yxy小菊蒻201203总结

这是noip2020前的最后一篇总结了

这段时间连续考了很久的模拟赛 自己有几斤几两还是清楚

水平到稳定不稳定的 个别时候难免会挂分

上次 $csp$ 都还好 不是挂了100 是自己不想写大模拟

平常考试 $T3,T4$ 基本每天都能A一道

直观感觉是因为模拟题比正式 $noip$ 简单（ 别否认，否认就是你对

到时候策略还是按这暴力打吧 少点思考的时间拿去写对拍

哦对 程序一定要拍 只要考试不抓瞌睡就会有剩余时间 反正考试别太激进了

也是 就我这智商让我去想 $T4$ 正解也不太现实 （ 也就上次 $csp$ 敢放了 $T1$ 去冲 $T4$ 了

话说前几天我还很慌的 到现在脑子里面什么也没有了

12.1

B

逆流

​ 不同于我们所在的世界，在颜神的世界里，时间线并不是一条直线，而是一个环。设时间线连成的环 的长度为 L，当颜神顺着时间线前进时，若跨过了第 $L$ 个时刻，就会回到第 $0$ 个时刻。反过来，若逆着 时间线前进，且跨过了第 $0$ 个时刻，则会回到第 $L$ 个时刻。在整个时间环上有 $n$ 个颜神，每个颜神都是 顺着时间线或逆着时间线以相同的速度前进。若同一时刻沿着不同方向行走的两个颜神相遇，则会产生 正反物质湮灭，导致无法预料的灾难。因此若两个颜神同时位于某一个时刻（可能是小数时刻），则他们 会在该时刻同时进入反转机来改变自己的运动方向。

​ 现在给定每个颜神所在的位置以及运动方向，请告诉管理时空的至高之神 $beginend$，$T$ 个时刻以后， 每个颜神在时间环中所在的位置。

最后每个神颜的相对位置不会变

按初始位置给神颜值排序 然后让他们开始 按各自方向前进

如果有神颜从 $L$ 跨到 $0$ 那么这个神颜一定是第 $n$ 个 因为它跨过 $0$ 了所以现在它位置最小成了第一个 剩下的 $rank$ 加一

如果有神颜从 $0$ 跨到 $L$ 那么这个神颜一定是第 $1$ 个 它跨过 $L$ 之后排名变成了第 $n$ 个 剩下的 $rank$ 减一

然后显然就能发现规律了 好简单跳过

C

​ 一天，羊老师在大街散步，街道两侧的每一侧都有 $n$ 栋楼按顺序排成一排。现在羊老师可以从任意 一栋楼开始，以某种顺序访问每一栋楼，且每栋楼均只被恰好访问一次。羊老师每次可以走到另一侧的任 意一栋还没被访问过的楼，也可以走到同一侧两边最近的还没被访问过的楼。他想知道，有多少种不同 的访问顺序？两种访问顺序不同，当且仅当存在一栋楼在两种方案中分别是第 i 栋和第 j 栋被访问的楼， 且 $i\ne j$。

​ 举例来说，若 $n=5$，羊老师当前位于街道左侧的 $3$ 号楼，街道左侧的 $4$ 号楼已经被访问过，街道 右侧的楼均还未被访问，那么他下一步可以走到街道右侧的任何一栋楼，或是走到街道左侧的 $2$ 号楼或 $5$ 号楼。

$f_{i,j}$ 表示当前侧有 $i$ 栋 对面有 $j$ 栋的答案

在有 $i$ 栋的当前侧访问 $k$ 栋然后到对面去的方案数是 $2^{k-1}(i-k+1)$

所以转移方程是 $f_{i,j}={\sum }_{k=1}^i{2}^{k-1}\times (i-k+1)\times f_{j,i-k}$

然后就是最关键的套路 换元！

$$f_{i,j}=\sum _{k=1}^i{2}^{k-1}(i-k+1)f_{j,i-k}$$

令 $k^{\prime }=i-k$ 则

$$f_{i,j}=\sum _{k=0}^{i-1}{2}^{i-k+1}(k+1)f_{j,k}$$

$$f_{i,j}=2\times \sum _{k=0}^{i-2}{2}^{i-1-k+1}(k+1)f_{j,k}+i\times f_{j,i-1}$$

$$f_{i,j}=2\times f_{i-1,j}+i\times f_{j,i-1}$$

时间复杂度 $O(n^2)$

12.2

额那套题过于简单了 没什么总结的 就是记得对拍

12.3

集合

有两堆大小分别为 $n$ 的集合 $Ai$ , $Bi$ 以及一个长度为 $n$ 的数列 $Ci$ ,$Ai=Bi=i，Ci=0$。接下来有 $m$ 次操作，分为如下 $5$ 种：

• 1 $x$ $y$ : 将集合 $Ay$ 并入集合 $Ax$ ，即将 $Ay$ 中所有元素加入 $Ax$ ，之后 $Ay$ 消失。
• 2 $x$ $y$ : 将集合 $By$ 并入集合 $Bx$ ，即将 $By$ 中所有元素加入 $Bx$ ，之后 $By$ 消失。
• 3 $x$ $t$ : 对于 $Ax$ 中所有的元素 $i$，令 $Ci$ 增加 $t$。
• 4 $x$ $t$ : 对于 $Bx$ 中所有的元素 $i$，令 $Ci$ 变为 $t$。
• 5 $x$ : 询问 $Ci$ 的值。

请你对每个询问操作输出对应的结果。

思路很简单

就讲一下集合合并 集合加 还有集合合并 集合赋值 用并查集怎么做

我猜标程应该和我的想法一样 所以就略过标程了

集合合并+集合加

这个很简单 每个点上维护一个 $val$ 满足从当前节点到并查集的根节点的 $sum$ 就是这个节点的答案

集合加的操作就直接在把根节点的 $val$ 加上一个数就行了

合并集合 $x$ 和 $y$ 就是 $va{l}_x=va{l}_x-va{l}_y$ ，$fathe{r}_x=y$ （ 很好理解 就不细说了

路径压缩的时候把 $val$ 改成当前节点的值减去根节点的值 然后 $father$ 指向根节点

集合合并+集合赋值

维护一个 $lin{k}_x$ 表示如果它的父亲的值能更新 $x$ 的值 那么必须满足更改父亲值的时间 > $lin{k}_x$

其实的 $link$ 就是合并两个集合的时间

可能讲不清楚 看代码把 写得挺清楚的

void findf_b(int x){ // v是这个节点的值 ti是更新这个节点的时间 
	if(fa[x]==x)return ;
	findf_b(fa[x]);
	if(ti[fa[x]]>link[x])
		ti[x]=ti[fa[x]],v[x]=v[fa[x]];
	link[x]=max(link[x],link[fa[x]]);
	fa[x]=fa[fa[x]]; 
}