证明三个简单数学问题~\(≧▽≦)/~啦啦啦

第衣果：

如何证明gcd(a,b)=gcd(a+b,lcm(a,b))

 设a=r1*k;b=r2*k;r1与r2互质

a+b=(r1+r2)*k;

gcd(a,b)=k;

lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)

=r1*r2*k*k/k=r1*r2*k;

所以gcd(a+b,lcm(a,b))=k;

故gcd(a,b)=gcd(a+b,lcm(a,b))

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第鹅果：

如何证明gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;

设x=gcd(a,b),y=lcm(a,b);

设a=m*x,b=n*x;

则y=m*n*x;

所以gcd(a,b)*lcm(a,b)=x*m*n*x;

a*b=m*x*n*x;

故gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;

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第山果：

如何证明1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+......+1/n不是整数

看一下百度上的证明方法吧

https://zhidao.baidu.com/question/312263826.html

这里说的的对任意一个确定的正整数n，1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数，和极限没有关系（用了极限也难以证明原结论）。

假定n>1（n=1时结论不成立）

假设1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=M为整数，现在来推出矛盾。

设P=[1, 2, …, n]为1、2、……、n的最小公倍数（不是取n!），用P乘以上式两边，

P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*M， ………………①

设k是满足2^k≤n的最大正整数，即2^k≤n<2^(k+1)。

显然2^k|P*M (n≥2, 2^k|P)。

下面证明P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P/1+P/2+…+P/n不是2^k的倍数，甚至不是2的倍数。

显然P*1/i是整数（i=1, 2, … . n）。

把P分解因数，其中质因数2出现的次数为k（2^k≤n<2^(k+1)，所以2^k|P；又因为P是最小公倍数，所以P的因数中恰好含有k个2）。故P/2^k不再含素因子2，即为奇数。

P/1、P/2、…、P/n这些数中，除P/2^k外，其余各项都是2的倍数（因为分母的质因数中至多含有(k-1)个2，而分子含有k个2）。故P/1+P/2+…+P/n不是2的倍数（其中只有1个奇数，其余都是偶数）。这与①式右边为偶数矛盾。

 其实第山果，我并不是太懂Ｏ(≧口≦)Ｏ啊啊啊