图论基本概念

几种常见的图的分类：

类型	边	允许多重边	允许环
简单图	无向	否	否
多重图	无向	是	否
伪图	无向	是	是
有向图	有向	否	是
有向多重图	有向	是	是

 

 

 

 

 

 

完全图：n个顶点上的完全图是在每对不同顶点之间都恰有一条边的简单图。

二分图：若把简单图G的顶点集合分为两个不相交的非空集合V₁和V₂，使得图里的每一条边都连接着V1里的一个顶点和V2里的一个顶点（因此G里面没有边是连接着V₁里的两个顶点或V₂里的两个顶点），则G称为二分图（从定义中可以看出，二分图必无环，但可以有多重边）。

　　用标号法可以方便地判断一个图是否是二分图：

　　首先给任意一个顶点标上A，与标记A的顶点邻接的顶点标上B，再将标记为B的顶点邻接的顶点标记上A，续行此法，如果这个过程可以完成，使得没有相邻的顶点标上相同的字母，则该图是二分图，否则它就不是二分图。

　　另：如果标记成功，可以将两个顶点子集X与Y中的顶点分开画，与原图形形成一个同构图，这样可以直接地看出它是一个二分图。

完全二分图：设G是一个二分图，若G是一个简单图，并且X中的每个顶点与Y中的每个顶点均邻接，则称G为完全二分图。

　　易知，完全二分图中共有|X|·|Y|条边。

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图的表示和图的同构：

常见的图的表示方式：边表、相邻矩阵（简单图的相邻矩阵是对称的0-1矩阵，当出现环或多重边时，矩阵对称但不是0-1矩阵，此时第(i, j)项是与{v_i, v_j}关联的边数。另外，有向图的相邻矩阵不必是对称的）、关联矩阵（顶点与边的n*m矩阵，用相等项的列来表示多重边，恰有一项等于1的列来表示环）。

同构：当两个简单图同构时，两个图的顶点之间具有保持相邻关系的一一对应（注意：同构的图是等价的图，只是画的方式不同而已）。

　　容易看出，两图同构的必要条件有：顶点数相等、边数相等、度数相同的顶点数相等（总的顶点度更得相等）。遗憾的是，目前尚没有用来判定简单图是否同构的不变量集。

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连通性：

通路：在无向图里从顶点u到v的路径。

回路：若一条通路在相同的顶点上开始和结束，则它是一条回路。

简单通路（回路）：若一条通路（或回路）不重复地包含相同的边，则它是简单的。

无向图连通性：若无向图里每一对不同的顶点之间都有通路，则该图称为连通的。

有向图连通性：根据是否考虑边的方向：有向图里由两种连通性概念。

　　强连通：每当a和b都是一个有向图里的顶点时，就有从a到b和从b到a的通路。

　　弱连通：在有向图的底图（底图：有向图忽略边的方向后得出的无向图）里，任何两个顶点之间都有通路。

　　　　显然，任何强连通的有向图也是弱连通的。

连通分支：不连通的图是两个或两个以上连通子图之并，每一对子图都没有公共顶点，这些不相交的连通子图称为图的连通分支。

由连通性引发的几个概念：

　　割点：如果删除一个顶点和它所关联的边，该图的连通分支增加，这样的顶点就叫做割点。

　　割边：把一旦删除就产生比原图更多的连通分支的子图的边称为割边（或桥）。

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欧拉通路与哈密顿通路：

欧拉通路（或回路）：包含着图G的每一条边的简单通路（或回路）。

　　定理：连通多重图具有欧拉回路当且仅当它的每个顶点都有偶数度。

　　定理：连通多重图具有欧拉通路而无欧拉回路，当且仅当它恰有两个奇数度顶点。

　　上述两个定理的证明见这里。

哈密顿通路与哈密顿回路：包含图的每一个顶点恰好一次的简单通路和回路（相对而言：欧拉通路和欧拉回路包含多重图每一条边恰好一次）。