数论-求n以内的质数

一、埃拉托斯特尼筛法

　　名字很高大上，然而并没有什么卵用……

思路：

　　在把<=√n的质数所有的<=n的倍数剔除，剩下的就都是质数了，很容易理解……

　　复杂度O(nloglogn)

#include<cmath>
const int MAXN=;
int b[MAXN/2],top;
bool a[MAXN];
void cal_prime_num(int n)
{
    k=sqrt(n);
    for(int i=2;i<k;i++)
    {
        if(!a[i])
        {
            int j=1;
            b[++top]=i;                         
            while(i*j<n)
            {
                   a[i*j]=true;
                   ++j;
            }
        }
     }
}

二、欧拉筛

　　上一个筛法似乎复杂度不大，但是遇到10⁷规模的数据就会炸，主要是因为一个数会被不同的质数筛好几遍，欧拉筛保证一个合数只被它的最小质因子筛去一遍，这就是整个代码最核心的部分，也是难理解的部分，然而只有一句话：

 if(!i%pri[j])break; 

　　证明转自他人博客：

prime数组中的素数是递增的，当 i 能整除 prime_j，那么 i*prime_j+1这个合数肯定被prime_j乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime_j，prime_j比prime_j+1小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme_j==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime_j必定是prime_j*i的最小因子。

　　复杂度O(n)

　　其余的代码就很容易理解了：

#include<cmath>
const int MAXN=;
int b[MAXN/2],top;
bool ispri[MAXN];
void cal_prime_num(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!ispri[i])pri[++top]=i;
        for(int j=1;j<=top&&i*pri[j]<=n;++j)
        {
            ispri[i*pri[j]]=true;
            if(!i%pri[j])break;
        }
    }
}