乘法逆元
①乘法逆元的定义及应用
①定义: a*b≡1( mod p),我们称b为a在 mod p意义下的逆元,记作 inv[ a ]=b.
②应用:介绍一种.对于取摸运算 ( a / b ) mod p ! =( ( a mod p)/(b modp))mod p,应化为( ( a mod p )*( inv[ b ] mod p ) ) mod p.
②求乘法逆元的三种方法
①费马小定理:若 p 为素数,且gcd( a , p )=1,有 a^( p -1 )≡1( mod p).
我们发现,在满足前面两个条件下,将原公式变形为a*a^( p -2 )≡1( mod p),此时a^( p -2 )即a在 mod p定义下的逆元,快速幂求解.
②扩展欧几里得( exgcd ):用于求解 ax+by=gcd( a,b )的一组解.
前置知识:欧几里得辗转相除求最大公约数
1 int x, y; 2 void gcd(int x,int y) 3 { 4 if(y == 0) 5 return x; 6 else return gcd(y,x%y); 7 }
个人理解:对于整数x,y,存在最大公约数z, z | x , z | y , z|( mx + ny), z|( mx - ny).我们不妨设 x=ky+p.所以我们得到x%y = p = x-ky.我们发现x-ky即是( mx -ny)的一种特殊形式,也就是说z | p.可证明 gcd(x,y)=gcd(y,x%y).w我们可以发现x,y都更新过程中,不断向构成的基本元素z靠近.当y=0时,x一定变为了z.
扩展欧几里得( exgcd )求逆元
①联系证明:
①a*inv[ a ]≡ 1 ( mod p).
②a*inv[ a ] = py+1
③a*inv[ a ] - py=1
④a*inv[ a ] + py' =1.
当 gcd( a,p )=1时, a*inv[ a ] + py' =gcd( a, p ), inv[ a ]即为exgcd求得一个解.
②求逆元过程证明:
① ax1 + by1 = gcd( a,b ) , bx2 + ( a%b )y2 = gcd( b,a%b).
② gcd( a,b ) = gcd( b,a%b).
③ ax1 + by1 = bx2 + ( a%b)y2.
④ ax1 + by1 = bx2 + (a-[a/b]*b)y2.
⑤ ax1 + by1 = bx2 + ay2-[a/b]*b*y2.
⑥ ax1 + by1 = ay2 + b( x2-[a/b]y2).
所以我们推出: x1=y2 , y1=x2-[a/b]y2.我们不断作gcd时,当b=0时,我们令y1=0,x1=1,显然是一组解,回溯即可.
1 void exgcd(int a,int b) 2 { 3 if(!b) 4 { 5 x1=1; 6 y1=0; 7 return; 8 } 9 exgcd(b,a%b); 10 x2=x1,y2=y1; 11 x1=y2; 12 y1=x2-a/b*y2; 13 return; 14 }
③线性递推公式.
推导:① p ≡ [p/i]*i + p%i ≡ 0 mod p.
② [p/i ] * i = - p %i mod p.
③ -inv [ p mod i ] * [ p/i ] = inv[ i ] (同乘 inv[ i ]*( -inv[ p mod i ] ),记住这是在mod p意义下的).
p mod i < i,从小到大递推即可,初始值 inv[ 1 ]=1.
④补充:Miller Rabin判断素数.
a^(p-1) ≡ 1 (mod p) ,逆用费马小定理,看p是不是素数.
