LeetCode 416. 分割等和子集

题目描述

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意：

1. 每个数组中的元素不会超过 100
2. 数组的大小不会超过 200

示例1：

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例2：

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum

思路解析

1. 遍历数组nums，计算得到数组和为\(S\)，最大值为\(m\)；
2. 若\(S\)为奇数，或\(m > S / 2\)`，返回false，记\(target = S / 2\)；
3. 记\(f(i, j)\)表示区间\([0,i]\)内选择有限个数字，其和能否为\(j\)，若能，则\(f(i, j) = T\)，否则\(f(i, j) = F\)，其中\(i \in [0, n - 1], j \in [0, target]\)；
4. 易知：\(f(i,0) = T\)，\(f(0,nums[j]) = T\)
5. 转移方程：

\[\begin{align*} & f(i,j) = f(i - 1, j) || f(i - 1, j - nums[i])\quad (j >= nums[i]) \\ & f(i,j) = f(i - 1, j)\quad (j < nums[i]) \end{align*} \]

代码实现

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() < 2)
            return false;
        int sum = 0;
        int max = 0;
        for(auto num : nums) {
            sum += num;
            max = (max > num) ? max : num;
        }
        if(sum % 2)
            return false;
        int target = sum / 2;
        if(max > target)
            return false;
        int imax = nums.size();
        int jmax = target + 1;
        vector<vector<bool>> subs(imax, vector<bool>(jmax, false));
        for(int i = 0; i < imax; i++)
            subs[i][0] = true;
        subs[0][nums[0]] = true;
        
        for(int j = 1; j < jmax; j++) {
            for(int i = 1; i < imax; i++) {
                if(j < nums[i])
                    subs[i][j] = subs[i - 1][j];
                else {
                    subs[i][j] = (subs[i - 1][j - nums[i]] || subs[i - 1][j]);
                }
            }
        }
        
        return subs[imax - 1][jmax - 1];
    }
};