【数学】函数（上）

概念

【本质】唯一确定的对应。

【定义】

一般地，设 $A,B$ 是非空的实数集，如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f: A\to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作

其中，$x$ 叫做自变量，$x$ 取值范围 $A$ 叫做函数的定义域；与 $x$ 的值相对应的 $y$ 值叫做函数值，函数值的集合 $\{f(x)|x \in A\}$ 叫做函数的值域。

【条件】

1. 对应前后都是数：数集到数集的对应。
2. 任意一个 $x$ 只有唯一确定的 $y$ 与之对应：「一对多」或「多对一」。

「一对一」指的是函数中 $x$ 和 $y$ 是一一对应的关系。

「多对一」指的是函数中一个 $x$ 只对应一个 $y$，但一个 $y$ 可能有多个 $x$ 与之对应。

求函数定义域

一般方法：找函数中对自变量的限制条件，将其转化为不等式求解定义域。

常见限制条件

• 分母不为 $0$：例如在 $\dfrac{1}{x}$ 中，$x \ne 0$。
• 偶次根号下非负：例如 $\sqrt{x}$ 中，$x \ge 0$。
• $0$ 次方底数不为 $0$：例如 $x^0$ 中，$x \ne 0$。
• 对数后面（真数）大于 $0$：例如 $\log_a x$ 中，$x >0$。
• 正切定义域：例如 $\tan x$ 中，$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi,k\in \mathrm{Z}$。

判断相同函数

一般方法：定义域和对应法则均相同。

对应法则相同的含义：对于 $\forall x$，都有 $f(x) = g(x)$。

注意：相同的函数值域也相同。因为当定义域和对应法则相同时，对应的值域也一定相同。

求函数值域

一般方法

求解方法：

1. 利用函数单调性；
2. 结合图像；
3. 其他情况：转化为 1 2。

画函数图像时，需要明确目的。例如求值域的函数图像我们只需要知道其单调性，即只需要画出开口和对称轴。其他信息可不画。

求根式型函数的值域

只有一个根式

对于函数中只有一个根式的函数，可考虑换元。例如 $f(x) = \sqrt{x-2} - 2x + 3$，可考虑令 $t = \sqrt{x-2}$。

一般步骤：

1. 求定义域：求出函数的定义域。
2. 换元：将根式换元，并写出换元后字母的取值范围。
3. 将原函数中其他含有自变量的式子用换元后的字母表示。
4. 将得到的新的函数关系式按照一般方法求解。

注意：得到的新的函数是以换元后字母的取值范围为定义域求解，而非原自变量的取值范围。

换元的本质是「升次」，即增加原来的项的次数，所以可以根据函数本身各项的次数推断出换元后函数的类型。例如：$f(x) = \sqrt{x - 2} - 2x +3$ 换元后是一个二次函数。

含有两个根式

求解方法：

• 对于函数根号下的自变量 $x$ 互为相反数的问题，可考虑给函数两边同时平方。此时可转化为只含一个根号的函数，可利用只含有一个根式的方法求解，也可先求出根式的取值范围再转化求出函数的取值范围。
• 若函数根号下不互为相反数，则求导解决。在此不做赘述。

一般步骤：

1. 求定义域：注意要把题目中隐含的所有对于定义域的不等式全部列出，不要遗漏。
2. 观察函数关系式根据不同情况下的求解方法求解。

求分式型函数的值域

求解方法：分离常数（拆分）法。

分离常数具体方法

【方法一】

适用范围：分子分母都为一次（一次比一次）或容易直接配凑拆分。

求解：在分子上凑出分母。

例：

然后根据反比例函数图像求解。即：该函数是将 $y = - \dfrac{5}{x}$ 向左平移一个单位，向上平移两个单位得到的函数，则可以画出对应函数图像后求解。

【方法二】

适用范围：分子分母一个二次一个一次（二次比一次或一次比二次）

求解：对分母换元，将分母设为单独的字母 $t$，再将分子中其它字母换成用 $t$ 表示的式子，直接拆分化简即可。

例：

在 $f(x) = \dfrac{2x - 3}{x + 1}$ 中，令 $t = x+1$，则 $x = t - 1$。

所以有：

注意：

• 此种方法可不写字母 $t$ 的取值范围，因为 $t$ 在分母上相当于默认 $t \ne 0$。
• 对于分母和分子分别是一次和二次的情况，一般谁是一次项谁换元为 $t$。（并不都是把分母换元为 $t$）
• 对于将分子换元的情况，需要讨论 $t=0$ 的情况。且一般将函数取倒数之后求出倒数的范围，再通过反比例函数转化为对应范围上原函数的值域。

【方法三】

适用范围：分子分母都是二次。

求解：先将分子的二次项拆分，从而转化为 常数 $+$ 一次比二次 的形式，转化为【方法二】求解。

总结

$\dfrac{一次}{一次}$：设分母为 $t$，拆分 $\to$ 原式 $= \dfrac{at + b}{t} = a + \dfrac{b}{t}$。

$\dfrac{二次}{一次}$：设分母为 $t$，拆分 $\to$ 原式 $= \dfrac{at ^2 + bt + c}{t} = at + \dfrac{c}{t}+b$。

$\dfrac{一次}{二次}$：设分子为 $t$，拆分 $\to$ 原始 $= \dfrac{t}{at^2 + bt +c} = \dfrac{1}{\dfrac{at^2+bt + c}{t}} = \dfrac{1}{at + \dfrac{c}{t} + b}$（注意讨论 $t = 0$）。

$\dfrac{二次}{二次}$：拆分 $\to$ 原式 $=$ 常数 $+ \dfrac{一次}{二次}$。

求值域

• 对于得到的新函数只有一个含 $t$ 的代数式，先求化简得到后反比例函数部分的值域，再转化为原函数值域。
• 对于新函数中出现形如 $t + \dfrac{a}{t}$ 这样类似于对勾函数的项，可转化为对勾函数求值域问题求解。

对勾函数求值域

求解思路：画出对勾函数图像，根据基本不等式求解。其中对勾函数在第一象限最低点的横坐标和第三象限最高点的横坐标就是基本不等式的取等条件。

例：求 $f(x) = t + \dfrac{9}{t} +5$ 的值域。

所以当 $t > 0$ 时，

等号成立 $\iff t = \dfrac{9}{t}$，即 $t = 3$，此时 $t + \dfrac{9}{t} = 6$。

同理，当 $t < 0$ 时，根据对称性可得，$t = -3$，此时 $t + \dfrac{9}{t} = -6$。

所以 $t + \dfrac{9}{t} \ge 6$ 或 $t + \dfrac{9}{t} \le - 6$。那么 $f(x)$ 的值域范围是 $(- \infty,-1] \cup [11,+\infty)$。

小结论：对于自变量 $x$ 没有范围，且分子分母都是一次的分式，设其一次项系数之比为 $a$，则函数值域是 $y \ne a$。

函数概念的深入理解

一个题型

对于「存在函数 $f(x)$ 满足，对任意 $x \in \mathrm{R}$ 都有 $f(t) =k$」类型的问题，其中 $t$ 和 $k$ 是有关自变量的表达式。实际上相当于问是否有一个函数使得 $t$ 和 $k$ 是一一对应的关系，即已知 $t$ 时，$k$ 的值是否唯一确定。

范围类问题

求解：求解范围类问题的一个一般方法是转化成函数求解。

单调性（增减性）

定义

文字定义

如果对于定义域 $I$ 内某个区间 $D$ 上的任意两个自变量的值 $x_1,x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，那么就说函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是增函数。即：$x_1 - x_2$ 和 $f(x_1) - f(x_2)$ 同号。

如果对于定义域 $I$ 内某个区间 $D$ 上的任意两个自变量的值 $x_1,x_2$，当 $x_1 > x_2$ 时，都有 $f(x_1) > f(x_2)$，那么就说函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上是减函数。即：$x_1 - x_2$ 和 $f(x_1) - f(x_2)$ 异号。

注意：单调区间是定义域的子区间。求单调区间必须先求定义域。

符号定义

常见函数的单调性

一次函数

一次函数 $f(x) = kx+b$ 单调性取决于一次项系数 $k$ 的正负。

• 当 $k>0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上单增。
• 当 $k < 0$ 时，$f(x)$ 在 $R$ 上单减。

二次函数

二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c(a \ne 0)$ 单调性取决于对称轴 $+$ 开口方向。

• 当 $a > 0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(- \infty,- \dfrac{b}{2a}\right)$ 上递减，在 $\left(-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)$ 上递增。
• 当 $a < 0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right)$ 上递增，在 $\left(-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)$ 上递减。

反比例函数

反比例函数 $f(x) = \dfrac{k}{x}(k \ne 0)$ 单调性取决于 $k$ 的正负。

• 当 $k > 0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上递减。
• 当 $k < 0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上递增。

根号函数

根号函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增。（如下图）

幂函数

幂函数 $f(x) = x^n,n \in \mathrm{N^*}$ 的单调性取决于 $n$ 的奇偶性。

• 当 $n$ 为正奇数时，$f(x)$ 在 $R$ 上单调递增。
• 当 $n$ 为正偶数时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上递减，在 $(0,+\infty)$ 上递增。

指数函数

指数函数 $f(x) = a^x(a > 0 ~且 ~a \ne 1)$ 的单调性取决于 $a$ 的取值范围。

• 当 $a > 1$ 时，$f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上递增。（下方图一）
• 当 $0 < a <1$ 时，$f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上递减。（下方图二）

对数函数

对数函数 $f(x) = \log_a x(a > 0~ 且~ a\ne1)$ 的单调性取决于 $a$ 的范围。

• 当 $a > 1$ 时，$f(x)$ 在 $(0 , +\infty)$ 上递增。（下方图一）
• 当 $0 < a <1$ 时，$f(x)$ 在 $(0 , +\infty)$ 上递减。（下方图二）

判断方法

定义法

任取定义域内的 $x_1 < x_2$，计算并判断 $f(x_1) - f(x_2)$ 的正负。

单调性的运算性质

性质一

性质二

• 增函数 $+$ 增函数 $=$ 增函数。

• 减函数 $+$ 减函数 $=$ 减函数。

注意：函数相减可转化为函数相加。

性质三

若 $f(x),g(x) > 0$，$f(x),g(x)$ 均为增（减）函数，则 $f(x)\cdot g(x)$ 是增（减）函数。

注意：增 $\times$ 增不一定结果增函数。

复合函数同增异减

对于函数 $y = f(g(x))$：

• 当 $f(x)$ 与 $g(x)$ 增减性相同时，$y = f(g(x))$ 为增函数。
• 当 $f(x)$ 与 $g(x)$ 增减性相反时，$y = f(g(x))$ 为减函数。

步骤：

1. 求定义域：求出原函数的定义域。
2. 拆分：将原函数拆分成几个较为简单的函数。
3. 判断：最后根据拆分得到的每个函数的增减性得到原函数的增减性。

求导

将在导数部分介绍。

分段函数单调性

问题模型：给定某分段函数单调递增/递减，求参数的取值范围。

要求：

1. 每一段的增减性相同（均单增/单减）。
2. 分段处，前一段的纵坐标 $\le$ 后一段纵坐标（单增）或前一段纵坐标 $\ge$ 后一段纵坐标（单减）。

求解步骤：

1. 根据每一段函数需要满足的要求建立所求参数的不等式。
2. 根据分段处需要满足的要求建立所求参数不等式。
3. 解每一个不等式求交集得到所求参数的取值范围。

应用

处理含 $f$ 的不等式或方程

问题模型：题目中有关于形如 $f_k > f_t$ 等含有 $f$ 的不等式或方程，一般需考虑利用函数单调性求解。

求解：

• 若 $f(x)$ 递增，则：

  $$f(a) > f(b) \iff a > b\\f(a) < f(b) \iff a < b\\f(a) = f(b) \iff a = b$$

• 若 $f(x)$ 递减，则：

  $$f(a) > f(b) \iff a < b\\f(a) < f(b) \iff a > b\\f(a) = f(b) \iff a = b$$

例题：

函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的单调函数，$f(f(x) - x + 1) = 1$，则 $f(3)$ 是多少。

由 $f(f(x) - x + 1) = 1$ 且原函数是单调函数，可知：$f(x) - x + 1$ 是常数。

证明：

反证法。

若 $f(x) - x + 1$ 不是常数，则可设存在两个 $x \in \mathrm{R}$ 使得 $f(x) - x + 1 = a$ 或 $f(x) - x + 1 = b$，代入题目原式得 $f(a) = 1$ 且 $f(b) = 1$，所以 $f(a) = f(b)$。又由于原函数是单调函数，所以 $a = b$，所以 $f(x) - x +1$ 为定值，与「$f(x) - x + 1$ 不是常数」矛盾。所以 $f(x) - x +1$ 是常数。

所以设 $f(x) - x + 1 = a$，所以 $f(x) = x - 1 + a$，又由「证明」得 $f(a) = 1$，所以 $a - 1 + a = 1$，得到 $a = 1$，代入 $f(3)$ 可得 $f(3) = 3$。

构造函数比大小

问题模型：需要比较的式子/数结构相同时，一般通过构造函数来比较大小。

求解：

1. 将不等式左右两边结构相同的式子中不同的部分设成 $x$，构造函数 $f(x)$ 求解。
2. 如果变量同时出现在左右两边，可以通过代数变形的方式将两变量分开，分居左右两侧，再构造函数。
3. 如果初步构造出的函数未知单调性，也可以通过函数变形使得该函数转化为已知单调性函数求解。

代数变形的一般方法：

• 遇到变量同时出现在左右两边，且以乘积的形式出现时，可以两边同时除以两个变量的乘积，例如 $3^{e-2}\pi$ 和 $3\pi^{e-2}$ 比较大小，等价于 $\dfrac{3^{e-2}}{3}$ 和 $\dfrac{\pi^{e-2}}{\pi}$ 比较大小。
• 若构造函数未知单调性，可利用性质 $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$，例如 $\log_{\pi} e$ 和 $\log_{3} e$ 比较大小，等价于 $\dfrac{1}{\ln \pi}$ 和 $\dfrac{1}{\ln 3}$​ 比较大小。
• 遇到变量同时出现在左右两边，且出现指数的形式时，可以两边同时取对数，例如比较 $a^b$ 和 $b^a$，可以两边取 $\ln$，从而比较 $\ln a^b$ 和 $\ln b^a$ 的大小，从而转化为比较 $b \ln a$ 和 $a \ln b$ 的大小。这样做正确的原因是函数 $y = \ln x$ 是单调递增的，且有性质 $\log_a b^n = n \log_a b$。

奇偶性

定义

文字定义

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，如果对 $D$ 内任意一个 $x$，都有 $-x \in D$，且 $f(-x) = -f(x)$，则这个函数叫做奇函数。

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，如果对 $D$ 内任意一个 $x$，都有 $-x \in D$，且 $f(-x) = f(x)$​，则这个函数叫做偶函数。

所以证明一个函数是奇函数，可以证明 $f(-x) = -f(x)$，也可以证明 $f(-x) + f(x) = 0$；证明一个函数是偶函数，可以证明 $f(x) = f(-x)$，也可以证明 $f(-x) - f(x) = 0$。

图像定义

奇函数的图像关于原点对称（如下方图一），偶函数的图像关于 $y$ 轴对称（如下方图二）。

常见函数的奇偶性

幂函数

幂函数 $f(x) = x^n,n\in \mathrm{Z}$ 的奇偶性取决于 $n$ 的奇偶性。

• 当 $n$ 为奇数时，该函数为奇函数。
• 当 $n$​ 为偶数时，该函数为偶函数。

绝对值函数

绝对值 $f(x) = |x|$​ 是偶函数。

正弦函数

正弦函数 $f(x) = \sin x$​ 是奇函数。

余弦函数

余弦函数 $f(x) = \cos x$ 是偶函数。

其他函数

• 函数 $f(x) = a^x + a^{-x}(a > 0~且~a \ne 1)$​​ 是偶函数。

• 函数 $f(x) = a^x - a^{-x}(a >0~且~a\ne 1)$ 是奇函数。

• 函数 $f(x) = \dfrac{1}{a^x + 1} - \dfrac{1}{2}(a > 0~且~a \ne 1)$ 是奇函数。

• 函数 $f(x) = \log_a\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)(a >0~且~a\ne 1,m \ne 0)$​ 是奇函数。

• 函数 $f(x) = \log_a(a^{2x} + 1) - x(a > 0~且~a\ne 1)$ 是偶函数。

反双曲正弦函数

反双曲正弦函数 $f(x) = \ln \left(\sqrt{1 + x^2} + x\right)$​​ 是定义域为 $\mathrm{R}$ 的单调递增的奇函数。

证明：

定义域：根据题意有

所以

奇偶性：根据题意有

将 $\sqrt{1 + x^2} - x$ 进行分子有理化得

根据 $\log_a \dfrac{1}{n} = -\log_a n$ 得

单调性：

在 $x\in[0,+\infty)$ 上，令 $t = \sqrt{1 + x^2} + x,y = \ln t$，由于 $t$ 和 $y$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增，所以 $f(x)$ 在 $[0, + \infty)$​ 上递增。

根据奇函数的对称性，原函数在定义域 $\mathrm{R}$ 上单调递增。

拓展：其变形函数函数 $f(x) = \log_a(\sqrt{1 + b^2x^2} + bx)(a > 0~且~a \ne 1)$ 是奇函数。证明方法同理反双曲正弦函数的证明。

判断方法

定义法

步骤：

1. 首先看定义域是否关于原点对称：若不对称，则一定是非奇非偶函数；若对称，去 2。
2. 验证 $f(-x)$ 和 $f(x)$ 的关系：
   • 若 $f(-x) = f(x)$，则是偶函数；
   • 若 $f(-x) = - f(x)$，则是奇函数；
   • 否则，是非奇非偶函数。

注意：判断分段函数的奇偶性也可以直接使用定义法，先判断定义域，再判断 $f(-x)$ 和 $f(x)$ 的关系。

例如：

$$f(x) = \begin{cases}x^2 + 3x - 4,&x>0\\0,&x=0\\-x^2 + 3x + 4,&x<0\end{cases}\Longrightarrowf(-x) =\begin{cases}-x^2 - 3x + 4,&x>0\\0,&x=0\\x^2 - 3x - 4,&x <0\end{cases}$$

由 $f(x)$ 可得定义域 $x \in \mathrm{R}$，计算得到 $f(-x)$，每一段相加得到 $f(x) + f(-x) = 0$，所以 $f(x)$ 是奇函数。

已知奇偶性求参数

• 已知 $f(x)$ 是奇函数求参数：$f(0) = 0,f(a) + f(-a) = 0$。
• 已知 $f(x)$ 是偶函数求参数：$f(a) = f(-a)$。

其中 $a$ 是定义域内任意常数。

注意：利用 $f(0) = 0$ 时必须保证 $0$ 在定义域内。且利用此方法得到的参数值由于是必要不充分条件，所以若计算得到的是两个值，需要代回到函数内验证是否是奇函数。

奇偶性的运算性质

性质一

若奇函数 $f(x)$ 的定义域中含有 $0$，则 $f(0) = 0$​。

若已知某个函数是奇函数，求函数中某参数的值，可以利用 $f(0) = 0$ 求出。

性质二

对于多项式函数 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$​：

• 若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(x)$ 不含偶次项（包括常数项）。
• 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(x)$ 不含奇次项。

注意：指数函数、对数函数、分段函数等均不属于多项式函数。

性质三

函数 $cf(x)$ 与 $f(x)$ 的奇偶性相同（$c$​ 是非零常数）。

性质四

• 奇函数 $\pm$ 奇函数 $=$ 奇函数。
• 偶函数 $\pm$ 偶函数 $=$​ 偶函数。
• （非零）奇函数 $\pm$ （非零）偶函数 $=$ 非奇非偶函数。
• 奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数。
• 偶函数 $\times$ 偶函数 $=$ 偶函数。
• 奇函数 $\times$ 偶函数 $=$ 奇函数。

应用

奇偶性的作用

正负转换：即已知 $x<0$ 或 $x>0$ 其中一边的信息，可直接复制出另一边的信息。

命题规律：给定 $x < 0$ 或 $x > 0$ 其中一边的信息，求另一边的信息。注意不要将求另一边的内容直接代入到给定的一边。

例：已知 $f(x)$ 是奇函数 ，$g(x)$ 是偶函数，且 $f(x) - g(x) = e^x$，则 $\dfrac{f(1)}{g(1)}$ 的值是多少。

分别令 $x = 1$ 和 $x = -1$ ，并根据函数奇偶性得：

$(1) + (2)$ 得：

$(2) - (1)$ 得：

$\dfrac{(3)}{(4)}$ 得：

偶函数 $+$ 单调性

若 $f(x)$ 为定义在 $\mathrm{R}$ 上的偶函数，且 $f(a) > f(b)$。

• 当 $f(x)$ 开口向上（如下方图一），即 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增时，有

  $$f(a) > f(b) \iff |a| > |b|$$

• 当 $f(x)$ 开口向下（如下方图二），即 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上递减时，有

  $$f(a) > f(b) \iff |a| < |b|$$

奇函数 $+$ 单调性

若 $f(x)$ 为定义在 $\mathrm{R}$ 上的奇函数，且 $f(a) + f(b) > 0$，则：

• 当 $f(x)$ 递增时，有

  $$f(a) + f(b) > 0 \iff a + b > 0$$

• 当 $f(x)$ 递减时，有

  $$f(a) + f(b) > 0 \iff a + b < 0$$

注意：

• 若题目中遇到 $f(a) + f(b)$ 型的式子，可以考虑验证 $f(x)$ 是否为奇函数，若是，则可直接求出其单调性求解。
• 若题目中给定的函数 $f(x)$ 定义域不是 $\mathrm{R}$，则需要代数式 $f(a) + f(b)$ 中的 $a$ 和 $b$ 都满足定义域。

奇偶性 $+$ 单调性

根据题意画出图像求解问题。

注意：画图时需要根据题目要求思考画图需要表示的点再求解。

利用奇函数解决最值问题

若函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(x)_{\max} + f(x)_{\min} = 0$。

例（2012 全国，文 16）：设函数 $f(x) = \dfrac{(x+1)^2 + \sin x}{x^2 + 1}$ 的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则 $M+m =~ ?$。

由于

其中 $y=2x$ 和 $y = \sin x$ 是奇函数，所以两者相加也是奇函数，又因为 $y = x^2 + 1$ 是偶函数，所以奇函数除以偶函数得到的 $f(x)-1$ 是奇函数。

所以令 $t = f(x) -1$，则 $t_{\max} + t_{\min} = 0$，所以 $f(x)_{\max} + f(x)_{\min} = t_{\max} + t_{\min} + 2 = 2$。

拓展：

此题也可以直接把 $f(x)$ 当作中心对称函数来看待，对称中心是 $(0,1)$。从而利用「对称性 - 应用 - 求和 - 中心对称」中的解题技巧求解。

对称性

轴对称—— $f(x)$ 关于 $x = a$ 对称

两种常见的表示方法：

• 可以表示为 $f(a + x) = f(a - x)$。
• 也可以表示为 $f(x) = f(2a - x)$。

本质特征：横坐标之和为定值 $2a$，纵坐标相等。

对称轴：$x = \dfrac{横坐标之和}{2}$。

中心对称—— $f(x)$ 关于 $(a,b)$ 对称

两种表示方法：

• $f(a + x) + f(a - x) = 2b$。
• $f(x) + f(2a - x) = 2b$。

本质特征：横坐标之和为定值 $2a$，纵坐标之和为定值 $2b$。

对称中心：$\left(\dfrac{横坐标之和}{2},\dfrac{纵坐标之和}{2}\right)$。

结论：

• 当中心对称函数 $f(x)$ 在对称中心 $x = a$ 上有定义，则 $f(x)$ 经过对称中心 $(a,b)$，即 $f(a) = b$
• 若 $f(x)$ 关于 $x = a$ 或关于 $(a,b)$ 对称，则可以根据 $f(x_0)$ 求出 $f(2a - x_0)$，这两个函数值在坐标轴上对称。

应用

求函数值

问题模型：某函数关于 $x = a$ 或关于 $(a,b)$ 对称，已知 $x < a$ 或 $x > a$ 其中一边的函数解析式，求某个函数值 $f(t)$。

求解：

• 若 $t$ 在已知函数的一边，则 $f(t)$ 直接代入给定函数解析式求解。
• 若 $t$ 在对称中心（$t=a$）上，则 $f(t) = b$。
• 若 $t$ 在未知函数的一边，则 $f(t)$ 可通过 $$f(a + x) + f(a - x) = 2b$$ 或 $f(x) + f(2a - x) = 2b$ 转化为已知函数的一边求解。

求函数解析式

题型一

问题模型：某函数关于 $x = a$ 或关于 $(a,b)$ 对称，已知 $x < a$ 或 $x > a$ 其中一边的函数解析式，求另一边的函数解析式。

求解：

根据 $f(x) + f(2a - x) = 2b$ 将 $f(x)$ 用 $f(2a- x)$ 表示，即 $f(x) = 2b - f(2a - x)$，再根据 $2a - x$ 在已知定义域的一边从而根据代入题目给定的函数解析式求出 $f(x)$。

题型二

问题模型：求解函数 $y = f(x)$ 关于 $x = a$ 或关于 $(a,b)$ 对称的函数。

求解：

• $y = f(x)$ 关于 $x = a$ 对称的函数是 $y = f(2a - x)$。
• $y = f(x)$ 关于 $(a,b)$ 对称的函数是 $y = 2b - f(2a - x)$。

求和

轴对称

对于函数 $f(x)$，其对称轴是 $x = a$，那么若 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 两两关于 $a$ 对称，则 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = na$。

注意：若题目求解两个对称轴均为 $x = a$ 的函数的交点横坐标之和，依然可以转化为对称性，利用此结论求解。因为两个函数的对称轴都是 $x = a$，那么说明其交点横坐标也是两两关于 $x = a$ 对称的。

中心对称

对于函数 $f(x)$，其对称中心为 $(a,b)$，那么若 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$ 关于 $(a,b)$ 对称，则 $(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + \cdots + (x_m + y_m) = ma + mb$。

对称性 $+$ 单调性解不等式

中心对称

问题特征：题目中出现 $f + f$ 型不等式。

思路：先考虑奇函数，再考虑中心对称。

求解：考虑不等式移项，再根据对称性将不等式右边变成一个 $f$ 值，最后根据单调性解不等式。

例：已知定义域为 $\mathrm{R}$ 的函数 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上单调递减，且 $f(4 - x) + f(x) = 6$，则使得不等式 $f(x^2 + x) + f(x+1) < 6$ 成立的实数 $x$ 的取值范围是多少。

根据

从而

由题意可得，$f(x)$ 关于 $(2,3)$ 对称，由于其在 $[2,+\infty)$ 上单调递减，所以 $f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递减。

所以得到 $x^2 + x > 3- x$，解得 $x < -3$ 或 $x > 1$。

轴对称

问题特征：题目中出现 $f < f$ 型不等式。

思路：先考虑偶函数，再考虑轴对称。

求解：利用轴对称（关于 $x = a$ 对称）+单调性解不等式 $f(x_1) < f(x_2)$，去掉 $f$ 后转化为 $|x_1 - a|$ 和 $|x_2 - a|$ 的大小关系。

例：已知 $f(x) = e^{|x+1|} + x^2 + 2x$，解不等式：$f(a + 2) < f(2a - 1)$。

由题意得 $y = x^2 +2x$ 和 $y = e^{|x+1|}$ 均关于 $x = -1$ 对称。

证明：

$y = x^2 + 2x$ 直接依照二次函数单调性，不做赘述。

对于 $g(x) = e^{|x|}$，向左平移一个单位会得到 $y = e^{|x+1|}$。

由于 $g(x) = e^{|x|}$ 是偶函数（$f(x) = f(-x)$），所以 $f(x)$ 关于 $x = -1$ 对称。

单调性：当 $x \ge -1$ 时，$f(x)$ 单调递增，所以 $f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递增。

所以

注意：若两个函数的对称轴相同，则他们相加的对称轴也相等，等于两个原函数对称轴。

总结

• $f > f$ 且 $f$ 递增或递减：直接去掉 $f$。
• $f > f$ 且 $f$ 有增有减：考虑 $f(x)$ 是偶函数或轴对称。
• $f + f > a$：考虑 $f(x)$ 是奇函数或中心对称函数。

三次函数的对称性

问题模型：给定函数 $f(x)$，问其是否是中心对称图形，若是，写出对应对称中心。

思路一

问题转化为：

是否 $\exists ~(a,b)$，使得 $f(a + x) + f(a - x) = 2b$ 对 $\forall x \in \mathrm{R}$ 成立。

将等式 $f(a + x) + f(a - x) = 2b$ 中各种函数值用题目已知函数解析式 $f(x)$ 替换并化简。

再根据恒成立问题的一般步骤「原式关于哪个字母恒成立，就整理成关于这个字母的式子」将化简后的式子整理成关于 $x$ 的式子。

最后让系数等于 $0$ 解出对称中心 $(a,b)$。

常见公式：

$$(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3$$

思路二

性质：任何一个中心对称的函数可以平移得到某个奇函数。

求解：根据此性质可以考虑将原函数变形从而观察出将其平移成奇函数的平移方法，从而得到其对称中心。

例：

所以可知，$f(x)$ 是由奇函数 $g(x) = x^3 - 9x$ 向左平移 $1$ 个单位，向上平移 $9$ 个单位得到。

所以 $f(x)$ 关于 $(-1,9)$ 对称。

结论

对于任意三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d(a \ne 0)$ 的图像是中心对称图形，其对称中心是 $\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$。

周期性

定义

对于函数 $f(x)$，如果存在一个非零常数 $T$，使得定义域内的每一个 $x$ 都满足 $f(x + T) = f(x)$，那么这个函数 $f(x)$ 就叫做周期函数，非零常数 $T$ 叫做这个函数的周期。

作用

当我们知道了函数 $f(x)$ 一个周期的信息，就可以知道整个定义域内的信息。

即，若 $T$ 为 $f(x)$ 的周期，则 $f(x) = f(x + kT),k\in \mathrm{Z}$。

应用

给出周期性的其他方式

方式一

若 $f(x)$ 满足 $f(x + a) = f(x + b)$，则 $f(x)$ 为周期函数，周期 $T=|a - b|$。

本质特征：纵坐标相等，横坐标之差为定值，其中周期 $=$ 横坐标之差。

注意与「对称性」里「轴对称」的本质特征区分：

• 轴对称：横坐标之和为定值。
• 周期性：横坐标之差为定值。

方式二——半周期

若 $f(x)$ 满足 $f(x + T) = - f(x)$，则 $f(x)$ 为周期函数，周期 $= 2T$。

理解：自变量每增加 $T$，$f(x)$ 都变为原来的相反数，所以增加 $2T$，就会变成他本身，即 $f(x) = f(x + 2T)$。

证明：将题目中等式里所有的 $x$ 换成 $x + T$，那么：

说明半周期的其它等式：

当题目遇到 $f(k) + f(t) = a$ 型的等式，且此时自变量 $k - t$ 是定值，那么可以函数 $f(x)$ 可能具有周期性。若题目给定的等式并不能直接表示周期，那么就需要考虑是否表示的是半周期。

注意与「对称性」里「中心对称」的本质特征区分：

• 中心对称：横坐标之和为定值。
• 周期性：横坐标之差为定值。

注意：

• 从「半周期」可以推出「周期」，但不能通过「周期」推出「半周期」。即：已知上面的六个等式，可以推出 $f(x)$ 的周期性，并求出其周期；但已知 $f(x)$ 的周期性/周期，不能推出上面六个等式。
• 已知半周期，就可以根据 $f(x)$ 求出 $f(x + k\times 半周期),k\in \mathrm{Z}$。即半周期的性质要强于周期。

方式三——双重对称性得到周期性

1. 若函数 $f(x)(x \in \mathrm{R})$ 的图象有两条对称轴 $x = a,x = b(a \ne b)$，则 $f(x)$ 是周期函数，且 $2|b-a|$ 为它的一个周期。
2. 若函数 $f(x)(x \in \mathrm{R})$ 的图象存在两个对称中心 $(a,0),(b,0)(a \ne b)$，则 $f(x)$ 是周期函数，且 $2|b-a|$ 为它的一个周期。
3. 若函数 $f(x)$ 的图象存在对称轴 $x = a$，对称中心 $(b,0)(a \ne b)$，则 $f(x)$ 为周期函数，且 $4|b-a|$ 为它的一个周期。

注意：2 和 3 中给定点的纵坐标变为任意常数 $c$ 依然成立。

题目中遇到某函数 $f(x + t)$ 是奇函数，有两种处理方法：

• 判断 $f(x + t)$ 由 $f(x)$ 如何变换得到，根据变换推出 $f(x + t)$ 的对称中心；
• 根据奇函数的定义令 $g(x) = f(x + t)$，可推出 $g(x) + g(-x) = 0$，将 $g(x)$ 用 $f(x + t)$ 替换（即对于 $g(-x)$ 将 $g(x)$ 表达式中的 $x$ 替换为 $-x$ 其他不变）得到有关 $f(x+t)$ 的等式，再根据其性质求解。

周期 $+$ 偶函数

问题模型：已知函数 $f(x)$ 是偶函数，周期为 $T$。给出函数在半个周期内的信息（解析式），求函数在整个定义域内的信息。

求解：

• 首先根据已知的半个周期的信息和偶函数，根据偶函数的性质（关于 $y$ 轴对称），推出一个周期的性质。
• 再根据一个周期的性质，推出函数再整个定义域内的信息。

周期 $+$ 奇函数

问题模型：已知函数 $f(x)$ 是奇函数，周期为 $T$。给出函数在（近似）半个周期内的信息（解析式），求函数在整个定义域内的信息。

求解：

• 首先根据已知的近似半个周期的信息和奇函数，根据偶函数的性质（关于原点对称），推出近似一个周期的性质。
• 再根据一个周期的性质，推出函数在整个定义域内的信息。

注意：奇函数与偶函数不同的是：若 $f(x)$ 为周期为 $T$ 的奇函数，且在 $x = \dfrac{kT}{2}$ 处有定义，则 $f\left(\dfrac{kT}{2}\right) = 0,k \in \mathrm{Z}$。所以只需要知道近似半个周期的信息，就可以推出整个周期的信息。（即可以不知道半个周期端点）

半周期 $+$ 奇偶性

问题模型：已知函数 $f(x)$ 是奇函数/偶函数，半周期为 $\dfrac{T}{2}$。给出函数在$\dfrac{1}{4}$ 个周期内的信息（解析式），求函数在整个定义域内的信息。

求解：

• 首先根据函数的奇偶性推出半个周期内的信息（解析式）。
• 再根据半周期的性质，推出整个周期的信息。
• 再根据一个周期的性质，推出函数在整个定义域内的信息。