图论（部分构造）难题专题

CF1368G Shifting Dominoes

把骨牌的移动看成是空格子的移动，显然一个空格子不管怎么移动它的横纵坐标的奇偶性不变

这就启发我们对格子黑白染色，白色区域的空格子只会移动到白色区域，黑色区域的空格子只会移动到黑色区域。那么猜想，删除一个骨牌过后，两个空格子的移动互不干扰。

我们对空格子的移动建边 $(x,y)$ 表示空格子可以从 $x$ 移动到 $y$ 。可以发现每个格子的入度 $\le 1$ ，把格子看成点，整个图是一个基环（外向）树森林。

手玩一下发现不会有环，感性理解 显然不会有环。那么整个图就是外向树森林。

只要一对格子可以被两个组成一个骨牌的格子移动到，那么就算 1 的贡献。即对于两个结点，存在两个祖先满足他们组成多米诺骨牌的两个格子，那么就算 1 的贡献。

这个问题可以转化为一个矩阵面积并的问题。考虑将每一对点 $(x,y)$ ，将其对应到平面上的点 $(df{n}_x,df{n}_y)$ （$df{n}_i$ 为 $i$ 结点的 $dfs$ 序）。现在枚举每一块骨牌，如果是由编号为 $x$ 和 $y$ 的树上的结点所对应的方格组成，那么就将 $x$ 的子树所对应的区间作为 $x$ 轴的范围， $y$ 的子树对应的区间最为 $y$ 轴的范围，给这样组成的矩形中的所有点覆盖。通过一共覆盖的点数量即可算出答案。覆盖点数只需要使用扫描线求解即可。

CF1466H Finding satisfactory solutions

题解 orz orz 扑通扑通跪下来

（您们会吗 反正我不会我只会看题解

CF1148G Gold Experience

连边的条件 $(x,y)$ 满足 $gcd(x,y)\ne 1$

这个条件不好处理，取它的补图，那么补图中连边 $(x,y)$ 满足 $gcd(x,y)=1$

一个子图合法满足 要么每个点度数 $\ge 1$ ，要么每个点度数 $=0$ 。

考虑一个构造方法：

先拿出三个点，满足之间有两条边（这样可以随时删除一个点，就能细微调整集合大小

在剩下的点的集合中，将度数为 $0$ 的点删去，再剩下的点就是一个合法的集合

接下来我们只需要通过删点，把集合大小缩小至 $k$ 即可。设 $f(r)$ 表示这个集合前 $r$ 个点，度数不为 $0$ 的点有几个。

二分一个 $mid$ ，满足 $f(mid-1)+3<k\le f(mid)+3$ 。

意思是在前 $mid-1$ 个点中，有 $f(mid)-f(mid-1)-1$ 个是和 $mid$ 相连，删去 $f(mid)-f(mid-1)-1$ 中的部分点，使得剩下的度数 $>0$ 的点个数为 $k$ 或 $k+1$ 。

以上操作后为什么可能会删到 $k+1$ 而删不到 $k$ 呢？因为当和 $mid$ 相连的点删完了，此时 $mid$ 度数就 $=0$ 了，所以不能把和 $mid$ 相连的点删完。

最后是 $k+1$ 的话，就删除刚开始拿出的三个点中的一个即可。

CF1240F Football

奇奇怪怪的构造题

一个好理解的随机算法：

考虑 $K=2$ 时的解法，加一个虚点0，连向度数为奇数的点使每个点度数为奇数，求出这张图的欧拉回路，并给路径上的边挨个染色 $1,2,1,2,1,...$ ，这样就构造出了一种方案。（每个点入一次就出一次，所以染了入边颜色为 $1$ 紧接着就出边为 $2$ 。删除虚点0后依旧合法。

考虑 $K>2$ ，先随机给边染色，一个不合法的点 $x$ ，把 $ma{x}_x$ 的颜色和 $mi{n}_x$ 的颜色拿出来用 $K=2$ 的方法染色

更巧妙的神奇算法：（p_b_p_b yyds 扑通扑通跪下来

这种题看着就觉得应该是构造一个方案使得所有边都在里面。

考虑拆点拆成二分图，对于原图的边 $(x,y),x<y$，变成新图的 $(x,y+n)$ 。

尝试给新图染色，使得每个点的极差不超过1。这样显然合并之后也还是合法的。

对于一个新图的点，若 $deg=xK+y(y<K)$ ，则再把它拆成 $x+1$ 个点。此时我们尝试让每个点连 出去的边的颜色互不相同。

每次新加一条边 $(x,y)$ 。如果有一种颜色可以同时满足x和y就直接加入，否则设x的一种合法颜色是1， y的一种合法颜色是2。

先让这条边的颜色为2，然后对y说，我要把这条边变成1。

那么y就会对原先它的1边的终点说，我要把这条边变成2。

以此类推，发现这样不会走出环。如果出环那么可以发现原来的方案不合法，这显然是矛盾的。

CF487E Tourists

元方树模板，略。

CF750H New Year and Snowy Grid

问题等价于两点之间最小割是否大于等于 2 。

平面图转对偶图，把格子看成点，把障碍看成黑点，问题就变成了：能否再染黑一个格子，使得左下和右上联通。

具体怎么实现呢，预处理出每一对可以用过染黑一个点合并的原始连通块，把k个点染黑后，枚举与左下联通的原始联通块再枚举与左下联通的原始联通块，看间能否再染一个点使得连通。$k$ 很小，可以暴枚。

CF798E Mike and code of a permutation

万能的线段树爱了爱了

暴力：强行建图，跑拓扑排序。

考虑如何优化建图：

记 $b_i$ 表示 $i$ 被 谁mark 了。没有的a和置为n+1。从题中得到两种小于关系

• $(i,b_i)$
• $(j,i),j\in [1,a_i-1],b_j>i,j\ne i$

第二种关系可以用线段树快速得到一个点的一个前驱（维护区间内 $b_j$ 最大的 $j$ 。$i$ 的一个前驱就是 $[1,a_i-1]$ 中 $b_j$ 最大的 $j$ 。

然后采用dfs的拓扑排序的方法：从一个点开始，把它的所有出边都删掉，然后 dfs 它的 前驱。

删边相当于在线段树中把自己删掉，找前驱也可以在线段树中找，于是就 $O(n\log n)$ 了。

其实这道题可以拓展的，本质就是考的边数很大时 快速找前驱dfs的拓扑排序的方法。

CF843D Dynamic Shortest Path

感觉很多难题都喜欢考常见算法的本质（wow wow 底层逻辑居然这么重要

比如这道题，就是用队列来替代dj常用的堆

我们常用的dj堆里面存的是 $(x,d)$ ，表示到 $x$ 点的距离为 $d$ 。改用队列存放就是 在 $d$ 的队列中放入 $x$ 点，跑dj的时候由小到大取来跑就可以了。在值域小的时候，时间可以做到线性。

这道题，我们每个修改操作都要更新一次 1 到每个点的最短路。我们把新的最短路减原始最短路的差当作关键字来跑dj，用队列维护，因为这个差很小，所以单次更新复杂度可以做到 $O(n+m)$ 。总复杂度 $O(q(n+m))$ 。

（怎么感觉时间很卡呢2333

LOJ3057 「HNOI2019」校园旅行

暴力：把所有初始合法的点对丢进队列，然后暴力枚举两边往同色点走，$O(m^2)$ 。

接下来考虑怎么把无用的边删去。

把边分成连接同色边或连接异色边的两种。

一对合法点对要想走异色边来找新的合法点对时两边应该分别是：“黑->白”，“黑->白”；或者“白->黑”，“白->黑”；

如果一边是 “黑->白”，另一边是 “黑->白->黑->白->黑->白”。其实最终到达的两个点也是合法点对，因为边可以重复走，而异色边构成的连通块一定是二分图所以留一颗生成树就行了。

对于同色连通块，如果是二分图，保留一颗生成树。因为一侧的点到另一侧的步数一定是奇数，而由于可以重复走同一条边，我们不关心其步数，只关心其奇偶性，生成树上的点与点之间奇偶性不变。

对于同色连通块，如果不是二分图，保留一颗生成树并任挑一个点加上一个自环。因为点与点之间奇数步可达，偶数步也可达，加一个自环可以调奇偶性。

最后在建出来的新图上跑暴力，$O(n^2)$ 。

LOJ2493 「BJOI2018」染色

手玩题，有意思，膜拜现场把所有情况都模出来的大佬。

显然非二分图一定会被叉（比如每个点都是可选的颜色都是 $(a,b)$

然后二分图 有两个不相交的环，也一定会被叉掉。因为我们可以用一个环强制某个点选某种颜色。

显然只有一个环或者没有环，我们是叉不了的。

最后就是手模出来的结论：

• $m\ge n+2$ 的时候，肯定能被叉

• $m=n+1$ 的时候，如果只存在一个双联通分量的话，取出这个双联通分量，存在两个点点度为3，他们之间有3条路径，如果其中两条为2的话就叉不了，不然就能叉掉

然后没有别的情况了，于是就做完了，大结论题。

AGC051D C4

占坑，一定补。

（呜呜呜怎么就我不会生成树计数啊嘤嘤