Codeforces Round #825 (Div. 2) C2. Good Subarrays (Hard Version)

Codeforces Round #825 (Div. 2)C2. Good Subarrays (Hard Version)

题解：

记 $ans[i]$ 为以 $i$ 为结尾最长的好的数列长度

观察发现，以 $i$ 为结尾的好的数列，长度可以是 $1,2,3,...,ans[i]$

这个很好理解，因为如果区间数列 $[l,r]$ 是好的，那么 $[l+1,r]$ 一定也是好的。

我们要求的答案也就是 $\sum ans[i]$ 。

我们先来考虑 $ans[i]$ 是怎么求，显然有 $ans[i]=min(ans[i-1]+1,a[i])$ ，要么在前面的最长的好的数列的基础上往后添一个，要么它最多只能有 $a[i]$ 的长度。

当强制 $ans[i]=a[i]$ 然后按照上述方法算出后面的位置的 $ans$ 时，记 $sum[i]=\sum _{j=i}^{n}ans[j]$

$sum[i]$ 数组也比较好求，倒序求出来，可以借助线段树

考虑修改操作，若修改的位置是 $x$ ，显然 $x$ 以前的答案不会改变，若 $x$ 位置答案变成了新的 $ans[x]$ ，那么后面的答案会变成形如 $ans[x]+1,ans[x]+2,...,ans[x]+k-1,a[x+k]$

找到第一个 $k$ 满足 $a[x+k]\le ans[x]+k$ 即 $ans[x+k]-x-k\le ans[x]-x$ ，那么 $x$ 及以后的答案就变成了 $\sum _{i=0}^{k-1}(ans[x]+i)+sum[k]$

找 $k$ 可以用线段树，然后这个题就做完了，时间复杂度 $O(n\log n)$