20190819DP练习

T1:A 先生有很多双筷子。确切的说应该是很多根,因为筷子的长度不一,很难判断出哪两根是一双的。这天,A 先生家里来了 K 个客人,A 先生留下他们吃晚饭。加上 A 先生,A 夫人和他们的孩子小 A,共 K+3 个人。每人需要用一双筷子。A 先生只好清理了一下筷子,共N 根,长度为 T1,T2,T3,......,TN.现在他想用这些筷子组合成 K+3 双,使每双的筷子长度差的平方和最小。(怎么不是和最小??这要去问 A 先生了,呵呵).

S1:①显然当n<(k+3)*2时无解.②依旧太菜,脑子断电了,一直想的是全排列式两两匹配导致DP推不出.其实可以先贪心的排序,相邻的两根筷子匹配才最优(跨越式匹配一定不是最优解).有了这个前提,dp就好推了.我们设f[ i ][ k ]为前 i 只筷子匹配成 k 能维护的最小平方和.f[ i ][ k ]=min{f[ i - 1][ k ],f[ i - 2 ][ k -1 ]+(ch[ i ] - ch[ i - 1]*(ch[ i ] - ch[ i - 1]),继承f[i - 1][ k ]是指这个筷子不选,继承前一个状态的最优值,与类似的' f[ i ][ 0 ] '来继承最优值.

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define re register
int n,k,ch[110],f[110][110];
int main()
{
    freopen("CHOP.in","r",stdin);
    freopen("CHOP.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&k);k+=3;
    for(re int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d",&ch[i]);
    if(n<k*2){puts("-1");return 0;}
    memset(f,0x7f,sizeof(f));
    for(re int i=0;i<=n;++i)
        f[i][0]=0;
    for(re int i=2;i<=n;++i)
        for(re int j=1;j<=(i<<1);++j)
            f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-2][j-1]+(ch[i]-ch[i-1])*(ch[i]-ch[i-1]));
    printf("%d",f[n][k]);
    return 0;
}

T2:护卫队

S2:如今写区间DP少有感觉的题,不过我真的要吐槽,不是说桥是单行道吗?不是汽车都最快的速度跑吗?速度慢的车能在速度快的车前面是咋回事?回归题目,我们设f[ i ][ j ]为区间[ i , j ]分为一组的最短时间.显然我们要由小的合法区间推出大的合法区间,这就决定了len从小到大推,且要放在最外层.接下来,枚举开头i,计算出结尾 j = i+len-1,枚举分割点k,由小区间推大区间即可,注意在循环中求区间最值用ST表.

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define e exit(0)
#define re register
#define LL long long
const int maxn=1e5+10;
double len,ans,f[1010][1010],st[maxn][21];
long long maxx,cnt,n,sum[1010],logn[maxn];
struct che{
    double v;
    long long w;
}car[1010];
inline void read(long long &x)
{
    x=0;register long long f(0);register char ch(getchar());
    while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    x=f?-x:x;
}
inline void double_read(double &x)
{
    x=0;int f(0);char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    if(ch=='.')
    {
        int k(10);ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9')
            x+=1.0*(ch-'0')/k,
            k=(k<<1)+(k<<3),
            ch=getchar();
    }
    x=f?-x:x;
}
inline int check(LL l,LL r)
{
    LL sumw=sum[r]-sum[l-1];
    if(sumw>maxx) return false;
    return true;
}
inline double ask(LL l,LL r)
{
    LL s=logn[r-l+1];
    return min(st[l][s],st[r-(1<<s)+1][s]);
}
inline void work()
{
    logn[0]=-1;
    for(re LL i(1);i<=n;++i)
        st[i][0]=car[i].v,logn[i]=logn[i>>1]+1;
    for(re LL j=1;j<=20;++j)
        for(re LL i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
            st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
int main()
{
    freopen("CONVOY.in","r",stdin);
    freopen("CONVOY.out","w",stdout);
    read(maxx);
    double_read(len);
    read(n);
    for(re LL i(1);i<=n;++i)
        read(car[i].w),double_read(car[i].v),
        sum[i]=sum[i-1]+car[i].w,
        f[i][i]=double(len/car[i].v);
    work();
    for(re LL i(1);i<=n;++i)
        for(re LL j=1;j<=n;++j){ 
            if(i==j) continue;
            f[i][j]=100000000000000.0;
        }
    for(re LL lenth(2);lenth<=n;++lenth)
        for(re LL i(1);i+lenth-1<=n;++i){
            LL j=i+lenth-1;
            if(check(i,j)){
                double v=ask(i,j);
                f[i][j]=min(f[i][j],len/v);
            }
            for(re LL k(i);k<=j-1;++k)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
        }
    ans=f[1][n]*60;
    printf("%.1lf",ans);
    return 0;
}

T3:美元汇率

S3:DP水题.但题目也没将清每一次兑换全都换完啊!我们设f[ i ][ 0 ]表示第 i 天拥有的最多美元,f[ i ][ 1 ]表示第 i 天拥有的最大马克,注意有不兑换的情况(样例).

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define e exit(0)
#define re register
int n;
double f[110][110],chang[110];
int main()
{
    freopen("DOLLARS.in","r",stdin);
    freopen("DOLLARS.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(re int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lf",&chang[i]);
        chang[i]/=100;
    }
    f[0][0]=100.0,f[0][1]=0.0;
    for(re int i=1;i<=n;++i){
        f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]/chang[i]);
        f[i][1]=max(f[i-1][1],f[i-1][0]*chang[i]);
    }
    printf("%.2lf",f[n][0]);
    return 0;
}

T4:胖男孩

S4:如题意,求三个字符串的最长公共子序列.有两个字符串的LCS我们可以很快得反应出来->相等前状态+1,不相等继承最优.对于输出对应字符串,我们可以类比ST表求LCA时对于求f[ i ][ j ]时的铺助坐标数组,跟着变换即可.

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define e exit(0)
#define re register
int lena,lenb,lenc,f[110][110][110];
string a,b,c,t[110][110][110];
int main()
{
    freopen("FATBOY.in","r",stdin);
    freopen("FATBOY.out","w",stdout);
    cin>>a;cin>>b;cin>>c;
    lena=a.length(),lenb=b.length(),lenc=c.length();
    for(re int i=1;i<=lena;++i)
        for(re int j=1;j<=lenb;++j)
            for(re int k=1;k<=lenc;++k){
                if(a[i-1]==b[j-1]&&a[i-1]==c[k-1]){
                    if(f[i][j][k]<=f[i-1][j-1][k-1]+1){
                        f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k-1]+1);
                        t[i][j][k]=t[i-1][j-1][k-1]+a[i-1];
                    }
                }
                else{
                    if(f[i-1][j][k]>=f[i][j-1][k]&&f[i-1][j][k]>=f[i][j][k-1])
                        t[i][j][k]=t[i-1][j][k];
                    else if(f[i][j-1][k]>=f[i-1][j][k]&&f[i][j-1][k]>=f[i][j][k-1])
                        t[i][j][k]=t[i][j-1][k];
                    else if(f[i][j][k-1]>=f[i-1][j][k]&&f[i][j][k-1]>=f[i][j-1][k])
                        t[i][j][k]=t[i][j][k-1];
                    f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],max(f[i][j-1][k],f[i][j][k-1]));
                }
            }
    cout<<t[lena][lenb][lenc];
    return 0;
}