【文化课学习笔记】【数学】数列
【数学】数列
数列
概念
按照一定次序排列的数称为数列。例如:
其中,
分类
- 递增数列:从第
项起,每一项都大于它前一项的数列。即 。 - 递减数列:从第
项起,每一项都小于它前一项的数列。即 。 - 常数列(常数数列):各项都相等的数列。
- 摆动数列:有些项大于前一项,有些项小于前一项的数列。
等差数列
概念
从第
其中
等差中项
若
公式
通项公式
变形:等差数列的项数 =
前
性质
性质一
适用范围:①题目中存在
内容:
其中,左右两边必须保证项数一致。
推论:若
,则 。即下标之和的平均数为偶数时,对应项之和等于平均数对应项的二倍。 本质:相当于将两项变为一项,起到了「消元」的作用。
注意:
,不要丢掉 前面的系数 。
性质二
适用范围:①等差数列的项数
内容:
在等差数列
注意:不要丢掉
前的系数 。
性质三
适用范围:①题目中只出现
本质:将等差数列每
内容:
若等差数列
注意:是相邻两组的和之差形成的数列为等差数列,而非相邻两组的和形成的数列。
从函数观点看等差数列
数列是特殊的函数,特殊之处在于
通项
即当
所以当题目给定
前
即当
令
适用范围:若题目中只出现
对于涉及到
有
因为
例 1:设等差数列
设
所以
例 2:设等差数列
设
所以
解题方法
基本量法
将题目中所有的信息全部用
性质法
根据每条性质的适用范围选择合适的性质求解问题。
等比数列
概念
从第
其中
注意:等比数列中没有
(分母不为 ),且公比 不为 。 所以在判断一个数列是否是等比数列时,需要确认等比数列中是否可能出现
。
隐藏条件:等比数列中所有的奇数项都是同号的,所有的偶数项也都是同号的。
这个性质在求等比中项的正负时会用到。例如:已知
,所以 。由于 与 和 同号,所以 。
等比中项
若
公式
通项公式
前
前
对于涉及到积的最值问题:一般判断积的最值都只需要找到何时
增减性
对于等比数列
判断数列增减性的常见方法是判断
有以下几种情况:
- 当
时, 是常数列; - 当
时, 是摆动数列; - 当
且 时:- 当
,即 或 时, 是递增序列; - 当
,即 或 时, 是递减序列。
- 当
性质
性质一
适用范围:①题目中存在
内容:
其中,左右两边必须保证项数一致。
推论:若
,则 。即下标之和的平均数为偶数时,对应项之积等于平均数对应项的平方。 本质:相当于将两项变为一项,起到了「消元」的作用。
注意:
,不要丢掉 前面的系数 。
性质二
适用范围:①题目中只出现
本质:将等比数列每
内容:
等比数列
注意:是相邻两组的和之差形成的数列为等比数列,而非相邻两组的和形成的数列。
从函数观点看等比数列
通项
即当
前
令
适用范围:若题目中只出现
注意:利用该式求解时,
。
例:等比数列
根据
设
且
注意:计算时尽量能化简则化简后再计算。例如
。
解题方法
基本量法
三种转化方式:
- 转化为
和 ; - 转化为已知的
和 。 - 转化为下标最小的
。
注意:等比数列中均转化为
和 计算量可能较大,所以有时候需要根据题目考虑选择另外两种转化方式。
解题技巧及注意事项
- 等比数列中将表达式中的
提出来是个较为常见的技巧。例如 。 - 等比数列中告诉某两个与
有关的等式,可以考虑「先相除后约分」,即将两等式中的公因式提出来(例如 ),然后将两等式相除,再约分之后求解。 - 注意看题目问的是
还是 ,不要弄混。 - 遇到「取整函数」,可考虑求出结果为整数的项的下标,然后求解。
等差等比拓展
题型一:等差(比)中项判定等差(比)数列
等差中项判定等差数列
若
则说明
补充:等差中项的性质也可以写成
,也能推出等差数列。
等比中项判定等比数列
若
则说明
题型二: 型数列
类型一
若数列
那么有:
即
类型二
若数列
那么有:
即
题型三:两个数列的项
问题:求解两个数列通过变化(公共项或一个数列减去另一个数列中的项)得到的新数列相关的问题。
求解思路:
- 若得到的新数列是特殊数列或存在明显规律的问题:直接求解。例如两个等差数列的公共项也构成等差数列,并且其公差是两个等差数列公差的最小公倍数,其手相可通过列举法得到;
- 若不存在明显规律:观察新数列中的项是由给定的两个数列的哪些项组成的,在根据已知的两个数列的性质求解问题。
数列增减性
判断方法
- 求出通项公式,将数列看成函数来判断:其增减性与函数相同;
- 利用数列增减性的定义,即求出
的正负:若 ,则是递增数列;若 ,则是递减数列。
其中若题目未知通项公式,一般采用第二种方法求解。
注意:第二种方法求解增减性时,可能要判断数列中任意一项
与某个常数的大小关系,可考虑「基本不等式」。
应用
- 直接已知数列求数列增减性。注意:若要求的数列是分式,可考虑「分离常数」求解函数增减性。
- 已知数列求数列最值。注意:求解最大值时,最后一个
的 并不是使得 最大的 ,使得 最大的 是 。 - 已知数列的增减性求数列中某参数的取值范围。
根据递推公式求
求通项公式 的三种常见考法
- 已知
是等差或等比,求 :直接套公式。 - 已知
的递推公式,求 。 - 已知
求 。
累加法
适用范围:已知
注意:这里的
表示的是类似的形式,而不一定是 。例如 也是可以的。
求解方法:
根据
对其求和得到:
注意:最后一定要验证
是否满足上式。
累乘法
适用范围:已知
求解方法:
根据
对其求积得到:
注意:最后一定要验证
是否满足上式。
构造法
构造类型已知
问题类型:一般第一问需证明某数列
注意:写
时,要把 与 的关系式中所有的 都换成 。
求解步骤:
-
根据等差/等比数列的定义证明出
是等差/等比数列。- 确定目标:即确定要证明的式子为常数。尽量采用「设计谁就求与谁有关的式子」,例如题目的条件中若同时出现
和 就求与 和 有关的式子。 - 消元:消去式子中的
或 得到常数。消元时如果遇到分式可以考虑先通分,可能可以简化运算。
注意:等比数列除了证明
为常数之外,还应该证明 ;此时只需要证明首项 不等于 即可。 - 确定目标:即确定要证明的式子为常数。尽量采用「设计谁就求与谁有关的式子」,例如题目的条件中若同时出现
-
根据
为特殊数列,求出其通项公式,再根据 与 的关系得到 的通项公式。即:先求等差/等比,再求原数列。注意:求
的通项公式时,代入的是 而不是 。
构造类型未知
问题类型:未知需要构造的数列,求
不动点法
适用范围:已知
求解步骤:
令
在
即转化为
化简得到
从而得到构造数列
求出数列
注意:其中第一步不需要写在卷子上,第二步和第三步需要写在卷子上。
分子常数项为
适用范围:已知
求解步骤:
给
对等号左边分式拆分,得:
从而构造出数列
求出数列
拓展——与不动点法的结合
已知
,其中 为常数,且 。 同上述求解步骤可以得到:
我们令
,则: 从而可以转化为「不动点法」求解出数列
的通项公式,再转化得到 的通项公式。
适用范围:已知
注意:
- 这里的
是一个形式,表示以常数为底,幂中含有 。即幂不一定非得是 ,例如 也可以用此方法求解。 - 此类型的数列不能用「不动点法」求解,因为利用不动点法最终得到的形如
( 为常数, 为含有 和 的多项式)中, 和 应该是一个等比数列的前后两项,但事实上此类型的数列化简后得到的并非同一个数列的前后两项。
求解方法:
给
令
那么有:
从而可以转化为「不动点法」求解出数列
注意:当
时,第一步转化过后就可以得到 ,从而令 ,此时 直接可以看出是等差数列,当作等差数列求解。
适用范围:已知
注意:此类型的数列不能通过上一类数列的方法求解,如果利用上一类数列的方法两边同时除以
,会得到 ,而等号左边会变成 ,无法变成 的形式,因为 和 没有倍数关系。
思路:
构造数列
所以
将
那么
按照
该式对于任意
所以
所以需要给原式等式两边同时加上
构造数列
求解步骤:
给等式两边同时加上
其中
验证
根据等比数列可以求得其通项公式,从而转化为
注意:此类题目一般以证明题的形式出现,即证明
为等比数列。
奇偶项数列
问题特征:数列奇数项和偶数项各有各的规律,一般需要分开来求。
已知邻项和
求解步骤:
-
首先将邻项和变成隔项差:即把
转化成 ,分成奇数项和偶数项然后各自计算。 -
分开求奇偶项:注意
是奇数项的第 项, 是偶数项的第 项。 -
求
:先求偶数项,再利用递推公式 求奇数项。求偶数项
( 为偶数)的方法:- 设
,则 为偶数项的第 项。 - 直接求
( 为偶数):偶数项的第 项。
- 设
注意:
- 偶数项的首项是
; - 利用通项公式求解时,注意公式里的
是项数。
已知邻项积
求解步骤:
-
首先将邻项积变成隔项商:即把
转化成 ,分成奇数项和偶数项然后各自计算。 -
分开求奇偶项:注意
是奇数项的第 项, 是偶数项的第 项。 -
求
:先求偶数项,再利用递推公式 求奇数项。求偶数项
( 为偶数)的方法:- 设
,则 为偶数项的第 项。 - 直接求
( 为偶数):偶数项的第 项。
- 设
其他类型
也可以分开求奇偶项,然后求出偶数项的通项公式,再转化成奇数项的通项公式即可。
注意:利用偶数项通项公式计算奇数项通项公式时,尽量通过
求 ,而不是通过 求 。因为用 求得的结果不包含 ,需要特判 。
根据 求
通用公式:
题型一:已知
先分段,再检验:
计算技巧:
当题目中出现了
和 可以互相转化: 。
注意:若
可以合并到 的情况中去,则 ,即 。所以可以通过计算 是否为 判断能否合并。若 ,则可以合并;若 ,则不能合并。 可以发现,等差和等比数列的
均满足 ,所以等差和等比数列的 不需分段。
题型二:已知与 有关的其他数列 的
根据
题型三:已知 与 的关系
称题目中告诉的
与 的关系式为「有关 的关系式」。
方法一——消去
适用范围:
求解:
仍然是先分段,再检验。
-
当
时,可直接将 与 关系式中 用 替换,解有关 的方程得到 。 -
当
时,可将有关 和 的两个关系式作差,再用 替换 消去 ,化简得到一个 的递推公式,再根据递推公式求出通项公式。 -
检验
的情况是否可以包含进 的情况里,若可以,则合并。
注意:
得到的
的递推公式需要注意 不能忽略。当题目求得的是 与 的关系式时,例如得到 ,得到的规律应该是「从第二项起, 是等比数列」,而非「 是等比数列」。 对于此类数列,得到的通项公式应该以
作为首项计算,最后再判断 是否可以合并进去。或者也可以直接判断 和 是否满足递推公式,若满足,可直接以 为首项计算通项公式。 对于第二步化简得到
的递推式的过程中,若遇到较为复杂,或次数较高的式子,优先考虑因式分解。
方法二——消去
适用范围:
求解:
可以考虑消去
题型四:已知 与 的关系(即关系式中只含 )
称题目中告诉的
与 的关系式为「有关 的关系式」。
方法一
仍然是先分段,再检验。
- 当
时,在有关 的关系式中,将 和 用 和 替换,根据 已知,可以求得 。 - 当
时,将有关 和 的关系式相减,再将 和 用 和 替换,得到有关 的递推式,再根据递推公式求出通项公式。 - 检验
的情况是否可以包含进 的情况里,若可以,则合并。
注意:这里对于
的情况作用是求 ,所以 不一定是用来求 的。
方法二
题型四:已知 和 的关系
其中
则:
求解:
仍然是先分段,再检验。
-
当
时,可直接将 与 关系式中 用 替换,解有关 的方程得到 。 -
当
时,可将 用 表示,代入到题目给定的关系式中,得到一个关于 的递推式,根据递推式可以求出 的通项公式。 -
检验
的情况是否可以包含进 的情况里,若可以,则合并。
当然也可以求出
的通项公式。所以 的通项公式都是可求的。
数列求和
可以求和的数列
- 等差/等比数列
公式法。 - 等差
等比型数列 错位相减法。 - 可以裂项的数列(分式型数列居多)
裂项相消法。
错位相减法
等差
若
即:
则
若
,则 为等差数列。
错位相减法的步骤
首先写出
所以:
经过计算可得到
易错点及注意事项
- 书写
以及 时注意保留指数形式,即保留 。 - 两式作差时注意最后一项的符号,是减还是加。
- 对中间的等比数列求和时,注意项数:如果不包含第一项一般都是
项,如果包含则一般是 项。 - 求
时最后一定要除以前面的系数 。 - 可以通过
检验计算。
小结论:
任何一个等差
等比型数列 ,其前 项和 一定可以写成一个 等差 等比 常数 的形式,即 。 根据此可以通过
建立三元一次方程组,解出 ,求得 。 注意:
- 等差
等比型数列的形式统一,所以其 。 - 根据计算可得,对于所有的等差
等比型数列,都有 。 - 考试时使用此方法,可仍用「错位相减法」的步骤书写,最后直接写出
的结果。
裂项相消法
定义:将一个数列的第
目的:在求和时将中间的项消去简化运算。
适用范围:题目给定形如
方法:
技巧:
- 有的时候裂项可以先提出前面的系数,例如
。 - 若
和 是同一个数列的相邻两项,则整理消元时可以邻项相消。若并非相邻的两项,一般只能隔项相消。 - 隔项相消的一个不容易出错的方法是:将所有符号相同的项放在一起分成两类(或将所有的加法放在一起,减法放在一起),则加法和减法里公共的部分即可消去。
- 有时候将分母中两个式子
和 同时乘上 计算更方便(见下方 例 1)。 - 有时可以考虑提出分母中某项的系数,并且可能上下可以同时约去某个多项式使得
成为常数(见下方 例 2)。 - 直接裂项无法处理的时候,可以考虑「先猜后证」。猜想时可观察原式分子的特点进行猜测,比如与
有关或带根号等(见下方例 3)。 - 对于分母上有带根的式子,可以考虑「分母有理化」后再处理计算。
例 1:
有时候将下方两个式子同时乘上
例 2:
有时可以考虑提出某项的系数,并且可能上下可以同时约去某个多项式使得
例 3:
直接拆分成
考虑拆得的两个分式分母仍然为
发现为原分式的相反数。那么考虑微调,即:
注意先猜后证不应该写在考试卷子上。
注意:
- 需要判断
和 是否为同一个数列的某两项,只有他们在同一个数列中,裂项才是有效的裂项。 - 一般让
,因为这样得到的 是一个正数,不会出现负号,容易计算。 - 裂项后要检查其系数
是否为常数,只有它是常数,对于每一项都可以提出 ,这样的裂项才是有效的裂项。
求和的常见考法
绝对值求和
问题模型:求某个数列
求解:
- 判断正负:判断什么时候
,什么时候 ; - 分段计算:从正负分解处分段计算
,最后再考虑是否能合并。
注意:对于第一步判断正负时,对于不容易判断正负的数列,可以先列举几项观察规律然后再证明,证明时可将证明对象拆分。比如我们要证明当
时, ,可以证明 ,且 时单调递增。
分组求和
问题模型:将两个类型不同的数列合为一个数列(相加或相减),求其
求解:将两个数列分开求和再合并。
奇偶项求和
正负交替型
问题特征:奇数项和偶数项一正一负排列的数列。
求解方法:
- 错位相减法:这样的数列一般是等差
等比数列,可直接转化为错位相减法求解。 - 奇偶分离法(通用方法):奇数项和偶数项分开,奇数项一起求,偶数项一起求。
- 并项求和法:将相邻两项相加求解,一般相加后有一些规律,例如相邻两项之和为定值等。最后再将相加后得到的每两项的和相加求解。
一般来说「并项求和法」运算较为简便,应优先考虑。若不能使用「并项求和法」,应考虑「奇偶分离法」求解。「错位相减法」一般相比其他两者计算量较大,不推荐使用。
奇偶分离型
问题特征:奇数项和偶数项分别是两个不同数列的奇数项和偶数项。
求解方法:
将奇数项和偶数项的数列的奇数项和偶数项分别求和再相加。
注意:此类求和方法与前文提到的分组求和不同。
分组求和是将两个数列
和 相加之后得到一个新的数列 ,其求和是 的所有项与 的所有项之和。 而这里的求和对象,是指奇数项是某个数列
的所有奇数项,偶数项也是另一个数列 的所有偶数项,其求和是 的所有奇数项与 的所有偶数项之和。 所以需要注意对
的奇数项求和不能当成直接对前 项求和来计算。若 是等差/等比数列,则需要注意新数列的公差(公比)。
其它类型的数列求和
遇到比较不常规的数列,可以考虑多列举几项数列中的项,观察规律再求解。
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战