为了防止后续计算出错。

然后再列出关联速度表达式，此时 $1$ 和 $2$ 都是同一个绕中心旋转的杆上的点，所以 $\omega_1 = \omega_2$，那么根据 $v = r \omega$ 可知 $v_1 = \dfrac 1 2 v_2$。将其代入上述能量守恒表达式得：

那么根据 $v_1 = \dfrac 1 2 v_2$ 可得 $v_1 = \sqrt{\dfrac 2 {15}\mathrm g L}$。

注意：这里得到的 $v_2$ 带根的结果不需要化简。

---

对于第二问：

题目问的是杆对物体做的功，属于单个物体的物理量，那么考虑列出单个物体的动能表达式。

那么先对 $1$ 物体从 $A \to B$ 运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，且不知道杆是否对 $1$ 做功，那么假设杆做功了，根据动能定理有：

同理，对 $2$ 物体从 $C \to D$ 运动段分析，此时做功的力为重力 $G$，且不知道杆是否对 $2$ 做功，假设做功，则根据动能定理有：

总结：

• 当不知道某个力是否做功时，可以先假设其做功，然后列式计算求得该力做的功，如果求得功为 $0$，则说明 没有做功，反之则做功。
• 观察发现，杆对 $1$ 和 $2$ 的做功之和恰好为 $0$，此时对于整个系统而言，只有重力做功，这验证了两物体构成的系统机械能守恒。

结论：

由于题目中说的是「轻杆」，说明其没有质量，所以该轻杆没有能量。那么它虽然可以做功，但做功得到的能量不能在其内部储存，所以它做的功必须传递到另一个物体中。所以轻杆相当于一个媒介，起到传递能量的作用。

综上所述，轻杆/轻绳总功一定为 $0$。借助此结论，当遇到类似本题的两物体题目时，若求得轻杆/绳对其中一个物体做功为 $x$，则轻杆/绳对另一个物体的做功为 $-x$。

---

对于第三问：

由于问的是力，所以考虑对此时 $2$ 物体受力分析有：

注意：

• 对于 $2$ 的运动，$r = \dfrac 2 3 L$ 而不是 $L$。
• 不能将第二问中轻杆做功的结论推到第三问力上，即此时轻杆对 $1$ 的力并不能直接求得是 $- \dfrac 9 5 m \mathrm g$，需要通过计算求得。

总结：

此题后两问求解时都会用到第一问的结论，实际上有些题目不一定会直接求第一问，而是直接求第二问，但是对于大题而言整体的做题步骤从第一问开始求是必要的。所以要遵循此类题目的解题步骤，这里的解题步骤在任何题目下都是通用的。

多物体动能定理

适用范围：所有的多物体题型。

解题步骤：相较于「多物体机械能守恒」除了将第 2 步的「列出能量守恒定律表达式」改为「列出整体的动能定理表达式」外，其它均无变化。

重要结论：轻杆/轻绳总功一定为 $0$。理由在上面已经说清楚，这里不做赘述。

示例：

这里以上述「多物体机械能守恒 - 基础题型示例」的第 1 问作为例题，示范「多物体动能定理」如何解题：

首先列出整体的动能定理表达式。对 $1,2$ 整体从水平到竖直的整个运动段分析，由于轻杆做功一定为 $0$，所以此时只有两物体的重力 $G_1$ 和 $G_2$ 做功，那么根据动能定理 $W_合 = \Delta E_k$ 有

同样根据 $v_1 = \dfrac 1 2 v_2$ 可求出 $v_1$ 和 $v_2$。