【文化课学习笔记】【物理】牛二力学
【物理】牛二力学
牛顿第二定律
公式
其中 \(F_合\) 指的是合外力，即物体所受的所有力合成的力。
方向
\(F_合\) 的方向与 \(a\) 的方向一致。
牛二正交分解
- 建系：建立合适的坐标系，让尽可能多的力在坐标轴上。一般以 \(a\) 的方向为 \(x\) 轴，与 \(a\) 方向垂直的方向为 \(y\) 轴。（这样可以保证 \(y\) 轴上的力一定平衡）
- 分解：分解不在坐标轴上的力。
- 列式：对于某方向平衡时：上 = 下 或 左 = 力；对于某方向不平衡时，\(F_合 = 大 - 小\)。
求解拉力作用最短时间的方法技巧
定义：位移 \(x\) 一定，对物体施加一个拉力，让其从开始运动到中间某一时刻后，撤去外力，让它自行减速滑到终点，当滑到终点时速度恰好为 \(0\)（恰好静止），此时整个过程中拉力作用的时间即为拉力作用的最短时间。
运动过程：
- 匀加速直线运动：从起点出发，到撤去外力前；
- 匀减速直线运动：从撤去外力开始，到最后静止。
方法：
-
对「撤去外力前」的物体进行受力分析，求得加速过程中的加速度 \(a_1\)；
-
对「恰好撤去外力时」的物体进行受力分析，求得减速过程中的加速度 \(a_2\)；
-
画出「整个运动过程」的 \(v-t\) 图像：先加速后减速，如图所示。
-
设所求为 \(t\)，根据图像列式求解得到 \(t\)。（此时图像中封闭的三角形面积等于位移）
【模型】弹簧运动模型
判断加速/减速的方法：看 \(a,v\) 符号：①\(a,v\) 同号 \(\to\) 加速运动；②\(a,v\) 异号 \(\to\) 减速运动。
其中加速度 \(a\) 的方向与 \(F_合\) 方向相同，速度 \(v\) 的方向与物体运动的方向相同。
过程分析：
- 物体刚接触到弹簧时：受到较大的重力 \(G\) 和较小的弹簧弹力 \(F_N\)，\(F_合\) 竖直向下，加速度 \(a\) 竖直向下，速度 \(v\) 竖直向下，做加速运动；
- 从物体接触到弹簧到向下运动（\(F_N < G\)）时：受到较大的重力 \(G\) 和较小的弹簧弹力 \(F_N\)，且 \(F_N\) 随着弹簧压缩量 \(x\) 的增大而增大，\(F_合\) 竖直向下，大小逐渐减小，加速度 \(a\) 竖直向下，速度 \(v\) 竖直向下，做加速度减小的加速运动。
- 临界点（\(F_N = G\)）时：当 \(F_N\) 增大到与 \(G\) 大小相等时，\(F_合 = 0\)，物体处于平衡状态，\(a=0\)，此时速度 \(v\) 达到最大值。
- 从临界点到速度减小为 \(0\) 前：受到较小的重力 \(G\) 和较大的弹簧弹力 \(F_N\)，且 \(F_N\) 随着弹簧压缩量 \(x\) 的增大而增大，\(F_合\) 竖直向上，大小逐渐增大，加速度 \(a\) 竖直向上，速度 \(v\) 竖直向下，做加速度增大的减速运动。
- 速度减小为 \(0\) 时：弹簧压缩量达到最大，\(F_N\) 达到最大，\(F_合\) 达到最大，\(v=0\)。
【模型】绳子倾角模型
问题模型：如图，已知绳子倾角 \(\theta\)，求小车的加速度 \(a\) 的大小。
受力分析：小球受自身重力 \(G\) 和绳子拉力 \(T\)。
所以根据受力分析可以求出物体的加速度 \(a\) 的大小为 \(\mathrm g\tan \theta\)。
问题：
- 运动状态：根据受力分析可知，\(F_合\) 水平向右。所以当物体向左运动时，\(v\) 向左，做减速运动；当物体向右运动时，\(v\) 向右，做加速运动。
- 对于与之相关的其他物体的受力分析：根据小球的 \(F_合\) 求出 \(a\) 的加速度方向，从而判断出其他物体受力（大概率是摩擦力）的受力方向。
斜面多段运动
将整个运动分为多过程，对于每个过程都进行受力分析，计算求解。
有关牛二运动学基础计算的常见易错点及注意事项
- \(f= \mu F_N\) 代入 \(F_N\) 的表达式计算 \(f\) 时，不要忘记前面的 \(\mu\)。
- 代入值计算时，例如 \(a = \mu \mathrm g\) 中 \(g\) 表示的是重力加速度而非质量。
- 对于有斜面的问题时，若题目求得是高度不要求成长度。
- 当某物体从斜面上冲上，到达最高点，判断能否下滑时，应该判断 \(\mu\) 和 \(\tan \theta\) 的大小关系：
- 当 \(\mu < \tan \theta\) 时，能继续下滑；
- 当 \(\mu \ge \tan \theta\) 时，不能继续下滑。
- 对于与运动学结合的题目，要善用速度位移公式 \(2ax = v^2 - {v_0}^2\)
超重与失重
超重
加速度 \(a\) 的方向向上时（或在竖直方向有向上的分加速度），物体处于超重状态。
失重
加速度 \(a\) 的方向向下时（或在竖直方向有向下的分加速度），物体处于失重状态。
当加速度 \(a = \mathrm g\) 时（大小方向均相等），处于完全失重状态。
解题技巧及注意事项
- 受力分析时一般分析与其他物体接触最少的物体。
- 对于「某人在地面上最多能举起质量为 \(\pu{80kg}\) 的重物」的理解：手对物体的支持力为 \(\pu{800N}\)。
- 加速度 \(a\) 的方向始终与合外力 \(F_合\) 的方向相同，有时可以根据这个判断是否存在摩擦力以及摩擦力的方向。
单物体弹簧突变
特点
弹簧弹力无法突变。
原因：\(F = k\Delta x\)，所以只有位移产生明显变化时，\(F\) 才会改变，在弹簧断裂的一瞬间 \(x\) 还没有发生明显变化，所以 \(F\) 不会突变。
解题方法
- 计算弹簧弹力；
- 把弹簧弹力看成外力，重新受力分析。
易错点及注意事项
- 受力分析得到的 \(F_合 = ma\) 中，注意 \(m\) 前面的系数，例如 \(2m\) 不要写成 \(m\)。
- 若剪断弹簧，则弹簧的弹力变为 \(0\)。
- 遇到需要正交分解求解加速度的问题，可以考虑受力分析时正交分解和力的合成求出 \(F_合\) 的方向及大小。
- 对于未知物体状态（运动还是静止）的题目求摩擦力，首先应该判断物体受静摩擦还是滑动摩擦（或者物体的运动状态）。
分解加速度
建系优先级
- 若题目所求的两个力相互垂直，则按照这两个力的方向为坐标轴建系。注意：此时需要分解不在坐标轴上的所有物理量，例如除了力还可能有加速度 \(a\)。
- 否则按照加速度 \(a\) 的方向建系。
多物体牛二
解题思路
- 先后顺序：首先考虑接触面少的物体进行受力分析。
- 相互作用：画出与已分析的物体会产生相互作用的力的物体对应的力。
- 不断重复第二步。
解题方法——整体法
【使用条件】加速度 \(a\) 相同。
【目的】快速求加速度 \(a\) 或求外力。
做题时，一般可以先考虑能否用整体法，优先考虑整体法，再考虑隔离法。
【模型】一静一动模型
含义：一个物体平衡（加速度为 \(0\)）另一个物体加速度不为 \(0\)。静：静止不动（相对地面），即加速度为 \(0\) 且速度为 \(0\)。
求解：按照上述解题方法进行受力分析列式求解。
【模型】连接体
推导
其中模型一 ~ 模型五属于同一类（绳子时直的），模型六~模型八属于同一类（绳子是弯的）。
一般前一类可以用整体法，后一类一般只能用隔离法。
模型一
如图所示，已知 \(m_A,m_B,F\)，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)（水平地面光滑）。
首先判断两物体加速度是否相同。一般有两种判断方法：
- 题目中有「一起」或「共同」运动之类的字眼。
- 分类讨论两个物体之间的加速度的大小关系（大于、小于和等于）。
此题考虑分类讨论：
- 当 \(a_A > a_B\) 时，\(v_A\) 会逐渐超过 \(v_B\)，绳子会出现松弛，所以物体 \(A\) 只受到重力和支持力，在竖直方向上平衡，就不可能有加速度，所以这种情况不可能出现。
- 当 \(a_A < a_B\) 时，\(v_B\) 会逐渐超过 \(v_A\)，绳子会断掉，所以这种情况也不可能出现。
综上所述，一定有 \(a_A = a_B\)。
对 \(A,B\) 整体受力分析得：
由于 \(A\) 的接触面更少，所以接下来对 \(A\) 受力分析得：
模型二
如图所示，已知 \(m_A,m_B,F\)，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)。
同理可知 \(a_A = a_B\)。所以对 \(A,B\) 整体受力分析：
注意加速度的表达式尽量化到最简。
对 \(B\) 受力分析：
模型三
如图所示，已知 \(m_A,m_B,F,\theta\)，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)（斜面光滑）。
对 \(A,B\) 整体受力分析得：
对 \(A\) 受力分析得：
模型四
如图所示，已知 \(m_A,m_B,F\)，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)（水平地面粗糙）。
对 \(A,B\) 整体受力分析得：
对 \(A\) 受力分析得：
模型五
如图所示，已知 \(m_A,m_B,F,\theta\)，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)（斜面粗糙）。
对 \(A,B\) 受力分析得：
对 \(A\) 受力分析得：
模型六
如图所示，已知 \(m_A,m_B\)，\(B\) 物体加速下滑，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)（地面光滑）。
由于此时 \(a_A\) 和 \(a_B\) 的方向不同，所以不能采用整体法，故采用隔离法。
对 \(A\) 受力分析：
对 \(B\) 受力分析：
\((1) + (2)\) 得：
代入 \((1)\) 得：
模型七
如图所示，已知 \(m_A,m_B\)，\(A\) 物体加速下滑，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)。
此时 \(a_A\) 与 \(a_B\) 加速度方向相反，大小相同。
对 \(A\) 受力分析：
对 \(B\) 受力分析：
\((1) + (2)\) 得：
代入 \((2)\) 得：
模型八
如图所示，已知 \(m_A,m_B\)，\(A\) 物体加速下滑，求绳子拉力 \(T\) 和加速度 \(a\)（鞋面光滑）。
对 \(B\) 受力分析：
对 \(A\) 受力分析：
\((1) + (2)\) 得：
代入 \((2)\) 得：
例题
如图所示，\(n\) 个质量为 \(m\) 的木块并列放在光滑水平地面上，当用水平力 \(F\) 推木块 \(1\) 时，木块 \(3\) 与木块 \(4\) 之间的相互作用力大小是多少。
分析：
发现 \(1 \sim n\) 的所有物体加速度相同，以所有物体为研究对象受力分析得：
由于求的是木块 \(3\) 和木块 \(4\) 之间的作用力，所以考虑以 \(4\sim n\) 的所有物体为整体受力分析得：
技巧&总结：当物体的数量较多时，可以考虑隔离其中一部分物体作为整体利用整体法求解。
【模型】多物体弹簧突变
解题方法
- 计算弹簧弹力；
- 把弹簧弹力看成外力，重新受力分析。
一般情况下，受力分析中只有「外力」和「重力」可以直接明确算出大小，其他均需要通过受力分析求出。
例题
如图所示，吊篮 \(A\)，物体 \(B\)，物体 \(C\) 的质量分别为 \(m,3m,2m\)，\(B\) 和 \(C\) 分别固定在弹簧两端，弹簧的质量不计。\(B\) 和 \(C\) 在吊篮的水平底板上处于静止状态，将悬挂吊篮的轻绳剪断的瞬间（）
A. 吊篮 \(A\) 的加速度大小为 \(\mathrm g\)
B. 物体 \(B\) 的加速度大小为 \(\mathrm g\)
C. 物体 \(C\) 的加速度大小为 \(\pu{2g}\)
D. \(A、B、C\) 的加速度大小都等于 \(\mathrm g\)
分析：
对 \(B\) 物体受力分析可求得弹簧弹力 \(F_N = \pu{3mg}\)。
将弹簧弹力当成外力，再对装置各个部分受力分析。
首先以 \(B\) 为研究对象受力分析可得
对 \(C\) 受力分析发现它受到 \(A\) 对它自身的支持力 \(F_支\) 未知，对 \(A\) 受力分析也无法求出 \(F_支\)，考虑 \(A,C\) 能否使用整体法，从而避免求出两者之间的内力。
分类讨论 \(a_A\) 和 \(a_C\) 的大小关系如下：
- 若 \(a_A > a_C\)，则 \(v_A > v_C\)，此时 \(A\) 与 \(C\) 不接触，那么 \(A\) 只受重力，此时加速度为 \(\mathrm g\)，\(C\) 受到弹簧的外力和自身重力，可求得此时重力为 \(\pu{2.5g}\)，与 \(a_A > a_C\) 矛盾，舍去。
- 若 \(a_A < a_C\)，则 \(v_A < v_C\)，此时物体 \(C\) 会穿透物体 \(A\)，不符合逻辑，舍去。
所以 \(a_A = a_C\)，可以整体法分析。
对 \(A,C\) 整体受力分析得：
故选 C。
【模型】叠加体
与连接体的区别：连接体是靠弹力连接物体，叠加体靠摩擦力连接物体。
推导
模型一
如图所示，已知 \(m,M,F\)，两物体一起向右做加速运动，求 \(m\) 的摩擦力是多少（地面光滑）？
由于两物体相对静止，所以他们之间的摩擦力是静摩擦力，同时两物体加速度相同，可利用整体法。
对两物体整体受力分析：
由于 \(m\) 的接触面更少，所以对 \(m\) 隔离单独进行受力分析：
模型二
如图所示，已知 \(m,M,F\)，两物体一起向右做加速运动，求 \(m\) 的摩擦力是多少（地面光滑）？
对两物体整体受力分析：
对 \(M\) 受力分析：
模型三
如图所示，已知 \(m,M,F\)，两物体沿斜面向上做匀加速运动，求 \(m\) 的摩擦力是多少（地面光滑）？
对两物体整体受力分析：
对 \(m\) 受力分析：
模型四
如图所示，已知 \(m,M,F\)，两物体沿斜面向上做匀加速运动，求 \(m\) 的摩擦力是多少（地面粗糙）？
对两物体整体受力分析：
对 \(m\) 受力分析：
叠加体相对滑动临界问题
解题思路
- 找到不受外力的物体。
- 通过隔离法求出 1 中物体的最大加速度 \(a\)。
- 整体法求外力 \(F\)。
例题
如图所示，光滑水面上放置质量分别为 \(m\) 和 \(2m\) 的四个木块，其中两个质量为 \(2m\) 的木块间用一根不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是 \(2\mu m \mathrm g\)，现用水平拉力 \(F\) 拉其中一个质量为 \(m\) 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对 \(2m\) 木块的最大拉力是多少？
分析：
当 \(F\) 过大时，由于摩擦力有最大值，会导致 \(F\) 所作用的物体 \(m\) 与和它接触的 \(2m\) 发生相对滑动，
由于题目中涉及两对木块会产生摩擦力，所以需要分类讨论哪一对先达到最大摩擦力 \(2\mu m \mathrm g\)。可以考虑将 \(2\mu m \mathrm g\) 分别代入两对木块将其作为它们的摩擦力，分别计算出对应的 \(F\)，则得到的 \(F\) 更小的一对即为先达到最大静摩擦力的一对。
若左边这对木块间的摩擦力是 \(2 \mu m \mathrm g\)，考虑对质量为 \(m\) 进行受力分析：
对整个装置整体受力分析：
若右边这对木块间的摩擦力是 \(2\mu m \mathrm g\)，考虑对质量为 \(2m\) 的物体进行受力分析可求得两物体的摩擦力水平向右，发现此时对任何单独物体隔离都无法直接求出 \(a\)（因为有外力 \(F\) 和绳子拉力 \(T\) 未知），考虑重新利用整体法。
如图所示，考虑将红框部分作为一个整体受力分析：
对整个装置作为整体受力分析：
由于 \(\dfrac{12}{5}\mu m \mathrm g < 12\mu m \mathrm g\)，所以右边的两个木块先达到最大摩擦力 \(2\mu m \mathrm g\)。
对右边下方质量为 \(2m\) 的物体受力分析：
另解：
根据连接体的推导可知，如果我们将上图中整个红框看作一个整体，那么相当于红框部分不受外力，非红框部分受到向右的外力 \(F\)，令红框部分与非红框部分的摩擦力为 \(f_1\)，那么有：
\[f_1 = \dfrac 5 6 F \]同时将两边两个叠加木块分别看作一个整体，相当于左边两个木块叠加整体不受外力，令绳子拉力为 \(T\)，则：
\[T = \dfrac{1}{2}F \]再将下图红框部分作为一个整体。
令红框部分与非红框部分是 \(f_2\)，则：
\[f_2 = \dfrac 1 6 F \]由于木块间最大摩擦力 \(f_{\max}\) 是 \(2\mu m \mathrm g\)，随着 \(F\) 的逐渐增大，\(f_1\) 会先达到最大值 \(f_{\max}\)。
考虑计算此时的最大拉力 \(T\)，那么有：
\[T = \dfrac 1 2 F = \dfrac 1 2 \times \dfrac 6 5 f_1 = \dfrac 3 5 f_{\max} = \dfrac{6}{5}\mu m \mathrm g \]
技巧&总结：
要善用整体思想，例如：求上图左侧两物体之间的摩擦力，考虑将红框作为一个整体看待；求绳子拉力 \(T\)，考虑将绳子左右两边隔开分别当作一个整体来看。
【模型】等时圆
基本思想
设物理量：
- 一般要设题目给定的「不变量」，例如下面的模型一，斜面高相同（不变），所以设高度；模型二，斜面底相同（不变），所以设底面长度。
- 遇到圆要设半径 \(R\)。
- 一般还需要设斜面倾斜角度 \(\theta\)。
模型一
如图所示，一小球从点 \(O\) 分别无初速度释放，沿斜面 \(OA,OB,OC\) 滑动到 \(A,B,C\)，求从点 \(O\) 到 \(A,B,C\) 中哪个点的用时最短（斜面光滑）。
设斜面与水平面的夹角为 \(\theta\)，\(OP = H\)，则对小球受力分析可知此时 \(a = \mathrm g \sin \theta\)，小球初速度 \(v_0 = 0\)。
根据运动学公式 \(2ax = {v_t}^2 - {v_0}^2\) 可知：
所以小球从三个斜面上滑下末速度相同。
又由于 \(t = \dfrac{\Delta v}{a} = \dfrac{v_t}{\mathrm g \sin \theta}\)，所以斜面倾斜角度 \(\theta\) 越大，\(t\) 越小，所以从斜面 \(OA\) 滑下用时最短。
模型二
如图所示，一小球分别从 \(A,B,C\) 三点无初速度释放，沿着斜面 \(AO,BO,CO\) 滑动到 \(O\) 点，求从哪个斜面滑下用时最短（斜面光滑）。
设斜面与水平面的夹角为 \(\theta\)，\(OP = L\)，则对小球受力分析可知此时 \(a = \mathrm g \sin \theta\)，小球初速度 \(v_0 = 0\)。
根据运动学公式 \(x = \dfrac 1 2 a t^2\) 可知：
当 \(\theta \in [0^\circ,90 ^\circ]\) 时，\(2\theta \in [0^\circ,180^\circ]\)，此时 \(\sin 2\theta\) 在 \([0^\circ,45^\circ]\) 上单调递增，在 \((45^\circ,90^\circ]\) 上单调递减。所以 \(t\) 在 \([0^\circ,45^\circ]\) 上单调递减，在 \((45^\circ,90^\circ]\) 上单调递增。若三个斜面倾斜角度分别是 \(30^\circ,45^\circ,60^\circ\)，则 \(30^\circ\) 与 \(\ce{60^\circ}\) 结果相同，都大于 \(45^\circ\) 的用时。
模型三
如图所示，在该圆的最高点 \(O\) 静止释放一个小球，分别沿斜面 \(OA,OB,OC\) 滑下，则到达 \(A,B,C\) 的用时大小关系是什么（斜面光滑）。
设圆的半径为 \(R\)，设斜面与竖直直线 \(OA\) 的夹角为 \(\theta\)，则对小球受力分析可知 \(a = \mathrm g \cos \theta\)，小球初速度 \(v_0 = 0\)。
根据直径所对圆周角是直角，可得斜面长度 \(x = 2R \cos \theta\)，根据 \(x = \dfrac 1 2 a t^2\) 可知：
所以时间 \(t\) 只与半径 \(R\) 有关，故在同一个圆内，到达 \(A,B,C\) 用时相同。
模型四
如图所示，在该圆的 \(A,B,C\) 三点分别静止释放一个小球，分别沿着斜面 \(AO,BO,CO\) 滑下，则到达 \(O\) 点的用时大小关系是什么（斜面光滑）。
设圆的半径为 \(R\)，设斜面与竖直直线 \(OB\) 的夹角为 \(\theta\)，则对小球受力分析可知 \(a = \mathrm g \cos \theta\)，小球初速度 \(v_0 = 0\)。
根据直径所对圆周角是直角，可得斜面长度 \(x = 2R\cos \theta\)，根据 \(x = \dfrac 1 2 a t^2\) 可知：
所以时间 \(t\) 只与半径 \(R\) 有关，故在同一个圆内，到达 \(O\) 点用时相同。
注意：等时圆必须保证起点或终点在圆上最高点或最低点。
【模型】斜面滑块
基本思路&步骤与多物体牛二的解题思路相同。
注意：
- 计算斜面滑块问题时，如果题目未说明物块的运动状态，需要先判断物块是静止还是运动。（见下方例题）
- 对于受力分析时摩擦力方向不能直接确定时，可以考虑假设一个方向，然后求出摩擦力，根据求出的正负判断。
例题
如图所示，已知木块质量 \(m = \pu{1 kg}\)，斜面质量为 \(M = \pu{3 kg}\)，斜面的倾角 \(\theta = 37^\circ\)，斜面上表面 \(\mu = 0.5\)，地面粗糙，现静止释放 \(m\)，\(M\) 始终不动，问 \(M\) 受到的静摩擦力为多大？
由于题目未告诉 \(m\) 的运动状态，所以需要先判断它与 \(M\) 是否相对静止。
对 \(m\) 受力分析可知 \(G_x = m \mathrm g \sin \theta\)，最大静摩擦力（滑动摩擦力）\(f_{\max} = \mu m \mathrm g \cos \theta\)，求得 \(G_x > f_{\max}\)，所以物块 \(m\) 沿斜面向下滑动。
对 \(m\) 受力分析可知：
对 \(M\) 受力分析，假设 \(M\) 受到地面的摩擦力 \(f\) 方向水平向右，则：
由于 \(\mu \cos \theta - \sin \theta < 0\)，所以 \(f\) 方向应该水平向左。所以 \(f = m \mathrm g \cos \theta \sin \theta - \mu m \mathrm g\cos^2 \theta\)。
判断摩擦力方向
方法技巧
当受力分析时不能确定某个力的方向（一般是摩擦力 \(f\)）时，可以考虑将某两个力合成求解问题。
例题
例 1：如图所示，木块在斜面上，斜面（粗糙）始终静止。求以下情况地面对 \(M\) 的摩擦力方向：
- 木块在斜面上恰好可以匀速下滑。
- 木块在斜面上加速下滑。
- 木块在斜面上减速下滑。
分析：
当木块在斜面上可以匀速下滑时：
对木块 \(m\) 进行受力分析，此时木块保持平衡状态，可得到木块受到的支持力 \(F_N\) 和 \(M\) 对它的摩擦力 \(f\) 的合力 \(F\) 与其重力 \(m\mathrm g\) 大小相等，方向相反，作用在同一直线上，且这个合力 \(F\) 的施力物体只有 \(M\)。
再对斜面 \(M\) 进行受力分析，根据「力的作用是相互的」可知木块 \(m\) 对 \(M\) 的作用力 \(F'\) 与 \(F\) 的大小相等，方向相反，作用在同一直线上。此时 \(M\) 在水平方向上相当于不受力。所以要使得 \(M\) 保持静止，那么对应水平方向上受力平衡，所以不可能存在地面对 \(M\) 的摩擦力。
当木块在斜面上加速下滑时：
对木块 \(m\) 进行受力分析，并合成支持力 \(F_N\) 和 \(M\) 得到 \(F\)，由于木块加速度向下，所以可推出 \(F\) 在竖直线左边，即左上方向。
再对斜面 \(M\) 进行受力分析，此时 \(M\) 受到 \(m\) 的作用力合力 \(F'\) 的方向是右下方向，即在竖直线右边， 所以在 \(x\) 轴正方向有分力，要使得 \(M\) 静止，则 \(f\) 水平向左。
同理可知，当木块在斜面上减速下滑时：\(f\) 水平向右。
例 2：如图所示，木块在斜面上匀速下滑，斜面（粗糙）始终静止。则在此方向上对木块 \(m\) 施加一个外力 \(F\)，则此时地面对 \(M\) 的摩擦力方向是什么。
首先考虑施加外力前，根据上题第一种情况的分析可知，\(m\) 对 \(M\) 的作用力合力竖直向下，\(M\) 在水平方向上不受力。
施加外力 \(F\)，会增大竖直向下方向上的分力，所以竖直方向上其他力不变的情况下，由于竖直方向受力平衡，竖直向上的 \(F_N\) 就会增大，同时由于 \(f = \mu F_N\) 所以 \(f\) 与 \(F_N\) 等比例增大，所以他们的合力也会方向不变的等比例增大，那么 \(m\) 对 \(M\) 的作用力合力方向依然竖直向下，\(M\) 在水平方向上依旧不受力，所以地面对 \(M\) 的摩擦力不会存在。
通过上面两道例题可以看出：
- 当斜面粗糙程度不变（即例 1 的第一种情况和例 2）只改变外力时，不会影响地面对 \(M\) 的摩擦力；
- 只有粗糙程度改变（例 1 的三种情况），才会影响地面对 \(M\) 的摩擦力。
【模型】传送带
求解步骤
- 受力分析：先对初始状态下的物体进行受力分析，再对与传送带共速时的物体进行受力分析（因为共速时的摩擦力的性质可能会发生变化）。
- 根据受力分析列式子求加速度。
- 根据所求加速度画出 \(v-t\) 图象。
- 根据图象求解问题。
注意：
- 在计算共速时摩擦力时，需要计算比较最大静摩擦力（滑动摩擦力）与 \(G_x\) 的关系。
- 对于解答题，\(v-t\) 图象是解答题过程的一部分，需要写在卷面上。
- 对于判断传送到从某地到某地时间的问题，一般可以通过初始状态时的受力分析和 \(v-t\) 图象先判断到达终点时加速度是否改变，再分段求解。
相对位移
物体相对传送带的位移计算公式为：
一般物体的位移 \(x_物\) 题目会直接告诉，传送带由于始终匀速，所以其位移 \(x_传 = vt\)。
划痕
问题模型：一煤块被放上传送带，经过某段距离后，离开传送带，问其对传送带的划痕是多少。
一般有两种情况。
情况一——单方向位移
物体始终相对于传送带只进行了「一段位移」，即物体相对于传送带只发生了一次单方向位移。
一般情况下是物体初始时速度 \(v_物<\) 传送带 \(v_0\)，后 \(v_物 = v_0\)。
求解：实际上划痕可以转化为物块相对于传送带的位移大小，即 \(|x_相|\)。
那么有：
在 \(v-t\) 图像上表示如下（其中 \(v_0\) 表示传送带的速度，煤块从 \(0\) 开始加速至与传送带共速）：
则划痕表示为图中灰色阴影部分面积。
情况二——多方向位移
物体相对于传送带进行了「多段位移」，即物体相对于传送带多次在不同方向发生位移。
一般情况下是物体初速度 \(v_物 <\) 传送带 \(v_0\)，后 \(v_物 > v_0\)。
求解：此时划痕为多段位移 \(x_1,x_2,\cdots\) 中位移大小最大的一次，即 \(|x_{\max}|\)。所以只需要求出所有的位移，比较大小即可。
最短通过时间
问题模型：将一物体放在传送带的起点，问：如果物体想要以最短时间由起点到终点，则传送带至少要多大的速度传送。
第一段运动：物体从初速度为 \(0\) 到与传送带共速的加速阶段，由于物体加速度 \(a\) 与传送带速度无关，所以不管传送带的速度是多少，\(a\) 始终保持不变，做加速度确定的匀加速直线运动。
第二段运动：当物体的速度与传送带相同时，物体要么与传送带保持共速，要么做加速度 \(<\) 原加速度的减速运动。
要使得物体通过传送带的时间最短，则须保证「第一段运动」尽可能长，又要传送带速度最小，则 \(v_{\min} = \sqrt{2ax}\)，其中 \(a\) 表示第一段运动的加速度，\(x\) 表示传送带起点到终点的距离。
物体末速度
注：此类型的题目一般在选择题中出现。
问题模型：物体以一初速度 \(v_0\) 送上传送带起点，问传送带速度为 \(v_传\) 时，物体达到终点时的末速度是多少。
这里以水平传送带为例。
求解：
-
当 \(v_0 = v_传\) 时，则全程物体保持匀速直线运动，物体速度保持不变。
-
当 \(v_0 < v_传\) 时，物体有加速度，且此时加速度大小与传送带速度无关。所以可以先受力分析求出加速度 \(a\)，再根据公式 \(2ax = {v_t}^2 - {v_0}^2\) 求出物体到达终点时的末速度 \(v_t\)。
分析可知：当 \(v_t \le v_传\) 时，物体全程会保持同一加速度加速至终点，末速度为 \(v_t\)；当 \(v_t > v_传\) 时，物体会先加速到 \(v_传\) 然后以 \(v_传\) 匀速直线运动至终点，末速度为 \(v_传\)。
-
当 \(v_0 > v_传\) 是，物体会以和上一种情况大小相同，方向相反的加速度减速运动，同样可以受力分析求出 \(a\)，根据上述公式求出到达终点时的末速度 \(v_t\)。
分析可知：当 \(v_t \ge v_传\) 时，物体全程会保持同一加速度减速至终点，末速度为 \(v_t\)，当 \(v_t < v_传\) 时，物体会先减速到 \(v_传\) 然后以 \(v_传\) 匀速直线运动至终点，末速度为 \(v_传\)。
【模型】板块模型
分类
板块模型的题目：
- 按照有无外力分为「有外力」和「无外力」两种类型，其中「无外力」情况中一般物体会有初速度。
- 按照粗糙/光滑分为「地面光滑」、「地面粗糙 \(+\) \(\mu_地 < \mu_滑\)」和「地面粗糙 \(+\) \(\mu_地 > \mu_滑\)」三种类型。
做题思路
工具：
- 受力分析：「初始状态」、「共速状态」和「突发状态」三种情况需要受力分析。
- 图象：\(v-t\) 图象。其中位移是用图形围成的面积所表示，且 \(x\) 轴下方的位移是负的。
方法：钩子法（先整体后隔离）。
适用范围：共速且不受外力。
内容：
首先假设滑块木板能够一起向右运动，则对整体受力分析，可知 \(a_1 = \mu_地 \mathrm g\)，此时滑块木板一起向右做减速运动。再隔离滑块，对其受力分析，可知 \(a_2 = \mu_滑 \mathrm g\)。这里的 \(a_2\) 相当于单个滑块所能达到的最大加速度，\(a_1\) 相当于滑块木板一起运动的加速度。
此时有两种情况：
当 \(a_2 < a_1\) 时，即 \(\mu_滑 < \mu_地\) 时，滑块和木板之间发生相对滑动，此时滑块和木板的加速度不同，所以只能使用隔离法。
当 \(a_2 > a_1\) 时，当 \(\mu_滑 > \mu_地\) 时，滑块和木板一起运动，此时滑块和木板加速度相同，可以使用整体法。
无外力 \(+\) 地面光滑
如图所示，一足够长的木板在水平地面上滑动，速度 \(v = \pu{10 m/s}\) 时，将一相对地面静止的物块轻放在木板右端，物块的质量 \(m = \pu{1 kg}\)，木板的质量 \(M = \pu{2 kg}\)，地面光滑，物块与木块间的动摩擦因数 \(\mu_1 = 0.4\)，\(\mathrm g\) 取 \(\pu{10 m/s^2}\)。
- 经过多长时间物块相对木块停止运动？
- 木块相对于木板的位移是多少米？
分析：
初始状态，考虑先对物块受力分析可得物块的加速度 \(a_1 = \mu_1 \mathrm g = \pu{4 m/s^2}\)，再对木板受力分析得木板加速度 \(a_2 = \dfrac{\mu_1 m g}{M} = \pu{2m/s^2}\)。此时物块向右做加速运动，木板向右做减速运动，两者最后会共速。绘制出 \(v-t\) 图象如下：
所以在交点对应位置，两者共速（即物块相对木板停止运动）。
设物块初速度为 \(v_0\)，木板初速度为 \(v_1\)，那么此时有：
木块相对于木板的位移
在 \(v-t\) 上对应以下阴影部分：
此时 \(x_相 = \dfrac 1 2 \times \dfrac 5 3 \times 10 = \dfrac {25} 3\ \pu m\)。
无外力 \(+\) 地面粗糙
\(\mu_地 < \mu_滑\)
如图所示，一足够长的木板在水平地面上滑动，速度 \(v = \pu{10 m/s}\) 时，将一相对地面静止的物块轻放在木板右端，物块的质量 \(m = \pu{1 kg}\)，木板的质量 \(M = \pu{2 kg}\)，物块与木块间的动摩擦因数 \(\mu_1 = 0.4\)，木板与地面间的动摩擦因数 \(\mu_2 = 0.1\)，\(\mathrm g\) 取 \(\pu{10 m/s^2}\)。
- 木板和物块相对静止后还能向前滑行的距离是多少？
- 整个过程中木板的位移、物块的位移和木块相对木板的位移分别是多大？
分析：
初始状态，先对物块受力分析得物块加速度 \(a_1 = \mu_1 \mathrm g = \pu{4 m/s^2}\)，再对木板受力分析得模板加速度 \(a_2 = \dfrac{\mu_1 m \mathrm g + \mu_2(M\mathrm g + m\mathrm g)}{M} = \pu{3.5 m/s^2}\)。此时物块向右做加速运动，木块向右做减速运动，最后两者共速。
两者共速时，不受外力，所以考虑使用「钩子法」，由于此时 \(\mu_1 > \mu_2\)，所以物块和木板保持共速，对它们整体受力分析得整体得加速度 \(a = \pu{1 m/s^2}\)。绘制 \(v-t\) 图象如下：
设物块初速度为 \(v_0\)，木板初速度为 \(v_1\)，那么此时有：
所以可求出交点处两者速度为 \(v = a_1 t = \dfrac {16} 3\ \pu{m/s}\)。
那么两者相对静止后向前滑动的时间 \(t = \dfrac v a = \dfrac {16}{3}\ \pu{s}\)，此时位移为下方阴影部分面积：
所以位移 \(x = \dfrac 1 2\times \dfrac {16} 3 \times \dfrac {16} 3 = \dfrac {128} 9\ \pu m\)。
物体运动的位移就是下方阴影部分面积：
所以 \(x_物 = \dfrac 1 2\times \dfrac {20} 3 \times \dfrac {16} 3 =\dfrac{160}{9}\ \pu m\)。同理可求出木板的位移&木块相对木板的位移，这里不做赘述。
\(\mu_地 > \mu_滑\)
如图所示，一足够长的木板在水平地面上滑动，速度 \(v = \pu{10 m/s}\) 时，将一相对地面静止的物块轻放在木板右端，物块的质量 \(m = \pu{1 kg}\)，木板的质量 \(M = \pu{2 kg}\)，物块与木块间的动摩擦因数 \(\mu_1 = 0.4\)，木板与地面间的动摩擦因数 \(\mu_2 = 0.6\)，\(\mathrm g\) 取 \(\pu{10 m/s^2}\)。
- 物块与木板何时共速？
- 物块、木板和物块相对木板的位移是多大？
- 要使得物块全程不滑出木板，木板最少要多长？
- 物块对木板的划痕有多长。
分析：
初始状态，先对物块受力分析得物块加速度 \(a_1 = \pu{4 m/s^2}\)，再对木板受力分析得木板加速度 \(a_2 = \pu{11 m/s^2}\)。物块向右做加速运动，木板向右做减速运动，若干时间后两者共速。
此时两者共速，且不受外力，考虑「钩子法」，由于 \(\mu_1 < \mu_2\)，所以物块与木板产生相对滑动，采用隔离法对他们单独受力分析。
首先对共速时得物块受力分析，此时物块为了与木板保持共速（即一起向右做加速度减小的减速运动，加速度向左），会受到木板对它向左的摩擦力，得物块加速度 \(a_3 = \pu{4m/s^2}\)，方向与 \(a_1\) 相反。再对共速时的木板受力分析，求得木板此时的加速度 \(a_4 = \pu{7m/s^2}\)。
设物块初速度为 \(v_0\)，木板初速度为 \(v_1\)，那么此时有：
绘制 \(v-t\) 图象如下：
那么此时木块的位移用下图阴影部分表示：
所以 \(x_物 = \dfrac 1 2 \times \dfrac 8 3 \times \dfrac 4 3 = \dfrac {16}9\ \pu m\)。同理可求得 \(x_木\)，这里不做赘述。
那么物块相对木板的位移就是 \(x_物 - x_{木}\)。
起初物块的速度 \(<\) 木板的速度，所以物块相对木板向后运动，当两者共速时，物体相对木块向后运动的距离最大，紧接着物体的速度 \(>\) 木块的速度，所以物体开始相对于物块向前运动。那么木块最短长度即为两者共速之前物块相对木板向后运动的距离。
所以木板最短长度应该为下图阴影面积：
划痕则为下图两部分阴影面积中较大的一块：
有外力
做题思路
首先求出外力 \(F\) 的最大值 \(F_{\max}\)。
具体：
- 找到加速度 \(a\) 能够最大的物体（一般是不受外力的物体）。
- 将其隔离进行受力分析。
- 求出它的加速度 \(a\)。
- 对整体受力分析求出 \(F_{\max}\)。
那么若实际外力 \(F > F_{\max}\)，则物块与木板之间发生相对滑动，采用隔离法；若 \(F \le F_{\max}\)，则物块和木板之间不发生相对滑动，二者保持共速。
例题
如图所示，光滑水平面上静止放着长 \(L = \pu{1.6 m}\)，质量为 \(M = \pu{3 kg}\) 的木板（厚度不计），一个质量为 \(m = \pu{1 kg}\) 的小物体放在木板的最右端，\(m\) 和 \(M\) 之间的动摩擦因数 \(\mu = 0.1\)，今对木板施加一水平向右的拉力 \(F\) （\(\mathrm g\) 取 \(\pu{10 m/s^2}\)），如果拉力 \(F = \pu{10 N}\)，要使小物体从木板上掉下去，拉力 \(F\) 的作用时间至少为多少？
由于 \(B\) 的加速度存在最大值，所以先对 \(B\) 单独受力分析，可得到最大加速度 \(a = \pu{1m/s^2}\)，再对 \(AB\) 整体受力分析得 \(F_{\max} = \pu{4N}\)。
由于 \(F = \pu{10 N > 4 N}\)，所以 \(A\) 与 \(B\) 会发生相对滑动，所以此时 \(a_B = \pu{1m/s^2}\)，对 \(A\) 受力分析可得 \(a_A = \dfrac{F-\mu m\mathrm g}{M} = \pu{3 m/s^2}\)。
随着时间增大，\(v_A > v_B\)，\(A\) 比 \(B\) 快，\(B\) 相对于 \(A\) 向后运动。此时撤去外力 \(F\) 时，\(v_B\) 仍然大于 \(v_A\)，且 \(v_B\) 做减速运动，\(A\) 相对于 \(B\) 仍然有向后的相对位移。考虑对撤去外力 \(F\) 时的 \(A\) 物体进行受力分析得到 \(a\) 物体新的加速度为 \({a_B}' = \dfrac 1 3 \ \pu{m/s^2}\)，方向向后，所以 \(A\) 物体以该加速度做减速运动，此时 \(B\) 依然保持原来的加速度做加速运动，所以某时刻两物体会共速。
两物体共速时，不受外力。所以考虑使用「钩子法」，由于下表面光滑，下表面粗糙，所以二者能够保持共速一起运动。整体法对 \(AB\) 进行受力分析可知二者处于平衡状态，所以它们会一起向右做匀速直线运动。
绘制 \(v-t\) 图象如下：
要使得小物块恰好从木板上滑下，则图中阴影部分面积应该为 \(\pu{1.6 m}\)。拉力 \(F\) 作用的时间即为图中的 \(t\)。
当时间为 \(t\) 时，\(B\) 物体的末速度为 \(t\ \pu{m/s}\)，\(A\) 物体的末速度为 \(3t\ \pu{m/s}\)，所以图中的蓝线（即直线将原阴影部分面积分成的两个三角形的公共底）应该是 \(2t\ \pu{m/s^2}\)。设从 \(t\) 开始到 \(A\) 和 \(B\) 达到共速时经过的时间为 \(t_0\)，那么根据共速有
那么有
