yxy小蒟蒻的201111总结

2020.11.11 周三

今天是单身节啊 我不愧是万年寡王 一到单身节rp就++了

$B$题居然过了 笑死我了 我那个假算法 这种组合计数的题我很少做对的 基本是没有

当时我想着肯定做不出来 写了个假算法就玩交互去了

然后交互 主要是读题读错了 本身题目是不难的 二分它倍增的步数

$C$题太有意思了 妙不可言 我还想再开个博客慢慢掰扯掰扯二分图

A

给定长度为 $n$ 的序列 $a_{i=1}^n$，每次随机找到相邻两个元素 $a_i,a_{i+1}$，将它们合并为$a_i-a_{i+1}$​。求最后得到的数的期望值。对 $1e9+7$ 取模

结论 $ans=a_0-a_1$

$Konjacq$大佬说了个证明挺有意思的

1. 显然 当只有三个数的时候 第三个数是没有贡献的

2. 显然 对于某一个数 无论怎么选 它后面的数不影响它的贡献

那么对于一个位置大于等于$3$一个数 一定存在一个时刻它是第三个数 它所以没有贡献

B

给定整数 $n,m,k$。

我们称一个 $1$ 到 $n$ 的排列 $p$ 是好的，当且仅当有恰好 $m$ 个 $i$ 满足 $p_i=i$。

请求出所有 $1$ 到 $n$ 的排列中，字典序第 $k$ 小的排列。若不存在，则输出 $-1$。

每一位从小到大枚举可以放哪个数 能放就放

$check$的时候我是 $O(n)$ 算的 不知道为什么就过了

我稍微证了一下时间 大概就每次都是枚举每一位的时候 当前的 $k$ 都是指数级别的递减

然后远远跑不满 $O(n^3)$

真 跑得飞快

C

给定正整数 $n,m$。

你想构造一个两边均有 $n$ 个点（左边的点编号为 $1$ 到 $n$，右边的点编号为 $n+1$ 到 $2n$），共有 $m$ 条边（允许有重边）的二分图，满足其最大匹配大小不大于 $r$ 且不小于 $l$。

若与第 $i$ 个点相连的边有 $d_i$ 条，则该二分图的价值是所有 $p_{i,d_i}$ 的和。

请求出所有满足条件的二分图中价值的最小值，或判断无解。

这个题太有意思了 首先要知道 Hall定理 (我在这儿学的,Henry_Huang大佬写东西就是好)

题面让我们求 最大匹配在一个区间内的所有方案中 价值最小的方案

这个价值只和每个点的度数有关

其实定了每个点的度数的方案 它可以取到的最大匹配是一个区间 (想想为什么 可以手模一下)

$max$ 是左右两边度数非 $0$ 的点少的那一个的数量

$min$ 不能直接求得 先放一下 继续看

那么判断一个方案是否在 $[L,R]$ 区间内 就是要求这个方案 $max\ge L$ 且 $min\le R$

由于 $Hall$定理推论 $V1+mi{n}_{S\subset V1}(|N(S)|-|S|)$

$V1$ 是左边的点 $S$ 是子集 $N(S)$ 是与 $S$ 相邻的右边的点的集合

是不是如果一个方案中有一个二分图中存在一个 $S$ 使得 $V1+|N(S)|-|S|\le R$ 那么这个方案就合法

那么我们可以枚举 $S$ 和 $N(S)$ 并且枚举左边的总度数和右边的总度数 让它们直接连边

预处理左边取 $S$ 并指定 $S$ 总度数的合法方案中的最小价值 和右边取 $N(S)$ 并指定 $N(S)$ 总度数的合法方案中的最小价值

这样的话对 $min$ 和 $max$ 的要求都满足了

再把他们加起来就更新答案

D

交互先咕咕了

占坑