剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列

题目描述

输入一个正整数 target ，输出所有和为 target 的连续正整数序列（至少含有两个数）。
序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。

示例1：

输入：target = 9
输出：[[2,3,4],[4,5]]

示例2：

输入：target = 15
输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]

限制：

1 <= target <= 10^5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/he-wei-sde-lian-xu-zheng-shu-xu-lie-lcof

思路解析

• 等差数列的前\(n\)项和为：

\[S=na_1+\frac{n(n-1)d}{2} \]

• 本题中要求连续正整数，则\(d=1\)，我们需要求出\(n\)和\(a_1\)。
  整理上式，得：

\[a_1=\frac{S}{n}-\frac{n-1}{2}=\frac{2S-n(n-1)}{2n} \]

• \(S\)为题目中的target，仅当\(\frac{2S-n(n-1)}{2n}\)为正整数时，满足条件，因此可以遍历\(n\)，分别检查计算得到的\(a_1\)是否为正整数，是则将答案存入待输出数组。
• 此外，还可以确定\(n\)的范围，来减少查找时间，已知前\(n\)个自然数的和为\(\frac{n(n+1)}{2}\)，则若\(\frac{n(n+1)}{2}=S\)时，\(n\)取到最大值：

\[n_{max}=\sqrt{2S} \]

• 得到\(n\)的取值范围为\([2,\lfloor \sqrt{2S} \rfloor]\)，分别代入上式检查\(a_1\)是否为正整数即可。

代码实现

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> findContinuousSequence(int target) {
        vector<vector<int>> result;
        int max_add = (int)(sqrt(2 * target));
        for(int i = max_add; i > 1; i--) {
            int p = 2 * target - i * (i - 1);
            int q = 2 * i;
            if(p % q == 0) {
                int a1 = p / q;
                vector<int> tmp;
                for(int j = 0; j < i; j++)
                    tmp.push_back(j + a1);
                result.push_back(tmp);
            }
        }
        return result;
    }
};